(备课精选)2015年高中数学 第一章 常用逻辑用语单元检测(B)(含解析)苏教版选修1-1

第1章 常用逻辑用语(B)

(时间：120分钟 满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．下列命题：

①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3成立；

②若log2x＋logx2≥2，则x>1；

③命题“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；

ccab④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1.命题q：∃x0∈R，x20－2x0－1≤0，则命题p∧綈q是真命题．

其中真命题有________．(填序号)

2．下列命题中，假命题的个数为________．

①若a≥b>－1，则≥；

1＋a1＋bab 1

②若正数m和n满足m≤n，则mn－m≤；

2

n③设P(x1，y1)为圆O1：x2＋y2＝9上任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1和圆O2相切．

3．下列命题中真命题的序号为________．

①∀x∈R,2x＋1是整数；

②∃x∈R，sin x>1；

③∃x∈Z，x2＝3；

④∀x∈R，x2＋x＋1>0.

4．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．

5．下列说法正确的是________(填序号)．

①若a，b都是实数，则“a2>b2”是“a>b”的既不充分也不必要条件；

②若p：x>5，q：x≥5，则p是q的充分而不必要条件；

③条件甲：“a>1”是条件乙：“a>a”的必要而不充分条件；

2

④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充分必要条件．

6．“x≠y”是“sin x≠sin y”的____________条件．

7．命题p：若a≥b则c>d，命题q：若e≤f则a8．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的序号是________．

(1)(綈p)∨q；(2)p∧q；(3)(綈p)∧(綈q)；(4)(綈p)∨(綈q)．

9．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(a，b，c，d均为实数)，以其中两

cdab个不等式作为条件，余下一个作为结论组成命题，可组成真命题的个数是________．

10．已知条件p：x2－x≥6，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则x的取值集合为_____________________________．

11．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是______________．

12．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__________________．

13．有下列命题：①ax2＋5x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．

3

其中真命题的序号是________．

14．若|x－1|0)，则a，b之间的关系是________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并判断它们的真假．

(1)p：平行四边形对角线相等；

q：平行四边形的对角线互相平分；

(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；

q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．

16.(14分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

17.(14分)已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2＋

ax＋1>0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

1

18．(16分)已知条件p：|2x－1|>a和条件q：x2－4x＋3

>0，请选取适当的正实数a的值，分别利用所给的条件作为A、B构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是

4

符合要求的命题．

19.(16分)已知p：a＝0，q：直线l1：x－2ay－1＝0与直线l2：2x－2ay－1＝0平行，求证：p是q的充要条件．

20．(16分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)，是否存在常数a、b、c使不1＋x2

等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？

2

第1章 常用逻辑用语(B)

1．①②③

2．1

解析 ①②均为真命题，③是假命题．

3．④

4．充要

解析 对于“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的，故为充要条件．

5．①②④

5

解析 ③中，a>a⇔a>1，a>1是a>a的充要条件．

6．必要不充分

解析 因为“sin x＝sin y”是“x＝y”的必要不充分条件，所以“x≠y”是“sin

x≠sin

y”的必要不充分条件．

7．充分

解析 命题q的否命题为“若e>f，则a≥b”，且为真命题，而命题p：若a≥b则

c>d， 且为真命题，则有“若e>f，则c>d”，即“e>f”是“c>d”的充分条件，由等

价命题关系可知“c≤d”是“e≤f”的充分条件．

8．(4)

解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而只有(綈p)∨(綈q)为真命题．

9．3

解析 共可组成3个命题，且都为真命题．

10．{－1,0,1,2}

解析 由题意得p假q真，所以x2－x<6且x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，故x的取值

6

集合为{－1,0,1,2}．

11．(－∞，0)∪[3，＋∞)

12．∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0

解析 已知命题是存在性命题，其否定是全称命题．

13．③

解析 对于①，当a＝0时，方程ax2＋5x－1＝0是一元一次方程，而不是一元二次方程；对于②，当a<－1时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴没有公共点；对于④，空集是非空集合的真子集，是自身的子集，故①②④均为假命题．对于③，若A⊆B，B⊆A，则A＝B，所以③为真命题．

14．a≥b

解析 由题意可知|x－1|15．解 (1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分．

p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分．

非p：平行四边形的对角线不相等．

由于p假q真，所以p或q为真，p且q为假，非p为真．

7

(2)p∨q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．

p∧q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．

非p：方程x2－16＝0的两根符号相同．

由于p真q真，所以p或q、p且q均为真，非p为假．

16．证明 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)

＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)

∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

又ab≠0，即a≠0且b≠0，

∴a2－ab－b2＝ba－

3

22＋4b2>0.

∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.

必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2

8

＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

综上可知，当ab≠0时，

a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

17．解 ∵y＝ax在R上单调递增，

∴p：a>1；

又不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，

∴Δ<0，即

a>0，

a2－4a<0，

∴0而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真q假，则a≥4；

②若p假q真，则0所以a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．

9

18．解 已知条件p即2x－1<－a或2x－1>a，

1－a1＋a∴x<或x>；

22

已知条件q即x2－4x＋3>0，

∴x<1或x>3.令a＝5，则p即x<－2或x>3，此时必有p⇒q，反之不然．

故可以选取一个实数a＝5，令A为p，B为q，构造命题“若|2x－1|>5，则1

x2－4x＋3

>0”，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．

119．证明 (1)当a＝0时，l1：x＝1，l2：x＝，

2

所以l1∥l2，即由“a＝0”能推出“l1∥l2”．

(2)当l1∥l2时，若a≠0，

则l1∶y＝x－，l2：y＝x－，

2a2aa2a1111

所以2a1

1

＝，无解．

a 10

若a＝0，则l＝1，l1

1：x2：x＝2

，

显然l1∥l2，即由“l1∥l2”能推出“a＝0”．

综上所述a＝0⇔l1∥l2，所以p是q的充要条件．

20．解 假设存在常数a、b、c使题设命题成立．∵f(x)的图象过点(－1,0)，

∴a－b＋c＝0.

≤f(x)≤1＋x2

又x2

对一切x∈R均成立，

∴当x＝1时，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，

故a＋b＋c＝1，∴b＝11

2，c＝2

－a.

∴f(x)＝ax2＋11

2x＋2

－a.

≤ax2＋1112x＋＋x2

故有x2－a≤2

时，x∈R成立．

11

2

即

ax－12x＋12－a≥0，

1－2ax2

－x＋2a≥0，

恒成立．

1Δ1≤0

4－4a1－a

≤0，2

⇔Δ2

≤0⇔≤0，



a>01－8a1－2a1－2a>0



0，

∴a＝14，c＝1

4

，

从而f(x)＝1114x2＋2x＋4

，

∴存在一组常数a、b、c使得不等式x≤f(x)≤1＋x2

2

对于x∈R恒成立．

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