如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯
2020-2021学年湖北省孝感市云梦县九年级第一学期期中数学试
卷
一、选择题
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ） A．xy+3x﹣4＝0
B．x2+3＝0
C．2x﹣3+y＝0
D．+2x﹣6＝0
3．（3分）抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的顶点坐标是（ ） A．（2，6）
B．（﹣2，6）
C．（2，﹣6）
D．（﹣2，﹣6）
4．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根
B．没有实数根 D．无法确定
5．（3分）把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣2 C．y＝3（x﹣3）2﹣2
B．y＝3（x+3）2+2 D．y＝3（x﹣3）2+2
6．（3分）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB＝80°，则∠ACB等于（ ）
A．130° B．140° C．145° D．150°
7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（ ）
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。 1
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A．AC＝AE B．∠BAD＝∠CAE C．∠B＝∠ACE D．BC⊥CE
8．（3分）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ） A．24
B．25
C．26
D．27
9．（3分）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数； ②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4； ④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。 2
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A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口9万人，2019年底贫困人口减少至1万人．通过社会各界的努力，设 2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得 ．13．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，则2020+2a﹣b的值是 ．
14．（3分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝8m，EM＝8m，则⊙O的半径为 m．
15．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
16．（3分）已知函数y＝ax2﹣（a﹣1）x+1，当0＜x＜2时，y随x的增大而增大，则实
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（8分）解方程： （1）x2+10x+9＝0； （2）x2﹣
x＝．
18．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．
19．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（2，﹣1）． （1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，直接写出点C1的坐标为 ． （2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ．（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为 ．
20．（8分）已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个根x1，x2，且x12+x22＝8，求k的值．
21．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点． （1）如图1，若点E在
上，F是DE上的一点，DF＝BE．
①求证：△ADF≌△ABE； ②求证：DE﹣BE＝
AE．
上，直接写出线段DE、BE、AE之间的等量关
（2）如图2，若点E在
系．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．以点A为中心，逆时针旋转矩形ABCD，得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求线段CE的长；
（2）如图2，当点E落在线段CF上时，求证：∠EAC＝∠BAC； （3）在（2）的条件下，CD与AE交于点H，求线段DH的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
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（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，每-小题选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分.）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ） A．xy+3x﹣4＝0
B．x2+3＝0
C．2x﹣3+y＝0
解：A、该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意． B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． C、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意． D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B．
3．（3分）抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的顶点坐标是（ ） A．（2，6）
B．（﹣2，6）
C．（2，﹣6）
解：∵y＝﹣5（x+2）2﹣6是抛物线解析式的顶点式， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣6）． 故选：D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
D．
D．+2x﹣6＝0D．（﹣2，﹣6）7
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解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣5） ＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C．
5．（3分）把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣2 C．y＝3（x﹣3）2﹣2
B．y＝3（x+3）2+2 D．y＝3（x﹣3）2+2
解：抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，得：y＝3x2+2； 再向右平移3个单位，得：y＝3（x﹣3）2+2； 故选：D．
6．（3分）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB＝80°，则∠ACB等于（ ）
A．130° B．140° C．145° D．150°
解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB ∵∠AOB＝80° ∴∠E＝∠AOB＝40°
∴∠ACB＝180°﹣∠E＝140°． 故选：B．
7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（ ）
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。 8
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A．AC＝AE B．∠BAD＝∠CAE C．∠B＝∠ACE D．BC⊥CE
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠BAD+∠B+∠ADB＝∠BAD+2∠B＝180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝∠CAE+2∠ACE＝180°， ∴∠B＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ACE+∠BCA+∠BAC＝180°， ∵∠BAC不一定为90°， ∴∠BCA+∠ACE不一定为90°， ∴BC不一定垂直CE， 故选：D．
8．（3分）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ） A．24
B．25
C．26
D．27
解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625， 解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）． 故选：A．
9．（3分）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A． B．
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C． D．
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；
当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；
当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故C不符合题意． 故选：B．
10．（3分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数； ②a＝1；
③当x＝0时，y2﹣y1＝4； ④2AB＝3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解：①∵抛物线y2＝（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（1+2）2﹣3，解得a＝，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3解析式为y1＝（x+2）2﹣3，当x＝0
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时，y1＝（0+2）2﹣3＝﹣，y2＝（0﹣3）2+1＝本结论错误；
，故y2﹣y1＝+＝，故
④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3）， ∴y1的对称轴为x＝﹣2，y2的对称轴为x＝3， ∴B（﹣5，3），C（5，3） ∴AB＝6，AC＝4，
∴2AB＝3AC，故本结论正确． 故选：D．
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 （3，4） ． 解：点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（3，4）， 故答案为：（3，4）．
12．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口9万人，2019年底贫困人口减少至1万人．通过社会各界的努力，设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得 9（1﹣x）2＝1 ．
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得： 9（1﹣x）2＝1，
故答案是：9（1﹣x）2＝1．
13．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，则2020+2a﹣b的值是 2018 ．
解：把x＝2代入方程ax2﹣bx+4＝0得4a﹣2b+4＝0， 所以2a﹣b＝﹣2，
所以2020+2a﹣b＝2020﹣2＝2018． 故答案为2018．
14．（3分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝8m，EM＝8m，则⊙O的半径为 5 m．
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解：连接OC，如图所示：
∵M是⊙O弦CD的中点，CD＝8m， ∴EM⊥CD，CM＝DM＝CD＝4（m）， 设⊙O的半径为xm，
在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2＝CM2+OM2， 即：x2＝42+（8﹣x）2， 解得：x＝5， 即⊙O的半径为5m， 故答案为：5．
15．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ﹣
＜m＜0
．
解：∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
），
∴将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象顶点为（，﹣
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∴当直线y＝m新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣故答案为﹣
＜m＜0．
＜m＜0．
16．（3分）已知函数y＝ax2﹣（a﹣1）x+1，当0＜x＜2时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ﹣≤a≤1 ． 解：根据题意得：当a＜0时，﹣≥2，
解得：﹣≤a＜0；
当a＝0时，原函数为一次函数y＝x+1， ∵1＞0，
∴y随x的增大而增大， ∴a＝0符合题意； 当a＞0时，﹣≤0，
解得：a≤1．
综上所述：a的取值范围是﹣≤a≤1， 故答案为﹣≤a≤1．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（8分）解方程： （1）x2+10x+9＝0； （2）x2﹣
x＝．
解：（1）∵x2+10x+9＝0， ∴（x+1）（x+9）＝0， 则x+1＝0或x+9＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣9；
（2）整理，得：x2﹣x﹣＝0，
∵a＝1，b＝﹣
，c＝﹣，
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∴△＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝4＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
18．（8分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3．如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，求竖彩条的宽度．
解：设横彩条的宽度是xcm，竖彩条的宽度是3xcm，则 （30﹣3x）（20﹣2x）＝20×30×（1﹣19%）， 解得x1＝1，x2＝19（舍去）． 所以3x＝3．
答：竖彩条的宽度是3cm．
19．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（2，﹣1）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，直接写出点C1的坐标为 （﹣2，1） ．
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 （1，2） ．
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为 （﹣m，﹣n） ．
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解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）．
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣m，﹣n）． 故答案为：（﹣m，﹣n）．
20．（8分）已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个根x1，x2，且x12+x22＝8，求k的值．
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【解答】（1）证明：当k＝0时，原方程变形为x﹣2＝0，解得x＝2； 当k≠0时，∵△＝（3k﹣1）2﹣4×k×2（k﹣1） ＝9k2﹣6k+1﹣8k2+8k ＝k2+2k+1 ＝（k+1）2≥0，
∴此时方程有两个实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝∵x12+x22＝8，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝8， ∴（
）2﹣2•
＝8，
，x1x2＝
，
整理得3k2+2k﹣1＝0，解得k1＝，k2＝﹣1， 经检验k1＝，k2＝﹣1为原方程的解， ∵k≠0，
∴k的值为﹣1或．
21．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱． （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）根据题意，得：y＝100+10x， 由60﹣x≥36得x≤24， ∴1≤x≤24，且x为整数；
（2）设所获利润为W，
则W＝（60﹣x﹣36）（10x+100）
＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890， ∵a＜0
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∴函数开口向下，有最大值，
∴当x＝7时，W取得最大值，最大值为2890，
答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元． 22．（10分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点． （1）如图1，若点E在
上，F是DE上的一点，DF＝BE．
①求证：△ADF≌△ABE； ②求证：DE﹣BE＝
AE．
上，直接写出线段DE、BE、AE之间的等量关
（2）如图2，若点E在
系．
【解答】（1）①证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵∠1和∠2都对∴∠1＝∠2，
，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE（SAS）； ②由①有△ADF≌△ABE， ∴AF＝AE，∠3＝∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°．
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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∴∠BAF+∠3＝90°． ∴∠BAF+∠4＝90°． ∴∠EAF＝90°．
∴△EAF是等腰直角三角形． ∴EF2＝AE2+AF2． ∴EF2＝2AE2． ∴EF＝
AE．
即DE﹣DF＝AE． ∴DE﹣BE＝AE．
（2）BE﹣DE＝
AE．理由如下：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF．
∵AB＝AD，BF＝DE，∠ABE＝∠EDA， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF． 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°． ∴∠BAF+∠DAF＝90°． ∴∠DAE+∠DAF＝90°． ∴∠EAF＝90°．
∴△EAF是等腰直角三角形． ∴EF2＝AE2+AF2． ∴EF2＝2AE2． ∴EF＝
AE．
即BE﹣BF＝
AE．
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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∴BE﹣DE＝AE．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．以点A为中心，逆时针旋转矩形ABCD，得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求线段CE的长；
（2）如图2，当点E落在线段CF上时，求证：∠EAC＝∠BAC； （3）在（2）的条件下，CD与AE交于点H，求线段DH的长． 【解答】（1）解：由旋转的性质知：AB＝AE＝10， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°， ∴DE＝
＝
＝8，
∵CD＝AB＝10，
∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2；
（2）证明：由旋转的性质知：∠AEF＝∠BAD＝90°，AE＝AB， ∵点E落在线段CF上， ∴∠AEC＝∠AEF＝90°， 在Rt△ABC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL）， ∴∠EAC＝∠BAC； （3）解：设DH＝x，
在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝10， ∴CH＝CD﹣DH＝10﹣x，∠DCA＝∠BAC， 又∵∠EAC＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠EAC，
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∴AH＝CH＝10﹣x，
在Rt△ADH中，∵DH2+AD2＝AH2， ∴x2+62＝（10﹣x）2， 解得：x＝∴DH＝
， ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）过点D作y轴平行线交BC于点E， 把x＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：y＝2， ∴C点坐标是（0，2）， 又∵B（3，0），
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
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∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2， ∵点D（m，﹣m2+m+2）， ∴E（m，﹣m+2），
∴DE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m， 由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC， ∴（﹣m2+2m）×3＝2××1×2， 整理得：m2﹣3m+2＝0 解得：m1＝1，m2＝2 ∵0＜m＜3
∴m的值为1或2； （3）存在，理由：
设：点M的坐标为：（x，y），y＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M）， 故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s， 解得：x＝﹣2或4， 故点M坐标为：（﹣2，﹣②当BC为对角线时，
由中点公式得：x+1＝3，y+s＝2， 解得：x＝2，故点M（2，2）；
）或（4，﹣
）；
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综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，﹣
）或（4，﹣）．
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。
他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。
著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。
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