2013年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数y3sin2x2

π的最小正周期为__________． 42．(2013江苏，2)设z＝(2－i)(i为虚数单位)，则复数z的模为__________．

x2y2=1的两条渐近线的方程为__________． 3．(2013江苏，3)双曲线

1694．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．

5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是__________．

6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________． 7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．

8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.

9．(2013江苏，9)抛物线y＝x在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．

2

10．(2013江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=BC.若232

DE1AB2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．

11．(2013江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x－4x，则不等式f(x)＞

x的解集用区间表示为__________．

x2y212．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为22=1(a＞0，b＞0)，右

ab焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d26d1，

则椭圆C的离心率为__________．

13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y1(x＞0)图象上一动x点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为__________．

14．(2013江苏，14)在正项等比数列{an}中，a5最大正整数n的值为__________．

1

1，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．过程或演算步骤．

15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.

(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．

16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点． 求证：(1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA.

2

17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝

312，cos C＝.

513(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

3

19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记

bnnSn*

，n∈N，其中c为实数． 2nc2

*

(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝nSk(k，n∈N)； (2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.

x20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e－ax，其中a为实数． (1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围； (2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

4

数学Ⅱ(附加题)

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.

1 01 2－1

B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵AB. 0 20 6

C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x2tan2xt1,(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，y2ty2tan并求出它们的公共点的坐标．

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D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b＞0，求证：2a－b≥2ab－ab.

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【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．

22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，

k个(1)k1k,*

,(1)k1k，…，即当

*

k1kkk1*

n(k∈N)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n22*

∈N)．对于l∈N，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N，且1≤n≤l}．

(1)求集合P11中元素的个数； (2)求集合P2 000中元素的个数．

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