带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出。∠AOB＝120°，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )
3πrA. 3v0πrC. 3v0
23πrB.
3v0D.3πr 3v0
2.如图所示，OM的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，OM左侧到OM距离为L的P处有一个粒子源，可沿纸面向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，速qBL
率均为v＝，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
m
πmπmπmπmA. B. C. D. 2qB3qB4qB6qB
3.(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，不计重力，则( )
A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2 B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4
1
C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1 D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2
4.如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速度不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直，穿过b点的粒子，其速度方向与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需的时间分别为t1、t2，则t1∶t2为( )
A．1∶3 C．1∶1
B．4∶3 D．3∶2
5．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为( )
mvA.
θqRtan
2mvC.
θqRsin
2
mvB. θqRcot
2mvD.
θqRcos
2
6．(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正负可能是( )
3mvA.，正电荷 2aq
mv
B.，正电荷 2aq
2
3mvC.，负电荷 2aqmv
D.，负电荷 2aq
7.质子(p)和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα。则下列选项正确的是( )
A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
8.如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电荷量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？(不计重力作用)
9.如图所示，空间存在一方向垂直于纸面、磁感应强度为B的正方形匀强磁场区域，一电荷量为－q的粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v射入磁场，粒子从BC边上的E点离开磁场，且AE＝2BE＝2d。求：
(1)磁场的方向；
(2)带电粒子的质量及其在磁场区域的运动时间。
3
10．如图所示，圆形区域内有垂直于纸向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，v经过t时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计
3重力，则粒子在磁场中的运动时间是多少？
11.如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电荷量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。求：
(1)电子在磁场中运动的时间t；
(2)若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？
4
答案解析
1.半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出。∠AOB＝120°，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )
3πrA. 3v0πrC. 3v0【答案】D 【解析】
23πrB.
3v0D.3πr 3v0
如图所示，由∠AOB＝120°可知，弧AB所对圆心角θ＝60°，设带电粒子做匀速圆周运动的半径为R。由几何知识π
︵·3rABθR33πr
知R＝3r，t＝＝＝＝，故D正确。
vv0v03v0
2.如图所示，OM的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，OM左侧到OM距离为L的P处有一个粒子源，可沿纸面向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，速qBL
率均为v＝，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
m
5
πmπmπmπmA. B. C. D. 2qB3qB4qB6qB【答案】 B
v2
【解析】 粒子进入磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：qvB＝m，将题设的v值代入得：r＝L，
r粒子在磁场中运动的时间最短，则粒子运动轨迹对应的弦最短，最短弦为L，等于圆周运动的半径，根据几何关系，TT12πmπm粒子转过的圆心角为60°，运动时间为，故tmin＝＝×＝，故B正确，A、C、D错误．
666qB3qB
3.(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，不计重力，则( )
A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2 B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4
C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1 D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2 【答案】 AC
【解析】 粒子进入磁场后速度的垂线与OA的垂直平分线的交点为粒子1在磁场中的轨迹圆的圆心；同理，粒子进入磁场后速度的垂线与OB的垂直平分线的交点为粒子2在磁场中的轨迹圆的圆心；由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶2，由r＝
mv
可知，粒子1与粒子2的速度之比为1∶2，故A正确，qB
2πm
B错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T＝，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相qBθ
同，根据公式t＝T，两个粒子在磁场中运动的时间相等，故C正确，D错误．
2π
6
4.如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速度不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直，穿过b点的粒子，其速度方向与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需的时间分别为t1、t2，则t1∶t2为( )
A．1∶3 C．1∶1 【答案】D
【解析】画出运动轨迹，过a点的粒子转过90°，过b点的粒子转过60°，故选项D正确。
5．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为( )
B．4∶3 D．3∶2
mvA.
θqRtan
2mvC.
θqRsin
2【答案】B 【解析】
mvB. θqRcot
2mvD.
θqRcos
2
7
R
以速度v正对着圆心射入磁场，将背离圆心射出，轨迹圆弧的圆心角为θ，如图，由几何关系知轨迹圆半径r＝，
θtan
2mvmv
由半径r＝解得B＝，选项B正确。
qBθ
qRcot
2
6．(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正负可能是( )
3mvA.，正电荷 2aq3mvC.，负电荷 2aq【答案】BC 【解析】如图所示，
mv
B.，正电荷 2aq
mv
D.，负电荷 2aq
若粒子带正电，则a＝r(1－sin 30°)＝3mvB＝，选项C正确。
2qa
7.质子(p)和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα。则下列选项正确的是( )
A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
8
mvmv3mv
，则B＝，选项B正确；若粒子带负电，则a＝r(1＋sin 30°)＝，则2qB2qa2qB
C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1 【答案】A
v2mvRpmpqαm2q12πmTpmpqα【解析】由洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m，R＝，由此得＝·＝·＝。由周期T＝得＝·RqBRαqpmαq4m2qBTαqpmαRp1
＝＝。故选项A正确。 Rα2
8.如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电荷量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？(不计重力作用)
Bed
【答案】 v0>
m（1＋cos θ）
【解析】 当入射速率很小时，电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大， 轨道半径越大，当轨道与右边界相切时，电子恰好不能从磁场射出，如图所示。
电子恰好射出时，由几何知识可得：r＋rcos θ＝d mv2Bed0又ev0B＝解得v0＝ rm（1＋cos θ）
所以为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，电子的速度 Bed
v0>。 m（1＋cos θ）
9.如图所示，空间存在一方向垂直于纸面、磁感应强度为B的正方形匀强磁场区域，一电荷量为－q的粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v射入磁场，粒子从BC边上的E点离开磁场，且AE＝2BE＝2d。求：
9
(1)磁场的方向；
(2)带电粒子的质量及其在磁场区域的运动时间。 2Bqd 2πd
【答案】(1)垂直纸面向里 (2) v3v
【解析】 (1)粒子沿弧AE运动，从带电粒子所受洛伦兹力的方向可判断出磁场的方向垂直纸面向里。
(2)如图所示，连接AE，作线段AE的中垂线，交AD的延长线于O点，O即为圆心，α为弦切角，因AE＝2BE＝2d，所以α＝30°。
θ为圆弧轨迹的圆心角，θ＝2α＝60°。△AOE为等边三角形，R＝2d， v22Bqd
由qvB＝m得，m＝ Rv2πR4πd
T＝＝，
vv
T2πd所以粒子在磁场区域的运动时间t＝＝。
63v
10．如图所示，圆形区域内有垂直于纸向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，v经过t时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计
3重力，则粒子在磁场中的运动时间是多少？
【答案】 2t
【解析】 根据作图法找出速度为v时的粒子轨迹圆圆心O′，由几何关系可得：磁场中的轨迹弧所对圆心角∠AO′C＝θ＝60°，设圆形磁场的半径为r，
10
v2θr
粒子的轨道半径为R1，因此有：qvB＝m，tan＝，
R12R1轨迹圆半径R1＝3r，
v
当粒子速度变为时，粒子的轨道半径为R2，因此有：
3
v23vθ1r32πm
qB＝m，tan＝，其轨迹圆半径R2＝r，磁场中的轨迹弧所对圆心角：θ1＝120°，周期：T＝，粒子运动3R22R23qBθθ1
时间：t＝T，t2＝T，
2π2π解得t2＝2t。
11.如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电荷量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。求：
(1)电子在磁场中运动的时间t；
(2)若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？ πmeB2d2
【答案】 (1) (2) 6eB2m
mv22πR
【解析】 (1)由洛伦兹力提供向心力可得evB＝，且T＝ Rv2πm
得电子在磁场中运动周期T＝ eB
11
30°1
由几何关系知电子在磁场中运动时间t＝T＝T
360°12πm
解得t＝。
6eB
(2)电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，运动半径为R＝d 由evB＝mv2R得v＝eBd
m
电子在PQ间由动能定理得eU＝1
2mv2－0
eB2d2
解得U＝2m。
12
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