解三角形
一．正弦定理：
abcsinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.
正弦定理的如下变形常在解题中用到
1.(1) a=2RsinA
(2) b=2RsinB
(3) c=2RsinC
2.(1) sinA=a/2R
(2) sinB=b/2R
(3) sinC=c/2R
3.a：b：c=sinA：sinB:sinC
适用类型
（1）AAS
1
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（2）SSA
二．余弦定理：
1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA
2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
余弦定理的如下变形常在解题中用到
1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) 2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c) 3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c）适用类型
1.SSA
2.SAS
3.SSS
2
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三．余弦定理和正弦定理的面积公式
111S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB
（常用类型：已知三角形两边及其夹角）
判断解的个数
判断三角形的形状
有两种途径：
（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解
（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解
3
266 266班6组
三．解三角形的实际应用
测量中相关的名称术语
仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角： 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角
方向角：从指定方向线到目标方向的水平角
测距离的应用
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测高的应用
(一)已知两角及一边解三角形
例1 已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、∠B=180°-30°-45°=105°
a=10sin45°/sin30°=10√2
sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/4
1/sin105=√6-√2
b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)
（二）已知两边和其中一边对角解三角形
和B.5
266b
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例2 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b=√6，A=45°，求边长C
由余弦定理，得
b²+c²-2bccosA-a²=0
6+c²-2√3c-12=0
c²-2√3c-6=0
根据求根公式，得
c=√3±3
又c>0
所以c=3+√3
（三）已知两边及夹角，解三角形
例3 △ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.
解：由余弦定理
得
6
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∴a2-9a+18=0，得a=3或6
当a=3时，A=30°，
∴C=120°
当a=6时，由正弦定理
∴A=90°
∴C=60°。
例四：在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是
解：由，
∴，
∴C=60°或120°，
当C=60°时，A=90°，S△ABC=；
当C=120°时，A=30°，S△ABC=AB·ACsinA
。
7
266
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例五.判断三角形的形状
（1）正弦定理判断
在△ABC中，若a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
解：sin^2A*sinB/cosB=sin^2B*sinA/cosA.
∵sinA≠0,cosB≠0,∴等式两边同约去sinA*sinB公因式。
∴sinA/cosB=sinB/cosA.
sinAcosA=sinBcosB.
∵sinAcosA=(1/2)*(2sinAcosA)=(1/2)sin2A.【2sinAcosA=sin2A(公式)】
同理，sinBsinB=(1/2)*2sinBcosB=(1/2)sin2B.
∴（1/2)sin2A=(1/2)sin2B. 【两边约去（1/2)]】后得：
∴sin2A=sin2B.
2A=2B.（1）；sin2A=sin(180°-2B) (2) 【同名三角函数值相等，其角度相等，或互补】
由（1)式得： A=B.
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∴△ABC为等腰三角形；
由(2)式得：2A=180-2B,2A+2B=180°,A+B=90°.
∴△ABC为直角三角形。
（2）余弦定理判断
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．由正弦定理得sin2C/c2=sin2B/b2得b2sin2C=c2sin2B
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90°, A=90°,
故△ABC是直角三角形.
例六 判断解得个数
不解三角形，判断下列三角形的解的个数：
（1）a=5,b=4,A=120度
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有一解
（2）a=7,b=14,A=150度
无解
（3）a=9,b=10,A=60度
有两解
（4）c=50,b=72,C=135度
无解
例七
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
(cos)210方向300 km的海面
P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.
台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
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若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ≤10t+60.
由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2-2PQ·PO cos∠OPQ.由于PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°=.
=202t2-9600t+3002.
∴202t2-9600t+3002≤(10t+60)2.
即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24.
故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
例八。某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
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例九。如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ D ）
A.20 B.20 C.40 D.20
例十如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则
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AD的长度等于______。
由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC
∴BE= 1 2 BC= 3
∵AB=2
∴cosB= BE AB = 3 2
∴B=30°
∴AE=BE?tan30°=1
∵∠ADC=45°
∴AD= AE sin∠ADC = 2
故答案为： 2
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