Fourier分析的发展及对教学改革的启示

1807年，39岁的法国数学家傅里叶在法国科学学会上展示了一篇论文，论文中提出了一个在当时颇具争议的论断：“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。”由此，开启了在分析学中最有效的工具——Fourier变换的研究序幕。1822年，Fourier出版了专著《热的解析理论》，“热的解析理论”以一种全新的观点对当时的分析领域产生了极为重要的影响，使数学、物理等学科发生了很大的变化，并引起众多科学家的广泛关注，后被誉为Fourier分析理论。

自以Fourier变换为核心的Fourier分析理论出现以来，连续与分段连续函数的古典

Fourier变换方法一直是数学工作者和工程技术人员处理周期性问题的有效手段，这一手段被广泛应用于数学的许多分支、模拟电路和信号理论、物理和力学。与之相适应，古典Fourier变换理论成为《高等数学》、《数学分析》的重点和不可缺少的组成部分。

1950年，S.L.Sobolev和L.Schwartz将广义函数引入数学，这使得Fourier变换得到快速发展，其应用范围惊人地扩大了，Fourier变换也成为《泛函分析》研究和教学中的重要内容，并被成功地应用于微分方程、数值分析等数学分支以及电磁场、微波等工程技术领域。 由于计算机科学的飞速发展，数字电路的信号理论研究逐步取代模拟电路的信号理论，成为工程技术人员研究的热点和必须掌握的理论工具。相应地，离散Fourier变换逐步取代连续与分段连续函数的古典Fourier变换，成为数字电路和信号理论的数学基础，被成功地应用于电子和信息科学的众多领域。

1994年，Shor通过研究量子离散Fourier变换方法，发现了第一个具体的量子算法，这一具体的量子算法证明在设想的量子计算机上能够用输入的多项式时间分解大数的素因子。Shor的工作掀起了量子信息科学研究的热潮，量子信息科学成为数学、物理和计算机科学的热门研究课题，而量子离散Fourier变换方法则是学习和研究量子信息科学必须掌握的数学基础之一。

二、对Fourier分析教学改革的一些设想

根据上面的介绍和分析，笔者提出了下面的在工科《高等数学》中改革Fourier分析理论部分教学内容和方法的设想：

1.在教材中压缩连续与分段连续函数的Fourier级数和Fourier展开的教学内容，减少2学时。主要是让学生了解Fourier级数的简单理论，会将简单的连续与分段连续周期函数展开成Fourier级数。

2.在教材中增加连续与分段连续函数的古典Fourier变换教学内容，从周期函数与非周期函数的关系引入连续与分段连续函数的Fourier积分公式，进而深入浅出地讲述Fourier变换。讲述Fourier变换的目的主要是为了给工科学生提供一个有用的数学工具，不要过分地追求叙述的严谨和理论的证明。其实，Fourier变换就是通过Fourier积分运算，把某函数类A中的一个函数变成另一个较简单的函数类B中的函数，从而使得问题简单化。要适当增加Fourier变换在数学和其他领域的应用，引导学生深入学习Fourier变换的兴趣。譬如用Fourier变换去解积分方程或去解微分方程，一般地说，在这种变换之下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数直至变成常微分方程；原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使得在函数类B中的运算简化，找出B中的一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求的解（当然，上述求变换与求逆变换是依赖于Fourier积分变换表完成的）。

3.在教材中增加2学时的现代Fourier变换——离散Fourier变换的内容，使学生了解连续函数的Fourier变换与离散Fourier变换的紧密联系，让学生通过计算机软件（譬如Matlab）

实现离散Fourier变换。这对后继课程《数字信号处理》等的学习以及培养学生解决实际问题的能力大有裨益。

4.简要介绍小波分析理论、小波变换与连续与分段连续函数的Fourier变换方法的关系，小波分析引人入胜的内涵以及对众多问题产生的巨大影响，开阔学生的视野。

5.简要介绍量子离散Fourier变换方法、量子离散Fourier变换方法与离散Fourier变换方法的关系，破除学生对新名词的畏惧感和神秘感，点燃学生中的数学爱好者进一步探究Fourier变换的激情。 三、结语

Fourier变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中而且在其他自然科学和各种工程技术领域中均有着广泛的应用，已经成为不可缺少的运算工具。在高等学校理工科专业电子和信息科学专业的数学教育体系中，Fourier分析理论一直是属于具有特殊重要地位的内容，是当代理工科大学生尤其是电子通讯、信号图像等专业的学生必须掌握的基础知识。当前，革新之风正吹遍高等教育界，课程重组、内容改造与学时调整的呼声日益高涨。面对现代科学技术的飞速发展，Fourier分析理论教学不能再墨守成规，革新Fourier分析理论势在必行。对

Fourier变换的教学进行改革，对于学生更好地学习Fourier变换和相关知识具有重要的意义。 参考文献

[1]同济大学 编 高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002年，第4版。 [2]陈纪修 於崇华 金路 数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004年。