河北省故城县高级中学2014届高三数学下学期第一次月考试题(文理) 6星

理）（扫描版）新人教A版

数学模拟试题（十二）

（试卷总分150分 考试时间120分钟）

题号 得分 一 二 三 总分 合分人 复分人 第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数A.

1i对应的点与原点的距离是（） 1i1 B.1 C.2 D.2 2B（）

2.（理）已知集合A{x|log2(x1)1}，B{x|12x0}，则AA.(1,) B.(1,1) C.(1211,1) D.(,1) 22B（）

（文）已知集合A{x|2x11}，B{x|12x0}，则A111,1) D.(,1)

2223.若ab0，则下列不等式一定成立的是（）

A.(1,) B.(1,1) C.(A.

11|b||b|1ab B.a2ab C. D.ab abb|a||a|14.已知三棱柱的三视图如右图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）

A.123 B.273 C.363 D.6

5.如图是I，II两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图，设I，II两组数据平均数依次为x1和x2，标准差依次为s1和s2，那么（） A.x1x2,s1s2 B.x1x2,s1s2 C.x1x2,s1s2 D.x1x2,s1s2

1

x2y221(b0)的一个焦点与抛物线y220x的焦点重合，则双曲线的渐近6.若双曲线

16b线方程是（） A.y4354x B.yx C.yx D.yx 34457.（理）某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴

趣小组，则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为（）

12111C8C4C82C4A82A4A82A4A.3 B. C. D. 333C12C12A12C12（文）从长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm的5条线段中任取3条作为三角形的三边，能构成三角形的概率为（）

3321 B. C. D. 1055515538.（理）若(ax)(a0)展开式中x的系数为，则a的值为（）

81x111A. B. C. D.1 3927A.

0,)时，f(x)是增函数，（文）定义在R上的偶函数f(x)，当x[则f(2)，f()，f(3)的大小关系式（）

A.f()f(3)f(2) B.f()f(2)f(3) C.f()f(3)f(2) D.f()f(2)f(3) 9.执行右图所示的程序框图，则输出S的值是（） A.-1 B.

23 C. D.4 3210.若函数f(x)xlnxa有两个零点，则实数a的取值范围为（） A.[0,] B.(0,) C.(0,] D.(,0)

11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S150，S160，则大的项为（） A.

1e1e1e1eS1S2,,a1a2,Sn中最anS6SSS B.7 C.8 D.9 a6a7a8a912.如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADDC1，AB3，动点P在BCD内运动（含边界），设APADAB，则的取值范围是（）

2

A.[1,] B.[,] C.[,] D.[1,] 题号 得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 534533243343第II卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。 13.（理）若

a11(2x)dx3ln2(a1)，则a .

x（文）函数y1102x的定义域是 .

214.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Snan14n1，nN，且

*a2，a5，a14构成等比数列，则数列{an}的通项公式是an . 2215.已知直线xya与圆xy4交于A、B两点，O是坐标原点，向量OA、OB满足|OAOB||OAOB|，则实数a的值是 .

16.（理）已知正方形APP点B，C为边PP沿AB，BC，12，P2P3的中点，12P3的边长为4，

CA折叠成一个三棱锥PABC（使P1，P2，P3重合于点P），则三棱锥PABC的外接

球的表面积为 .

（文）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，在由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是 米.

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）

（理）已知ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，已知

m(sinC,sinBcosA)，n(b,2c)，且mn0。

（1）求A大小；

（2）若a23，c2，求ABC的面积A的大小。 （文）已知数列{log2(an1)}为等差数列，且a13，a25。

3

（1）求证：数列{an1}是等比数列； （2）求

11a2a1a3a21的值。

an1an

18.（本小题满分12分）

（理）现有某市对工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对人数如下表。 月收入（元） [1000,2000) [2000,3000) [3000,4000) [4000,5000) [5000,6000) [6000,7000) 频数 反对人数 5 4 10 8 15 12 10 5 5 2 5 1 （1）由以上统计数据估算月收入低于5000的调查对象中，持反对态度的概率；

[2000,3000)的被调查对象中各随机选取两人进行追踪调查，（2）若对[1000,2000)，

记选中的4人中赞成“延迟退休年龄”人数为，在求随机变量的分布列即数学期望。

（文）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录

如下： 甲 乙 82 95 82 75 79 80 95 90 87 85 （1）用茎叶图表示这两组数据；

（2）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； （3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？说明理由。

19.（本小题满分12分）

（理）如图所示，四棱锥BAEDC中，平面AEDC平面ABC，F为BC的中点，AE//DC，

ACDBAC90，DCACAB2AE2。

（1）点P在BD上移动，试确定点P的位置，使EPBD。

（2）求二面角DBCE的余弦值。

（文）如图所示，四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，PA2，过点A作AEPB于E，AFPC于F，连结EF。

（1）求证：PC平面AEF；

（2）若平面AEF交侧棱PD于点G，求多面体PAEFG的体积。

20.（本小题满分12分）

（理）设函数f(x)lnx。

4

（1）证明函数g(x)f(x)2(x1)在x(1,)上是单调增函数； x1（2）若不等式1x2f(e12x)m22bm2，当b[1,1]时恒成立，求实数m的取值范围。

x2y2（文）椭圆221(ab0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于

abA，B两点。

（1）如果点A在圆x2y2c2（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|c，求椭圆的离心率；

（2）若函数y2logmx（m0且m1）的图象，无论m为何值恒过定点(b,a)，求F2BF1A的取值范围。

21.（本小题满分12分）

（理）已知定点A(0,a)(a0)，直线l1:ya交y轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C。

（1）求动点C的轨迹E的方程；

（2）设倾斜角为的直线l2过点A，交轨迹E于两点P，Q，交直线l1与点R。 （i）若tan1，且PQB的面积为2，求的值； （ii）若[2,]，求|PR||QR|的最小值。 642x（文）已知mR，函数f(x)(xmxm)e。 （1）若函数f(x)没有零点，求实数m的取值范围；

（2）若函数f(x)存在极大值，并记为g(m)，求g(m)的表达式； （3）当m0时，求证：f(x)xx。

请考生在第22~24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一个题目记分。 22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

已知弦AB与圆O的半径相等，连接OB并延长使BCOB。 （1）试判定AC与圆O的位置关系；

（2）试在圆O上找一点D，使ADAC。

5

2323.（本小题满分10分）选修【4-4：坐标系与参数方程】

xxcos已知曲线C1:（为参数），曲线C2:ysiny2t22（t为参数）。 2t2（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C'1、C'2，写出C'1、C'2的参数方程。C'1与C'2公共点的个数C1和C2与公共点的个数是否相同？说明你的理由。

24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数f(x)|x7||x3|。 （1）作出函数f(x)的图象；

（2）当x5时，不等式|x8||xa|2恒成立，求实数a的取值范围。 选做的题目是 （填22、23、24）

模拟卷数学（十二）参考答案

1.B（解析：本题考查复数的运算及两点间的距离公式。距离是1，选B。）

2.（理）D（解析：本题考查解不等式即集合的运算。根据log2(x1)1，得

1ii，对应的点与原点的1i0x12，解得1x1，即A(1,1)；由12x0得x所以AB(,1)。）

（文）D（解析：本题考查解不等式与集合的运算。由2即A(,1)，由12x0得，xx111，即B(,)，22121得，x10，解得x1。

111，即B(,)，所以AB(,1)。） 2223.C

4.C（解析：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面边长为a，则

332a3，a6。故体积V64363。） 246

5.D（由题意可得x161，x262，s1316342，s2，故选D。） 776.B（解析：本题考查双曲线和抛物线的集合性质。抛物线y220x的焦点坐标是(5,0)，即c5，bca9，b3，所以双曲线的渐近线方程是y7.（理）B

（文）A

2223x。） 41()k(1)kC5kakx52k，x5143由52k3得k1，所以T1(1)C5ax，即x3的系数为5a4，即5a4，所以

8111a4，解得a，选A。）

8138.（理）A（解析：二项展开式的通项为Tk1C5(ax)k5k（文）A（解析：因为函数是偶函数，所以f(2)f(2)，f(3)f(3)，又函数在

[0,)上是增函数，2)f(3)(f)，选A。所以由f(2)f(3)f()，即f(）

9.D（解析：第一次循环，S222i2；i3；1，，第二次循环，S242(1)332，i4；第四次循环，S4，i5；所以该循环是2232232周期为4的周期循环，所以当i9时，和第四次循环的结果相同，所以S4。选D。）

第三次循环，S10.D

215(a1a15)15a80，得a80。由

215(a1a16)15(a9a8)S140，得a9a80，所以a90，且d0。所以数列{an}2211.C（解析：由S15为递减的数列，所以a1,,a8为正，a9,,an为负，且S1,,S80，S16,,Sn0。则

S9S0,100,a9a10,SS8SS0，又S8S1,a1a8，所以810，所以最大的项为8。）

a8a8a8a112.D（解析：本题考查向量的几何运算，以A为原点，AB为x轴，DA为y轴建立直

7

角坐标系，则B(3,0)，C(1,1)，D(0,1)，线段BD方程：方程：

xy1(0x3)，线段BC3x3y(1x3)，设点P(x,y)，则AP(x,y)，AD(0,1)，AB(3,0)，22由APADAB得x3xy，，当点P在线段BD上时，1；

3y当点P在线段BC上时，yxx34(1x3)，当x1时；当点36234P在线段DC上时，显然1；故选D。）

3a12a213.（理）2（解析：(2x)dx[xlnx]|1a1lna3ln2(a1)，则

1xa213，lnaln2，解得a2。）

（文）(lg2,)（解析：由1020，得xlg2。）

2214.2n1（解析：当n1时，4a1a25，a24a15，

xa2，a5，a14构成等比

22数列，解得a23，a11；a5a2a14，(a28)2a2(a224)。4a1a254，222当n2时，4Sn1an4(n1)1，4an4Sn4Sn1an1an4，

222当n2时，{an}是公差d2an1an2；an1an4an4(an2)，an0，

的等差数列，数列{an}的通项公式为an2n1。）

15.2（解析：由|OAOB||OAOB|，得|OAOB|2|OAOB|2，即

|OA|2|OB|22OAOB|OA|2|OB|22OAOB，所以OAOB0，因此OAOB，在等腰RtOAB中，圆心O到直线xya的距离为d以|a|2，故a2。）

16.（理）24（解析：由题意知，三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且PA4，

PBPC2，所以三棱锥PABC的外接球就是以PA，PB，PC为长，宽，高的长方体的外接球，所以外接球的直径为此长方体的对角线26，所以三棱锥PABC的外接球表面积为24。）

（文）106 17.（理）解：（1）

2|a|2，所2mn0，(sinC,sinBcosA)(b,2c)0

8

bsinC2csinBcosA0 „„„„„„„„„„„„2分

bc，bc2bccosA0„„„„„„„„4分 sinBsinC1b0，c0，12cosA0，cosA „„„„6分

220A，A „„„„„„„„„„„„„„„„8分

3（2）ABC中，

a2c2b22cbcosA

124b24bcos22，b2b80 „„„„„10分 3b4（舍），b2， ABC的面积S113bcsinA223„„12分 222（文）解：（1）设log2(an1)log2(an11)d(n2)

a13，a25

dlog2(a21)log2(a11)log24log221 „„„„3分 log2(an1)n，an12n

an12(n2) „„„„„„„„„„„„„„„„„5分

an11{an1}是以2为首项，2为公比的等比数列 „„„„„„6分

（2）由（1）可得an1(a11)2n1，an2n1 „„„8分

11a2a1a3a21122223221

an1an1112n12n222111„„„„„„„„12分 2n2n18.（理）解：（1）在所调查的50人中，月收入低于5000的人数为40人，其中持反对态度

的有29人，据此可估算月收入低于5000的调查对象中，持反对态度的概率为

P29„„„„„„„„„4分 40（2）所有可能取值有0，1，2，3 „„„„„„„„5分

2C52C462884„„„„„„„„6分 P(0)22C5C101045225 9

1112C52C4C5CC4428616104„„„„„„7分 P(1)22222C5C10C5C101045104522512132C5C2C4C4C24166135„„„„„„8分 P(2)2232C5C10C5C101045104522512C4C2412„„„„„„„„9分 P(3)22C5C101045225所以的分布列是

 P 0 1 2 3 84 225104 22535 2252 225 „„„„„„„„„„„„10分

所以的期望值是E0841043524123„„„„„„„„12分 2252252252255（文）解：（1）作出茎叶图如图„„„„„„3分

（2）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，

用数对(x,y)表示基本事件：(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，

(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)，基本事件总数n25。

记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A，事件A包含的基本事件：(82,75)，(82,80)，

(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，事件A包含的基本事件数m12，所以P(A)（3）派甲参赛比较合适，理由如下：

m12„„„„„„7分 n251x甲(70180390197225)85，

51x乙(70180290250505)85，

5 10

12S甲[(7985)2(8285)2(8285)2(8785)2(9585)2]31.6，

512S乙[(7585)2(8085)2(8585)2(9085)2(9585)2]50。

522因为x甲x乙，S甲，所以在平均成绩相同时，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合S乙适。„„„„„„12分 19.（理）解：（1）当P为BD的中点时，EPBD。连接PF，则PF平行且等于EA。AE//DC，所以四边形AFPE为平行四边形，所以EP//AF „„„„„„„„2分 由题意知ABC为等腰直角三角形，而F为BC的中点，所以AFBC „„„„4分 又因为平面AEDC平面ABC，BAC90，所以DC平面ABC，所以AFDC。所以AF平面BDC，而BD平面BDC，所以EPBD „„„„„„„„6分 （2）以CA，CD所在的直线分别作为x轴，z轴，以过点C和AB平面的直线作为y轴，建立如右图所示的空间直角坐标系。

由DCACAB2AE2，可得：A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(2,0,1)，

F(1,1,0)

则CE(2,0,1)，BE(0,2,1)，AF(1,1,0) „„„„„„„„8分 由（1）知AF(1,1,0)为平面BCD的一个法向量，设平面BCE的一个法向量为

2yz0nBE0n(x,y,z)，则nBE，所以，即，令y1，则z2，nCE，

2xz0nCE0x1，所以n(1,1,2)是平面BCD的一个法向量 „„„„10分

于是cosn,AFnAF23。 3|n||AF|623 „„„„„„„„12分 3故二面角DBCE的余弦值为（文）（1）证明：PA面ABCD，BC在面ABCD内， PABC，BABC，PABAA，BC面PAB。

又AE在面PAB内，BCAE，AEPB，BCPBB， AE面PBC，又PC在面PBC内，AEPC，AFPC， AEAFA，PC面AEF „„„„„„„„„„6分

（2）PC面AEF，AGPC，AGDC，PCDCC，AG面PDC GF在面PDC内，AGGF，AGF是直角三角形， 由（1）可知AEF是直角三角形，AEAG2，EFGF6 3 11

S33，S3262323AEFACF3，又AF3，S四边形AEFG3，PF3， V123234PAEFG3339 „„„„„„12分

12(x1)2(x1)(x1)220.（理）解：（1）∵g'(x)x(x1)2x(x1)2 „„„„„„4分 当x1时g'(x)0

∴g(x)在x(1,)上是单调增函数 „„„„„„„„6分 （2）∵f(e12x)lne12x12x

∴原不等式即为m22bm21(x1)2在b[1,1]时恒成立 „„„„„„7分 ∵1(x1)2的最大值为1 „„„„„„„„„„8分 ∴m22bm30在b[1,1]时恒成立

令Q(b)m22bm3，则Q(1)0，且Q(1)0 „„„„„„9分 由Q(1)0，m22bm30，解得m1或m3 由Q(1)0，m22bm30，解得m3或m1 ∴综上得，m3或m3 „„„„„„„„12分

（文）解：（1）∵点A在圆x2y2c2上，∴AF1F2为一直角三角形 ∵|FA|c，|F1F2|2c

∴|F1A||F221F2||AF1|3c „„„„„„„„3分 由椭圆的定义知：|AF1||AF2|2a

c3c2a，eca21331 „„„„„„„„„„5分 （2）∵函数y2logmx的图象恒过点(1,2) ∴a2，b1，c1 „„„„„„„„„„6分

点F1(1,0)，F2(1,0) „„„„„„„„„„7分

12

①若ABx轴，则A(1,22)，B(1,22) ∴F1A(2,22)，F22B(2,2) ∴F11AF2B4272 „„„„„„„„„„„„8分 ②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k

则AB的方程为yk(x1)

由yk(x1)22y20消去y得 x2(12k2)x24k2x2(k21)0（*）

∵8k280，∴方程（*）有两个不同的实根 设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1，x2是方程（*）的两个根

xx4k212k2，x2(k21)121x212k2„„„„„„„„„„9分

F1A(x11,y1)，F2B(x21,y2)

F1AF2B(x11)(x21)y1y2(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k2 22(k21)4k2(1k)227k217912k2(k1)(12k2)1k12k222(12k2)∵12k21，∴0112k21，092(12k2)92

1F1AF2B7292(12k2)72 由①②知1F71AF2B2„„„„„„„„„„12分 21.（理）解：（1）连CA，过C作CDl1，垂足为D， 由已知可得CACD

∴点C的轨迹是以A为交点，l1为准线的抛物线

13

∴轨迹E的方程为x24ay „„„„„„„„„„„„„„4分

（2）直线l2的方程为ykxa与抛物线方程联立消去y得4akx4a0 记P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

则x1x24ak，x1x24a20 „„„„„„„„„„6分 （i）若tan1，即k1，此时x1x24a，x1x24a2 ∴

2SBPQSABPSABQa|x1|a|x2|a|x2x1|2ax122x1x2x2a16a216a242a2

1 „„„„„„„„8分 22a,a) „„„„„„„9分 （ii）因为直线PA的斜率k0，易得点R的坐标为(k2a2a|PR||QR|RPRQ(x1,y1a)(x2,y2a)

kk2a2a(x1)(x2)(kx12a)(kx22a)

kk∴42a22，注意到a0，∴a2a4a2(1k)x1x2(2ak)(x1x2)24a2

kk24a2(k2∵k21)8a2 2k122k1时取到等号 „„„„„„„„10分 ，当且仅当2k又[3,]，k[,1]， 643∴上述不等式中等号能取到

从而|PR||QR|的最小值为16a „„„„„„„„12分

2x（文）解：（1）令f(x)0得(xmxm)e0

2∴xmxm0 ∵函数f(x)没有零点

2m24m0，∴0m4 „„„„„„„„„„„„3分

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（2）f'(x)(2xm)ex(x2mxm)ex(x2)(xm)ex 令f'(x)0得x2或m 当m2时，则m2 x (,m) m (m,2) -2 (2,) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ mem ↘ (4m)e2 ↗ 当xm时，f(x)取得极大值mem „„„„„„„„5分

当m2时，f'(x)(x2)2ex0，f(x)在R上为增函数 ∴f(x)无极大值 „„„„„„„„„„6分 当m2时，则m2

x (,2) -2 (2,m) m (m,) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ (4m)e2 ↘ mem ↗ 当x2时，f(x)取得极大值(4m)e2

∴g(m)mem(m2)„„„„„„„„„„8分(4m)e2(m2) （3）当m0时，f(x)x2ex 令(x)ex1x，则'(x)ex1 当x0时，'(x)0，(x)为增函数 当x0时，'(x)0，(x)为减函数

当x0时，(x)取得最小值0 „„„„„„„„„„10分 ∴(x)(0)0

∴ex1x0，∴ex1x

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∴xexx，∴f(x)x2x3 „„„„„„„„„„12分

22.解：（1）由已知OBABBC，所以点A在以CO为直径的圆周上

所以CAO90，即OAAC，所以AC与圆O相切 „„„„„„4分 （2）延长BO交圆于DD，可知D点为圆O上使ADAC的点 理由是：因为BD为圆O的直径，所以BAD90

在RtOAC与RtBAD中，BCBOOD，即COBD 又ABAO，所以RtOAC≌RtBAD

所以ACAD，即点D为满足题意得点 „„„„„„„„10分 23.解：（1）C1是圆，C2是直线

2x23C1的普通方程为x2y21，圆心C1(0,0)，半径r1 C2的普通方程为xy20

因为圆心C1到直线xy20的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点 „„„5分 （2）压缩后的参数方程分别为

xcosxC1':（为参数），曲线C2':1ysiny2化为普通方程为C1':x24y21，C2':y联立消元得2x22x10 其判别式(22)24210，

22t22（t为参数） 2t412x 22所以压缩后的直线C2'与椭圆C1'仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同。„„„„„„10分

4(x3)24.解：（1）f(x)102x(3x7)„„„„„„3分

4(x7)图像如右图所示：

（2）∵x5，∴不等式|x8||xa|2，可化为8x|xa|2 „„„„„6分 ∴|xa|6x对x5恒成立 „„„„„„7分 即x6xa6x对x5恒成立 „„„„„„8分

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∴a6对x5恒成立 „„„„„„9分

a2x6又∵x5时，2x64，∴4a6

实数a的取值范围为[4,6) „„„„„„„„10分

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