克山县二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

克山县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A．36种 B．38种 C．108种 D．114种

2． 已知圆C方程为x2y22，过点P(1,1)与圆C相切的直线方程为（ ）

A．xy20 B．xy10 C．xy10 D．xy20 3． 如图，已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，

直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x

4． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） A．1

B．3

C．5

D．9

5． 命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

6． 命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（ ） A．∀x∈R，都有x2＜1 C．∃x∈R，使得x2≥1

B．∃x∈R，使得x2＞1

D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1

7． 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)//c，则（ ） A．

11 B． C．1 D．2 428． 一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．2+ B．1+ C． D．

9． 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）

10．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．C．

（x≠0） （x≠0）

B． D．

（x≠0） （x≠0）

11．函数f（x）=cos2x﹣cos4x的最大值和最小正周期分别为（ ） A．，π

B．，

C．，π

D．，

12．若A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ） A．13

B．﹣13

2

2

C．9 D．﹣9

二、填空题

13．若实数x，y满足x+y﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为 ． 14．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且

，则

= ．

15．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件： ①f（x）=axg（x）（a＞0，a≠1）； ②g（x）≠0；

③f（x）g'（x）＞f'（x）g（x）； 若

，则a= ．

16．已知双曲线的标准方程为为 ．

，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程

17．△ABC外接圆半径为

18．△ABC中，

B，C对应的边分别为a，b，c，b=2， ，内角A，若A=60°，则c的值为 ．，BC=3，

，则∠C=

．

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三、解答题

19．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC． （Ⅰ）证明：AD⊥BC

（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

20．已知双曲线C：

与点P（1，2）．

（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程； 理由．

（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明

21．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

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22．（本小题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (sinAsinB)(ba)sinC(3bc). （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ） 若a2，ABC的面积为3，求b,c.

23．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且有最小值是． （1）求f（x）的解析式；

（2）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；

（3）在区间[﹣1，3]上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

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24．已知函数f（x0=

．

（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间； （2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．

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克山县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法． 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．

②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案． 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种， 故选A．

【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．

2． 【答案】A 【解析】

试题分析：圆心C(0,0),r2，设切线斜率为，则切线方程为y1k(x1),kxyk10，由

dr,k1k122,k1，所以切线方程为xy20，故选A.

考点：直线与圆的位置关系． 3． 【答案】D

【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N， |PF1|=m，|QF1|=n，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，① 由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1， |MF2|=|NF1|=n， 即有m﹣1=n，② 由①②解得a=1， 由|F1F2|=4，则c=2， b=由双曲线

=﹣

，

=1的渐近线方程为y=±x，

x．

即有渐近线方程为y=故选D．

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【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．

4． 【答案】C

【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C．

5． 【答案】C

【解析】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题； 故其逆否命题也为真命题；

其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题 故其否命题也为假命题

故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个 故选C

【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．

6． 【答案】D 故选：D．

【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1， 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

7． 【答案】B 【解析】

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试题分析：因为a(1,2)，b(1,0)，所以(ab)1,2，又因为(ab)//c，所以

4160,8． 【答案】A

1，故选B. 2考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.

【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形， ∴原四边形为直角梯形， 且CD=C'D'=1，AB=O'B=∴直角梯形ABCD的面积为故选：A．

，高AD=20'D'=2，

，

9． 【答案】D

32

【解析】解：∵f（x）=ax﹣3x+1，

∴f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

2

①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；

②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；

32

故f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上没有零点；

32

而当x=时，f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上取得最小值；

故f（）=故a＜﹣2； 综上所述，

﹣3•+1＞0；

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实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D．

10．【答案】B

【解析】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8

∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4

2

∴b=20，

∴椭圆的方程是故选B．

【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．

11．【答案】B

2422222

【解析】解：y=cosx﹣cosx=cosx（1﹣cosx）=cosx•sinx=sin2x=

，

故它的周期为=，最大值为=．

故选：B．

12．【答案】D

【解析】解：由题意，∵

∥故选D．

=（﹣8，8），=（3，y+6）．

，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9，

【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．

二、填空题

13．【答案】10 【解析】

【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

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【解答】解：方程x+y﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）+（y+2）=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

2222

设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距， 经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大， 最大值为：10． 故答案为：10． 14．【答案】

【解析】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且∴S4=5S2，又S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，

2

∴（S4﹣S2）=S2（S6﹣S4）， 2

∴（5S2﹣S2）=S2（S6﹣5S2），

．

，

解得S6=21S2， ∴

=

=

． ．

故答案为：

【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S2表示S4和S6是解决问题的关键，属中档题．

15．【答案】

．

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【解析】解：由所以

．

得

，

又由f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是

，说明函数

即故答案为

，故

．

是减函数，

【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．

16．【答案】 （± ，0） y=±2x ． 【解析】解：双曲线c=

=2

，

，0），

的a=2，b=4，

可得焦点的坐标为（±

渐近线方程为y=±x，即为y=±2x． 故答案为：（±

，0），y=±2x．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．

17．【答案】 ．

【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2， ∴由正弦定理可得：

22222

∴利用余弦定理：a=b+c﹣2bccosA，可得：9=4+c﹣2c，即c﹣2c﹣5=0，

，解得：a=3，

∴解得：c=1+故答案为：基础题．

，或1﹣．

（舍去）．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于

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18．【答案】 【解析】解：由根据正弦定理

，a=BC=3，c==

得：

，

sinC==，

又C为三角形的内角，且c＜a， ∴0＜∠C＜则∠C=

．

，

故答案为：

【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径， ∴AC⊥BC， 又∵DC⊥平面ABC ∴DC⊥BC， 又AC∩CD=C， ∴BC⊥平面ACD， 又AD⊂平面ACD， ∴AD⊥BC．

（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则C（0，0，0），B（2，0，0），由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD， ∴平面BCD的一个法向量是由条件得，∴

=即

， =

，

，

=（﹣2，0，a）．

设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，

，D（0，0，a）．

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不妨令x=1，则y=∴=

，z=， ．

又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2， ∴∴

．

=cosθ=

，

∴==，解得a=2．

∴VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC ====8．

∴该几何体ABCDE的体积是8．

+

+

【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．【答案】

【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．… 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，

2222*

并整理得（2﹣k）x+2（k﹣2k）x﹣k+4k﹣6=0 （） 2

（ⅰ）当2﹣k=0，即k=±

…

*

时，方程（）有一个根，l与C有一个交点

所以l的方程为

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2

（ⅱ）当2﹣k≠0，即k≠±

时

2222

△=[2（k﹣2k）]﹣4（2﹣k）（﹣k+4k﹣6）=16（3﹣2k），

①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点． 所以l的方程为3x﹣2y+1=0… 综上知：l的方程为x=1或

2222

则2x1﹣y1=2，2x2﹣y2=2，

或3x﹣2y+1=0…

（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），

两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）… 又∵x1+x2=2，y1+y2=4， ∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2） 即kAB=

=，…

∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…

222

代入双曲线方程2x﹣y=2，可得，15y﹣48y+34=0， 2

由于判别式为48﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在． …

【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

21．【答案】

【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD． ABB1A1上的射影，

，

又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=于是在Rt△BEM中，

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即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．

（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，

事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG， 因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形， 共面，所以BG⊂平面A1BE

因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．

【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．

22．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有b2a23bcc2， 即b2c2a23bc. 3分

b2c2a23 由余弦定理得：cosA，又A(0,)，故A. 6分 62bc21 （Ⅱ） ABC的面积为3，bcsinA3，bc43①， 8分

2 又由（Ⅰ）b2a23bcc2及a2,得b2c216，② 10分

由 ①②解得b2,c23或b23,c2. 12分 23．【答案】

【解析】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x） 则对称轴x=， f（x）存在最小值， 则二次项系数a＞0

2

设f（x）=a（x﹣）+．

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将点（0，4）代入得： f（0）=解得：a=1

22

∴f（x）=（x﹣）+=x﹣3x+4．

，

（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x =x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．

当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；

2

当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t；

当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5． 综上所述：

当t≤0时，最小值4；

2

当0＜t＜1时，最小值4﹣t；

当t≥1时，最小值﹣2t+5． ∴

．

（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，

2

∴m＜x﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立， 2

∵g（x）=x﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为

，

∴m＜．

24．【答案】

【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为 （﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得

或，

解得x≤﹣1或≤x≤， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪

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[，]．

【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．

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