极坐标及极坐标方程的应用

极坐标及极坐标方程的应用

1. 极坐标系的建立 在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。 对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从OX到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对

，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M

=0，

可以取任意值。

，．若点M在极点，则其极坐标为

如图1-2，此时点

M(2)

由于一个角加限定对应了。

的极坐标可以有两种表示方法：(1)

同理，

与

，也是同一个点的坐标。 又

后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若或

，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一

2. 在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变数的方程来表示，

这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为

， 2°写出适合条件的点M的集合； 3°列方程

， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。 三种圆锥

曲线统一的极坐标方程：

3. 极坐标和直角坐标的互化

4. 极坐标在平面解析几何中的应用

4.1极坐标法求到定点的线段长度

解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。

4.2以定点为极点

如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为

极坐标方程求解。

4.3以原点为极点

如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。

4.4以焦点为极点

凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。