西工大 计算方法作业答案

*1 x1*=1.7； x2=1.73； x3=1.732 。 2．

*i xi *(xi) 12121212110 10101050*r(xi) 0.1397100.1051100.3497100.1691103*有效数字 的位数 四位 三位 四位 四位 六位 1 2 3 4 5 x1 x2 x3 *** 213x4 x5 **2321050.8548106注：本题答案中相对误差限是用定义所求得的结果，也可以用相对误差限与有效数字的关系求得。

3． （1） er(x1x2x3)0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） er(x1x2x3)0.50517； （3） er(x2/x4)0.50002。

4．设6有n位有效数字，由62.4494……，知6的第一位有效数字a1=2。 令r(x)*********12a110(n1)12210(n1)12103

可求得满足上述不等式的最小正整数n=4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取62.449。

5. 答：（1）

*nx (x0)的相对误差约是x的相对误差的1/2倍；

*** （2）(x) 的相对误差约是x的相对误差的n倍。

1*6． 根据er(S)2bsince(a)12****12asince(b)12absinc******12abcosce(c)12****

absinc***absince(b)b***** =

e(a)a**e(c)tgc**

*1 注意当0c*2**时，tgcc0，即(tgc)***(c)*1。

则有er(S)er(a)er(b)er(c)

7．设y02，y01.41，y0y0*1**12102

由 y1y110*y0y010**1，

2 y2y210 

*1y1y110*

y10y1010

8. 变形后的表达式为： （1）ln(x1y9y91010

10即当y0有初始误差时，y10的绝对误差的绝对值将减小10倍。而10101，故计算过程稳定。

x1)=ln(x2x1)

2 （2）arctg(x1)arctgx=arctgN111x(x1)

12N13N2 （3）lnxdx(N1)ln(N1)NlnN1=ln(N1)N14N3

(N1)ln(1 （4）

1cosxsinx1Nx2)NlnN1=Nln(11N)ln(N1)1

=

sinx1cosx=tg

第二章

101．绝对误差限1213, 对分8次

隔根区间 xn f(xn)的符号 n 1 2.0 [1.5，2.5] 2 2.25 [2.0，2.5] 3 2.375 [2.25，2.5] 4 2.3125 [2.25，2.375] 5 2.28125 [2.25，2.3125] 6 2.296875 [2.28125，2.3125] 7 2.3046875 [2.296875，2.3125] 8 2.30078125 [2.296875，2.3046875] 满足精度要求的根近似值为2.30。

2． (1) 隔根区间[0, 0.8]；

(2) 等价变形 xln(2x)； 迭代公式xnln(2xn1)n1,2,。 (3) 收敛性论证：用局部收敛性定理论证。

(4) 迭代计算： n xn 0 0.4 1 0.4700 2 0.4253 3 0.4541 4 0.4356 5 0.4475 6 0.4399 7 0.4448 8 0.4416 9 0.4436 10 0.4423 11 0.4432 满足要求的近似根为0.443。

2x73． (1) x10；

(2) x(lgx7)/2； (3) x3x1；

24． f(x)3x4x1

牛顿迭代公式为：xn1xn列表计算

n 0 1 2 3 根的近似值为0.4656。 xn xnxn1 xnxn1 f(xn)f(xn)xnxn2xnxn13x4xn12n32

0.4 0.47013 0.46559 0.46557 0.07 0.005 0.00002 6．xn1(xn)2xna3xn231a2xn23xn  证明：f(x)3x2,因此，对于a0，当x0x13f(x)6x

3当x0时，f(x)0,f(x)0;当x0时，f(x)0,f(x)0;

a时，f(x0)f(x0)0，牛顿迭代法收敛，当x0(0,3a)时，

2a2xa3x02303a3ax03x02(3a2x0)0

x133a，从x1起，牛顿序列收敛到a。

对于a0，当x0x133a0时，f(x0)f(x0)0，牛顿迭代法收敛；当x0(3a,0)时，

a3ax03x202(3a2x0)0

x13a，从x1起，牛顿序列收敛到3a。

xk32当a0时，迭代变为xk1xk3xk23xk

该迭代发对于任何x0R均收敛。

第三章

1． x1=2，x2=1，x3=1/2

001131323132 3132． A11003． L = 210 ， U =

351100314

0242

y1 =14, y2 = 10, y3 = 72

x1 =1, x2 =2, x3 =3

4. x1≈-4.00, x2≈3.00, x3≈2.00

5. B的特征值为：0，0，0，ρ(B)=0<1

(E－B1)-1B2的特征值为：0，2，2，ρ[(E－B1)-1B2]=2>1. 6. x(5)=(0.4999, 1.0004, -0.4997)T 7.∣a∣>2

第四章

1.

k(uk)1(uk1)1 uk=Auk1 ( 1 , 1 , 1 )T ( 4 , 2 , 4 )T ( 14 , 8 , 14 )T ( 50 , 28 , 50 )T ( 178 , 100 , 178 )T ( 634 , 356 , 634 )T ( 2258 , 1268 , 2258 )T 1(k) 0 1 2 3 4 5 6 (7) 13.5615

4.0000 3.5000 3.5714 3.5600 3.5618 3.5615 3.5615 相应近似特征向量为 c=( 2258 ， 1268 ， 2258 ）T ，（ c0）

第五章

1． 取x0=100、x1=121用线性插值时，11510.7143；

取x0=100、x1=121、x2=144用二次插值时，11510.7228。

2．选取插值节点为：x0=1.4、x1=1.5、x2=1.6，f(1.54)1.9447。

p3．利用f[x0,x1,xp]j0f(xj)p1(xj)，并注意

当pn时，对j0,1,,p，f(xj)0，故有 f[x0,x1,,xp]0 f[x0,x1,,xp]1

4. L3(x)=N3(x)=

15(x13x69x92)

32pn

而pn1时，f(xn1)(xn1)，故有

pn1，

*5. （1）用反插值法得根的近似值=0.3376； （2）用牛顿迭代法得根的近似值=0.337667。

6. 令maxf(3)*()xk1xxk13!(xxk1)(xxk)(xxk1)103

可求得h0.2498（或h0.2289）。

详解：

由题义知，所采用的是三点等距插值，由误差公式：

R2(x)f(3)()3!13!1(xxkh)(xxk)(xxkh)sin(xxkh)(xxk)(xxkh)

(xxkh)(xxk)(xxkh)6令 g(x)(xxkh)(xxk)(xxkh)

由 g(x)0得：3(xxk)h0

xk得 g(x)的驻点为： x33h

22故，

maxxk1xxk1)g(x)maxg(xk1),g(xk),g(xk1),g(x)g(x293

3h3所以，R2(x)16293h1273h

3令

1273h1033 解得：h(273110)30.2498

3

327. (1) H3(x)2x8x9x5 R3(x)14!1f(4)()(x1)(x2) (1,2)

222 (2)H3(x)2x9x15x6 R3(x)f(4)3()(x1)(x2)(x3) (1,3)

24!

第六章

1．

正规方程组为

303349x1x273=29   2．

x12.5 ， x20.4456

72776995327正规方程组为

5327 a271.4369321.5 b= a0.9726 ， b0.0500

2 y0.97260.0500x 3． 取对数

lnIlnI0at 相应的正规方程组为

3.57 3.52.03 lnI01.72825lnI0a1.9890=0.1858  ， a2.8882

I05.6308 I5.6308e4．正规方程组为 43.17813.17813.60922.8882t

a14.4b=12.9607  a2.4864 ， b1.4016 y2.48641.4016lnx