江西理工大学 大 学
二 计算
-
- - -
- - - -
2013 至 2014
学年第 一 学期试卷
-
- - -
- - -
试 卷 ︵ B ︶
1. 给定数据表：（ 15 分）
课程
数值剖析
年级、专业
xi f ( xi )
f ' (xi )
0
1 2 2 3
- - - - -
- -
题号
一二三四五六七 八九十总分
号 学
-
-
线 -
-
-
- -
得分
-
第 1 页 ︵
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-
- -
-
一 填空 (每空 3 分，共 30 分)
-
- - -
1. 在一些数值计算中，对数据只好取有限位表示，如
2 1.414 ，这 共
3 页 ， ︶ 。
名
-
- - -
- - - -
姓
封 -
-
- - -
- - - - - - - -
时所产生的偏差称为 2. 设 f ( x)
。
(1) 结构 Hermit 插值多项式 H 2 ( x) ，并计算 f (1.5) 。
(2) 写出其插值余项，并证明之。
x7 ,37]
x6 1 ， f [30 ,31 ]
-
- - -
f [3 0 ,31, ， f [3 0 ,31, ,38 ]
。
-
- - -
3. 5 个节点的牛顿 -柯特斯公式代数精度是
2
4. 求方程 x
江 西
。
理 工 大 学
。
大 学 教 务 处
- -
-
- - - - - - - - - - - -
密 - - - - - - - - -
cos x 根的 Newton 迭代格式为
1
5. 设
(1, 3,0,2) ，则
，
，
2
2 1
，则 A
级
班
-
- - - - -
；设 A
、
业
5 4
专
-
1 / 8
数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
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-
- -
- -
号
-
-
-
-
学
- - -
-
-
-
-
-
-
- 线
- -
- -
-
- -
-
- -
- -
-
- -
-
- -
- - -
- -
名
-
-
-
-
-
姓
- 封-
-
- -
- -
- -
- -
- -
- -
- -
-
- -
-
-
-
-
-
密 -
-
-
-
-
- -
-
- -
-
-
级
-
-
-
-
班
- - -
、 - -
-
业
- -
-
专
-
2. 已知方程 x2
ln x 4 0 ，取 x0 1.5 ，用牛顿迭代法求解该方
程的根，要求
xk 1 xk 1
10 3
试 时停止迭代。（10 分）
卷 ︵ B ︶
第
2
4．用 Euler 方法求解初值问题
y'
x y
页 y(0) 0
︵
共
取 h 0.1在区间 [0,0.3] 计算 ,结果保存到小数点后
4 位。 (10 分） 3. 确立求积公式1
f ( x)dx Af (0) Bf ( x1 ) Cf (1)
3
0
页 ︶
中的待定参数 A, B,C , x1 ，使其代数精度尽可能高，并指出其代数
精度。（ 15 分）
江 西 理 工 大 学 大 学 教
务 处
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数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
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- -
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- -
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号
- - -
-
学
-
-
-
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-
-
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-
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-
线
- -
- -
- -
-
- -
-
- -
-
-
-
- -
- -
-
- -
-
名
- -
-
-
-
-
- 姓
-
封
- -
- -
- -
-
- -
- -
- -
- -
- -
- -
-
-
-
-
-
密 -
-
-
- -
-
- -
-
- -
- -
级
- - -
班 - - -
、
- -
- -
业
- - -
-
专
-
5.
用 LU分解法解线性方程组（ 10 分）
三．证明（ 10 分）
1 2 3 x1 14 试证明线性二步法：
2 5 2 x试 2 18 y
卷 n 1 y
n 1
h[ f ( xn 1 , yn 1) f (xn 1, yn 1 )]
3 1 5 x3
20
︵
的局部截断偏差与 h3
同阶，并求出截断偏差的首项。
B ︶
第
3
页 ︵ 共 3 页 ︶
江
西 理 工 大 学 教
务 处
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数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
标准答案
一． 填空 1. 舍入偏差 4.
2. 729，1， 0
5. 6， 3， 14
3. 5
xxk2 cosxk
k 1 xk 2xk sin xk
,9
二． 计算
1. 结构重节点的差商表：
n 0 1 2
x 1 1 2
y 2 2 3
一阶
二阶 0 1
1
因此，要求的 Hermite 插值为：
H 2 ( x) 2 ( x 1) 2 x2 2x 3 f (1.5)
H 2 (1.5) 2.25
2. R( x)
f ( )3!
( x 1)2 ( x 2)
证明：由题意可知
R( x)
f ( x) H 2 (x)
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数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
由插值条件知：
R(1) 0, R (1) 0, R(2) 0,
因此，可设： R( x) k (x)( x 1)2 ( x 2) 结构函数：
（＃）
(t) f (t ) H 2 (t ) k( x)(t 1)2 (t 2)
易知： t x,1,2 时， (t )
0 ，且 (1) 0
(t ) 0 起码有一个根对（＃）式求三阶导，并代入得：
)
k( x)
f (
3!
因此， R( x) f ( ) ( x 1)2
( x 2)
3!
2. 解：设 f (x)
x2 ln x 4, 则 f ( x) 2x 1 ,
x
牛顿迭代公式为：
x
f ( xk )
k 1
xk
f ( xk )
xk2 ln xk 4
xk
2xk 1
x
k xk3 5xk xk ln xk
2xk2 1
将 x0
1.5 代入上式，得 x1 1.8667 ， x2 1.8412 ， x3 1.8411
x2 x3 0.0001 10 3
5 / 8
，即()0
数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
因此，方程的近似根为：
1 0
x3 1.8411
3.解：设 f ( x)
1 时，左 1
f ( x)dx 1，右 A B C，左＝右得： A B C 1
f ( x) x 时，左
f (x)dx
0 1 0
1
，右
2
Bx1
C ，左＝右得： Bx1 C
f ( x) x 时，左
2
f ( x)dx f ( x)dx
1
3
1 2 1 3 1 4
，右
Bx1 2
C ，左＝右得： Bx1 2 C
f ( x) x 时，左
3
1 0
1
4
，右
Bx1 3
C ，左＝右得： Bx1 3 C
联立上述四个方程，解得：
121A
, B , C , x1 6 3 6
4
1
2
f ( x) x 时，左
1
f ( x)dx
0
1
，右 Bx1
4 C
4
，左 右
5 25
因此，该求积公式的代数精度是
3
4.解： Euler 公式是：
y
yn hf ( xn , yn ) y( x0 ) y0
n 1
详细到此题中，求解的
Euler 公式是：
yn 1 yn 0.1(xn yn ) 0.9yn 0.1xn y(0) 0
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数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
代入求解得：
y1 0 y2 0.01 y3 0.029
5.解，设 A 能够三解分解，即
1 l21 l31
u11 u12
1 l32 1
u22
u13 u23 u33 A LU
由矩阵的乘法及矩阵相等可得：
1
L 2 3
1 5 1
1 2 3
，U
1 4 24
令 Ux y,则 Ax b可转变为两个等价的三角方程组： 求解三角方程组： Ly 求解三角方程组： Ux
b ，得： y y ，得： x
(1,2,3)
Ly b,Ux y 72)
(14, 10, (1,2,3)
因此，原方程组的解为：x 三． 证明
证明：分别将 yn 1 ， yn 1 ， yn
1
在 xn 处用 Taylor 公式睁开得：
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数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案
yn 1
n
yynh
yn h
yn h2 2!
yn h3 3!
o( h2 )
o(h3 )
yn 1
yn
yn
yn 1
yn
2!
yn
ynh h2
2!
h2
o(h2 )
将以上三式代入线性二步法中，得：
y
n 1
yn yn h
y
n
h2
5y
n
h3
o(h3 )
2! 6
又方程的真解的 Taylor 展式为：
y( xn 1) y( xn ) y ( xn )h
y (xn ) h2 2!
y (xn ) h3 o(h3 ) 3!
因此，局部截断偏差为：
Tn 1 y( xn 1 ) yn 1
2
3
因此，该方法是二阶的，局部截断偏差首项为：
2 3 ynh
ynh3 o( h3 ) 3
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