极坐标及极坐标方程

极坐标及极坐标方程的应用

1.极坐标概述

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。

在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。

国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极坐标已应用到各个领域。

1.1 极坐标系的建立

在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。

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对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从OX到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M，．若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。

MPOxMPOx

图1-1 图1-2

如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表示方法： (1)＞0，M， (2)＞0，M，

同理，，与，也是同一个点的坐标。

又由于一个角加2nnZ后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若限定0，02或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。

1.2曲线的极坐标方程

在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变数的方程，0来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。

求曲线的极坐标方程的方法与步骤：

1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为，； 2°写出适合条件的点M的集合； 3°列方程，0； 4°化简所得方程；

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5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。 三种圆锥曲线统一的极坐标方程：

yMAPKOFBx

图1-3

过点F作准线L的垂线，垂足为K，以焦点F为极点，FK的反向延长线FX为极轴，建立极坐标系。设M，是曲线上任意一点，连结MF，作MA⊥L，MB⊥FX，垂

MF足分别为A，B．那么曲线就是集合pMe.

MA设焦点F到准线L的距离FKP，由MF，MABKPCOS 得

e

pcosep

1ecos即这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当0e1时，方程表示椭圆，定点F是它的左焦点，定直线L是它的左准线。e1时，方程表示开口向右的抛物线。

e1时，方程只表示双曲线右支，定点F是它的右焦点，定直线L是它的右准线。若允许

0，方程就表示整个双曲线。

1.3极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，其直角坐标x，y，极坐标是，，从点M作

MN⊥OX，由三角函数定义，得xcos，ysin.

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yMyOxNx

图1-4

进一步有2x2y2,tgy x0 x注：在一般情况下，由tg确定角时，可根据点M所在的象限取最小角。

2 极坐标在平面解析几何中的应用 2.1极坐标法求到定点的线段长度

解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。

2.1.1以定点为极点

如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。

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例1设等腰OAB的顶角为2，高为h，在OAB 内有一动点p，到三边并且满足关系PDPFPE，求P点的轨迹。 OA、OBOC的距离分别为PD、PF、PE，

ADPOFBEx2

图2-1

解:如图2-1所示,以O为极点,∠AOB的平分线为极轴,建立极坐标系，设P点极坐标为

p，,则

PDsin,PFsin,PEhcos

由PDPFPE得

22sinsinhcos

化简得

2hh2cos0 22coscos22化成直角坐标方程为

hhsin2xy 22coscoshsinh，0这是以为圆心，以为半径的圆，所求的轨迹是该圆在等腰OAB内22coscos22部的部分。

2.1.2以原点为极点

如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。

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x2y2xy1，直线L:1，P是L上一点，射线OP交椭圆于R，例2已知椭圆2416128又点Q在OP上，且满足OQOPOR，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解:如图2-2所示，以O为极点，OX为极轴，建立极坐标系。则由互化公式知椭圆的极坐标方程为

222cos23sin248(1)

直线L的极坐标方程为

2cos3sin24(2)

设Q，、R1，、P2，，则由(1)式知

12由(2)式知

48 222cos3sin2又212,有

24

2cos3sin24480

2cos3sin2cos23sin222cos232sin24cos6sin

所以2x23y24x4y0 即

x1522y15321 x,y不同时为0

25点Q的轨迹是以1，1为中心，长轴、短轴分别为10，且长轴平行与X轴的椭圆，

3去掉坐标原点。

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yLPOQRx

图2-2

2.1.3以焦点为极点

凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。

例3设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦。已知OFa，PQb

求OPQ的面积。

POQFx

图2-3

解:如图2-3所示，以F为极点，FO的反向延长线FX为极轴，建立极坐标系。则抛物线的极坐标方程为

2a

1cos2a2a4a bPQPFQF1cos21cos2sin2于是 sin24a bSOPQ114aPQOFsinabaab 22b2.2 极坐标简解与角有关的解析几何题

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含有已知角或公共顶点的一类解析几何题，运用极坐标系（或化直角坐标系为极坐标系）进行解题，常可避繁就简，化难为易，达到事半功倍的效果。下面分类举例说明。

2.2.1含有已知角，角顶点为极点

例4已知P，Q在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=的中点M的轨迹方程。

AQM，POQ的面积为8，求PQ3oPBx

图2-4

解：以O为极点，OB为极轴，建立极坐标系，如图2-4所示，设P1，0，Q2，，

3M，，则

112sin8 23即

3128 (1) 4因为SPOMSQOM所以

1SPOQ 211sin4(2) 211sin（）4(3) 2323得

1122sinsin()16(4) 43(1)代入(4)并化简，得2sinsin()23即为所求。 32.2.2含有已知角，坐标轴平移，化角顶点为极点

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例5已知曲线G：y1x2，顶点A（2，0），点B是G上的动点，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，顶点A、B、C按顺时针排列，O为坐标原点，求OC的最大值及点C的坐标。

yy'CBOAx (x')

图2-5

解:曲线G化为：x2y21y0，以点A为新坐标系原点，则

{xx'2yy'

曲线G为(x'2)2y'21y'0

以点A为极点，x'轴的正方向为极轴，建立极坐标系。如图2-5所示，则曲线(cos2)2sin21 (1)

设B0,0,C(',')，则

{0'0'2(2)

(2)代入(1)得

22'cos'22'sin'21 即'sin'22'cos'21

所以点C的轨迹方程为

(y'2)2x'21

即x22y221 x2(3)

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G为

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故当OC过（3）的圆心2,2时，OC的最大值为122，此时点C的坐标为

22. 1，1222.3 极坐标法证明几何定理

在平面几何证明中，极坐标法是一种重要的方法，应用十分广泛，下面以部分平面几何中著名定理为例，谈谈极坐标法在证明中的应用。

2.3.1应用圆心是(a,0)，半径是a的圆的方程2acos来证明

例6求证：圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积（托列迷定理）。 证明：如图2-6，以D为极点，DO的延长线为极轴建立极坐标系。设圆的半径为a， 则O：2acos.

A(1,1)、B(2,2)、C(3,3)三点都在O上， AD12acos1,BD22acos2,CD32acos3

另由正弦定理得

AB2asin12，BC2asin23，AC2asin13

ABCDBCDA4a2sin12cos3sin23cos1

2a2{sin123sin123sin231sin231}

2a2[sin123sin123] 4a2sin13cos2 ACBD

AB21Ox3DC

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图2-6

2.3.2应用极点在圆上，圆心为a,0的方程2acos0证明

例7 自圆上一点引三弦，并以它们各自为直径画圆。 求证：所画三圆的其它三交点共线（沙尔孟salmon定理）。

P2A3C3C2OCC1A1P3A2P1x

图2-7

证明：如图2-7,OA、OA1、OA2、OA3分别是C、C1、C2、C3的直径，P1、P2、P3分别是C1与C2、C2与C3、C3与C1的交点，以O为极点，OA的延长线为极轴建立极

坐标系，为简便计，设OA1，极轴与OA1、OA2、OA3的交角分别为1、2、3，则

OA1cos1、OA2=cos2、OA3=cos3

所以

C1：cos1cos1 （1） C2：cos2cos2 （2）

C3：cos3cos3 （3）

设p11,1，则由（1）、（2）得

cos1cos1cos2cos2

11 coscoscos22cos221111积化和 22cos21cos22

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222k22

k12 k整数

取k0，得12，代入（1）中，得cos1cos2.

 p1点坐标为(cos1cos2,12).同理应用轮换得p2点坐标为(cos2cos3,23)，p3点

坐标为(cos3cos1,31).

显然P1、P2、P3三点坐标满足法线式方程

cos123cos1cos2cos3

故P1、P2、P3三点共线，命题获证。

2.3.3应用圆的极坐标方程、两点或直线方程和法线式方程证明

例8求证：三角形外接圆上任一点在三边上的射影共线（西摩松Sinson定理）。

A1B3PB2A2B1OA3x

图2-8

证明：如图2-8，以P为极点，PO的延长线为极轴建立坐标系。设A1A2A3的外接圆直径为d，则O的方程为dcos，设顶点为Aidcosi，ii1，2，3 i0，2

A1A2的两点式方程为

sin21sin2sin1. dcos1dcos2sin21cos2sin1cos1dsin21cos1cos2 1sin221sin21dsin21cos1cos2 2sin21cos(12)dsin21cos1cos2

sin210

cos(12)dcos1cos2

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这是A1A2的法线式方程，故知垂足B1的坐标为(dcos1cos2,12).轮换三个顶点的坐标，得B2(dcos2cos3,23)、B3(dcos3cos1,31)，显然B1、B2、B3三点的坐标满足法线式方程

cos(123)dcos1cos2cos3

B1、B2、B3三点共线 ，定理得证。

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