(完整版)2019年全国I卷理科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的。

1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60,则MA．{x4x3

N=

D．{x2x3

B．{x4x2 C．{x2x2

2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y）,则 A．(x+1)2y21

B．(x1)2y21 C．x2(y1)21 D．x2(y+1)21

alog20.2，b20.2，c0.20.3，则 3．已知 A．abc

B．acb

C．cab

D．bca

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

5151

（≈0.618,22

称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯\"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度2为26 cm,则其身高可能是

A．165 cm 5．函数f（x)=

B．175 cm C．185 cm D．190 cm

sinxx[,]的图像大致为 2在cosxx(完整版)2019年全国I卷理科数学高考真题

A． B．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦\"描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“-—”和阴爻“— —”,如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．

5 16B．

11 32C．

21 32

D．

11 167．已知非零向量a,b满足|a|2|b|，且(ab)b,则a与b的夹角为 A．

π 6B．

π 3C．

2π 3D．

5π 68．如图是求

121212的程序框图，图中空白框中应填入

A．A=

1 2AB．A=21 AC．A=

1 12A

D．A=11 2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则 A．an2n5

an3n10 B． C．Sn2n28n

D．Sn12n2n 210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|,|AB||BF1|，

则C的方程为

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x2A．y21

2x2y21 B．32x2y21 C．43x2y21 D．5411．关于函数f(x)sin|x||sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数

②f（x)在区间（

2,）单调递增

③f(x）在[,]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②④

B．②④

④f（x）的最大值为2

C．①④ D．①③

12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是

PA,AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A．86

B．46

C．26

D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为____________．

1214．记Sn为等比数列{an｝的前n项和．若a1，a4a6,则S5=____________．

315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时,该队获胜，决赛结束）．根据前期

比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0。5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

x2y216．已知双曲线C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别

ab交于A，B两点．若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC．

（1）求A；

（2）若2ab2c，求sinC． 18．(12分）

如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2，∠BAD=60°，E，M,N分别是BC，BB1,A1D的中点．

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(1)证明：MN∥平面C1DE;

（2)求二面角A−MA1−N的正弦值． 19．（12分)

已知抛物线C:y=3x的焦点为F,斜率为（1）若|AF｜+｜BF|=4，求l的方程； （2）若AP3PB，求｜AB｜． 20．(12分）

已知函数f(x)sinxln(1x),f(x)为f(x)的导数．证明:

2

3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． 2（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；

2（2）f(x)有且仅有2个零点． 21．(12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1)求X的分布列；

（2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲

药比乙药更有效”的概率，则p00,p81,piapi1bpicpi1(i1,2,,7)，其中aP(X1)，

bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8． （i)证明:{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；

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(ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

1t2x，21t在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点,x轴的正半轴

4ty1t2为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos3sin110． （1)求C和l的直角坐标方程； (2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知a,b，c为正数，且满足abc=1．证明： (1）

111a2b2c2； abc(2）(ab)3(bc)3(ca)324．

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理科数学•参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 三、解答题

22222217．解：(1)由已知得sinBsinCsinAsinBsinC，故由正弦定理得bcabc．

14．

121 315．0。18 16．2

b2c2a21． 由余弦定理得cosA2bc2(完整版)2019年全国I卷理科数学高考真题

因为0A180，所以A60．

（2)由（1)知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，

即6312cosCsinC2sinC，可得cosC60． 2222由于0C120,所以sinC602,故 2sinCsinC6060

sinC60cos60cosC60sin60

62． 418．解：(1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C,且ME=

1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=

由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． (2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则

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A(2,0,0)，A1（2，0，4）,M(1,3,2),N(1,0,2)，A1A(0,0,4)，A1N(1,0,2),MN(0,3,0)．

设m(x,y,z)为平面AmA1M01MA的法向量，则A，

m1A0所以x3y2z0，可取m(3,1,0)．

4z0．设n(p,q,r)为平面AnMN0，1MN的法向量,则 nA1N0．所以3q0，可取n(2,0,1)．

p2r0．于是cosm,nmn2|m‖n|325155，

所以二面角AMA101N的正弦值为5． 19．解：设直线l:y32xt,Ax1,y1,Bx2,y2． （1）由题设得F3354,0，故|AF||BF|x1x22，由题设可得x1x22．由y3xt,可得9x212(t1)x4t20,则x12(t1)21x2． y23x9A1M(1,3,2)，

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从而12(t1)57,得t． 92837x． 28所以l的方程为y（2）由AP3PB可得y13y2．

3yxt由，可得y22y2t0． 22y3x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13． 代入C的方程得x13,x2．

13故|AB|413． 320．解：(1)设g(x)f'(x),则g(x)cosx11，g'(x)sinx. 2(1x)1x当x1,时，g'(x)单调递减，而g'(0)0,g'()0，可得g'(x)在1,有唯一零点，

222设为.

则当x(1,)时,g'(x)0；当x,时，g'(x)0.

2所以g(x)在(1,)单调递增，在,单调递减，故g(x)在1,存在唯一极大值点，即f'(x)22在1,存在唯一极大值点。

2(2）f(x)的定义域为(1,).

（i)当x(1,0]时,由（1）知，f'(x)在(1,0)单调递增，而f'(0)0,所以当x(1,0)时,f'(x)0,故f(x)在(1,0)单调递减,又f(0)=0，从而x0是f(x)在(1,0]的唯一零点. (ii）当x0,时，由（1）知，f'(x)在(0,)单调递增，在,单调递减,而

22f'(0)=0,f'0,所以存在,，使得f'()0,且当x(0,)时，f'(x)0；当

22(完整版)2019年全国I卷理科数学高考真题

x,时,f'(x)0.故f(x)在(0,)单调递增，在,单调递减。 22又f(0)=0，f1ln10,所以当x0,时，f(x)0。从而，f(x) 在0,没有

2222零点。

(iii）当x,时，f'(x)0，所以f(x)在,单调递减。而f0，f()0，所以222f(x)在,有唯一零点。

2

(iv)当x(,)时,ln(x1)1，所以f(x)〈0，从而f(x)在(,)没有零点。 综上，f(x)有且仅有2个零点。

21．解：X的所有可能取值为1,0,1。

P(X1)(1)， P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1)得a0.4,b0.5,c0.1.

因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1,故0.1pi1pi0.4pipi1，即

pi1pi4pipi1。

又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2,(ii)由(i）可得

,7)为公比为4，首项为p1的等比数列．

p8 p8p7p7p6由于p8=1,故p1p1p0p0 p8p7p7p6481p1p0p1 .

33，所以 841(完整版)2019年全国I卷理科数学高考真题

4411p4 p4p3p3p2p2p1p1p0p1 .

3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈

率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4说明这种试验方案合理.

10.0039,此时得出错误结论的概率非常小，25721t24t2y1t21，且x22．解:（1）因为11，所以C的直角坐标方程为2221t221t1t22y2x1(x1).

42l的直角坐标方程为2x3y110。

xcos,（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，ππ）.

y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.

77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7。

3323．解：(1)因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac，又abc1，故有

a2b2c2abbcca所以

abbcca111.

abcabc111a2b2c2。 abc（2）因为a, b, c为正数且abc1，故有

(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)

3(2ab)(2bc)(2ac) =24.

所以(ab)3(bc)3(ca)324.