一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列向量中不是单位向量的是（ ） A．（﹣1，0）
B．（1，1） C．（cosa，sina）
D．
（||≠0）
2．若角α的终边经过点PA．
B．
C．
D．
，则sinαtanα的值是（ ）
3．已知A．3
B．﹣3 C．2
，若
D．﹣2
，则x的值为（ ）
4．若tanα=2，则A．﹣3 B．
C．
D．3
等于（ ）
5．要得到函数y=sin（2x+1）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 6．如图，正六边形ABCDEF中，
=（ ）
A． B． C． D．
2
）=（ ）
7．若sin2α=，则sin（α﹣A．
B．
C．
D．
8．在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=A．
B．
C．
D．
，则•=（ ）
9．已知函数y=Asin（ωx+ϕ）+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线是
其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ） A．C．
B． D．
10．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=﹣1）：A．
：（ B．
．现有周长为2
+
的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（
+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ） C．
D．
11．关于x的方程x2﹣x•cosA•cosB﹣cos2=0有一个根为1，则△ABC一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 12．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：则t的值为（ ） A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上． 13．已知向量14．若
满足
，则
= ．
在
方向上的投影为 ． ，则
= ．
B．
C．
D．
，若∠ACD=60°，
15．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量
16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知向量=（1，2），=（﹣3，4）． （1）求与的夹角的正弦值； （2）若⊥（+λ18．已知向量
（1）求函数f（x）的单调增区间； （2）若
，求cos2θ的值．
，a=6．
），求实数λ的值．
，函数f（x）=
．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=（Ⅰ）若c=14，求sinA的值； （Ⅱ）若△ABC的面积为3
，求c的值．
20．现有四分之一圆形的纸板（如图），∠AOB=90°，圆半径为1，要裁剪成四边形OAPB，且满足AP∥OB，∠OAB=30°，∠POA=θ，记此四边形OAPB的面积为f（θ），求f（θ）的最大值．
21．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，cosB=∠ADB=
．
，
（1）求AD的长；
（2）求△ADE的面积．
22．如图，在△ABC中，设（Ⅰ）若
，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
．
2016-2017学年江西省南昌市新建二中高一（下）3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列向量中不是单位向量的是（ ） A．（﹣1，0）
B．（1，1） C．（cosa，sina）
D．
（||≠0）
【考点】95：单位向量．
【分析】利用单位向量的模为1即可判断出．
【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量； B中的向量的模=故选：B．
2．若角α的终边经过点PA．
B．
C．
D．
，则sinαtanα的值是（ ）
，因此不是单位向量．
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】求出OP的距离，利用任意角的三角函数的定义求出sinα，tanα，即可求出sinαtanα的值得到选项． 【解答】解：OP=∴点P在单位圆上，
，
∴，
得故选A．
．
3．已知A．3
B．﹣3 C．2
，若
D．﹣2
，则x的值为（ ）
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】由已知中
，且
，根据两个向量平行，坐标交叉相乘
差为0，可以构造一个关于x的方程，解方程即可求出x的值． 【解答】解：∵又∵
，
，
∴3•（x﹣1）﹣2•x=0 即x﹣3=0 解得x=3 故选A
4．若tanα=2，则A．﹣3 B．
C．
D．3
等于（ ）
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值． 【解答】解：∵tanα=2，则故选：D．
5．要得到函数y=sin（2x+1）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin（2x+1）的图象．
【解答】解：根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位
=
=
=3，
可得函数y=sin2（x+）的图象，由于y=sin2（x+）=sin（2x+1）
故只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin（2x+1）的图象，
故选C．
6．如图，正六边形ABCDEF中，
=（ ）
A． B． C． D．
【考点】99：向量的减法及其几何意义．
【分析】根据相等向量的概念与向量加法的多边形法则，进行向量加法运算即可． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF， ∴=+=+=
故选D．
7．若sin2α=，则sin2
（α﹣）=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角公式以及诱导公式化简所求表达式，然后求解即可． 【解答】解：sin2α=， ∴
sin2
（
α
﹣
=
===．
故选：D．
8．在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则•=（ ）
A．
B．
C．
D．
）
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】利用余弦定理计算cosA的值，再利用向量的数量积公式，计算即可．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，AB=3，AC=2，BC=由余弦定理得， cosA=
，
==，
∴•=||×||×cosA=2×3×=．
故选：C．
9．已知函数y=Asin（ωx+ϕ）+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ） A．C．
B．
D．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】通过函数的周期求出ω，利用函数最值求出A，m，通过函数对称轴求出φ，即得函数解析式．
【解答】解：函数y=Asin（ωx+φ）+m的最小正周期为π， ∴ω=
=
=2，
又函数y的最大值为4，最小值为0， ∴|A|+m=4，﹣|A|+m=0， 解得|A|=2，m=2， 且函数图象的对称轴为x=∴2×
+φ=
，
+kπ，k∈Z
φ=+kπ，k∈Z；取φ=，
）+2．
∴函数的解析式为：y=±2sin（2x+故选：B．
10．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=2
+
的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（
﹣1）：
．现有周长为：（
+1），试用以
上给出的公式求得△ABC的面积为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由题意和正弦定理求出a：b：c，结合条件求出a、b、c的值，代入公式求出△ABC的面积．
【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=（所以由正弦定理得，a：b：c=（又△ABC的周长为2则a=（
﹣1）、b=
+
， 、c=（
+1），
﹣1）：
﹣1）：
：（
：（+1），
+1），
所以△ABC的面积S=
=
=
故选：A．
=，
11．关于x的方程x2﹣x•cosA•cosB﹣cos2
=0有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【考点】GZ：三角形的形状判断． 【分析】由题意得1﹣cosAcosB﹣cos2=0，化简可得cos（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜
π，求得A﹣B=0，从而得到结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一个根为1，
∴1﹣cosAcosB﹣cos2
=0，即sin
2
=cosAcosB，
∴
=cosAcosB，
∴1=2cosAcosB﹣cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B）， ∵﹣π＜A﹣B＜π，
∴A﹣B=0，即：A=B，故△ABC一定是等腰三角形， 故选：A．
12．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：若∠ACD=60°，则t的值为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可． 【解答】解：∵，
∴A，B，D三点共线，
∴由题意建立如图所示坐标系， 设AC=BC=1，
则C（0，0），A（1，0），B（0，1）， 直线AB的方程为x+y=1， 直线CD的方程为y=x， 故联立解得，x=
，y=
，
，
故D（故故t故（故t=故选：A．
=（
，
，
），
），
=（1，0），
=（0，1），
+（1﹣t）
，，
=（t，1﹣t），
）=（t，1﹣t），
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上． 13
．
已
知
向
量
，则
【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意，由向量（
+
）与（
﹣
）的坐标，计算可得向量
的
满
足
= ﹣12 ．
坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，则=则
=
（（
++
）+）﹣
（（
﹣﹣
）=（2，2） ）=（﹣1，﹣5）
，
=2×（﹣1）+2×（﹣5）=﹣12；
故答案为：﹣12． 14．若
，则
=
．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：∵∴
，
．
故答案为：
15．已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】首先分别求出【解答】解：由已知得到所以向量
在
，
的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影． =（1，2），
=（4，3），
=
=2； 在
方向上的投影为 2 ．
．
方向上的投影为
故答案为：2．
16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100
m．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=
h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600． 根据正弦定理得解得h=100故答案为：100
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知向量（1）求（2）若
与⊥（
=（1，2），
=（﹣3，4）．
（m）
．
=
，
的夹角的正弦值； +λ
），求实数λ的值．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）运用向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，求得向量夹角的余弦值，由同角的平方关系，可得夹角正弦值；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值． 【解答】解：（1）向量可得|
|=•
=（1，2），
=（﹣3，4），
=1×（﹣3）+2×4=5， ，|，
|=＞=
=5，
=
=
，
则cos＜
sin＜（2）即有
2
，⊥（+λ
＞=+λ•
），则=0，
=•（
+λ
； ）=0，
即5+5λ=0， 解得λ=﹣1． 18
．
已
知
向
量
，函数f（x）
=
．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若，求cos2θ的值．
【考点】9R：平面向量数量积的运算；GT：二倍角的余弦；H5：正弦函数的单调性． 【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调区间求解即可．
（2）利用（1）化简函数的表达式，通过二倍角公式求解即可． 【
解
答
】
解
：
（
1
）
∵
∴
．﹣﹣﹣﹣﹣
令
（k∈Z）
∴函数f（x）的单调增区间为﹣﹣﹣﹣ （
2
）
，∴
∴
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值； （Ⅱ）若△ABC的面积为3
，求c的值．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【分析】（I）利用正弦定理即可得出．
（II）利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出．
向量
，
得
：
（k∈Z）．﹣∵
．﹣﹣﹣﹣﹣．﹣﹣﹣﹣﹣【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∴（Ⅱ）∵又
∵
c=a+b
2
2
2
，
．
，解得b=2． ﹣
2abcosC
，
，
∴
，即
∴
．
20．现有四分之一圆形的纸板（如图），∠AOB=90°，圆半径为1，要裁剪成四边形OAPB，且满足AP∥OB，∠OAB=30°，∠POA=θ，记此四边形OAPB的面积为f（θ），求f（θ）的最大值．
【考点】5D：函数模型的选择与应用；GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】利用已知条件列出梯形的面积的表达式，利用三角函数的最值求法求解即可． 【解答】解：∵在直角梯形OAPB中，有AP=sinθ，OA=cosθ，∴
﹣﹣﹣﹣﹣
=
=
．﹣﹣﹣﹣﹣
又∵
，则
，
∴当且仅当
即时，面积取得最大值．
21．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=cosB=
，∠ADB=
．
，
（1）求AD的长； （2）求△ADE的面积．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BAD，利用正弦定理即可求得AD的值．
（2）由（1）可求AC=2AE=3，由余弦定理可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）在△ABD中，∵
，
∴∴
，
，
由
正
弦
定
理
，
知
．
（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3， 在△ACD
中，由余弦定理得
AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos∠ADC，即
，
∴DC2﹣2DC﹣5=0，解得
（负值舍去）．
∴
，
从而
22．如图，在△ABC中，设中点恰为P． （Ⅰ）若
，求λ和μ的值； ，
，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的
．
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
．
【考点】97：相等向量与相反向量．
【分析】（Ⅰ）已知AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．可得
=
，
，消去
，
=
，
，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM其面积和三角形ABC的面积可以用公式s=
，这个公式进行求解，再根据（Ⅰ）的结论很容易进行求解；
，
，
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，设
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
=∵可得可得
==
（
+，
=，
）+=λ
+μ
=，
×
+
+
，
，
，消去
，
∴；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM， ∵得∴
=
+
，
；
2017年6月7日
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