2021年全国新课标乙卷理科数学真题

2021年全国统一高考数学试卷（理科乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设2z+z+3z−z=4+6i，则z=

A．1−2i

B．1+2i

C．1+i

D．1−i

()()2．已知集合S={ss=2n+1,nZ},T={tt=4n+1,nZ}，则SA．

B．S

C．T

xT=

D．Z

3．已知命题p：xR，sinx1；命题q：xR，e1，则下列命题中为真命题的是

A. pq B. pq C. pq D. (pq)

4． 设函数fx=()1−x，则下列函数中是奇函数的是 1+xB．fx−1+1 D．fx+1+1

A．fx−1−1 C．fx+1−1

()()()()5．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成角为

A．

2 B．

3 C．

4 D．

6

6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有

A. 60种 B.120种 C.240种 D. 480种 7．把函数y=fx的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的

()1倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23

个单位长度，得到函数y=sinx−的图像，则fx= 4C．sin2x−()A．sinx7− 212B．sinx+ 2127sin2x+ D．

12121

8．在区间0,1和1,2中各随机取1个数，则两数之和大于

()()7的概率为 4D．

A．

7 9B．

23 32C．

9 322 99．魏晋时期刘徽编写的《海岛算经)是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高。如图，点E, H,

G在水平线AC上，DE 和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”,EG称为“表距\"。GC和EH都称为“表目距\"。GC与EH的差称为“表目距的差\"，则海岛的高AB =

A．

表高表距表高表距+表高 B．-表高

表目具的差表目具的差

C．

表高表距表高表距-表距 +表距 D．

表目具的差表目具的差10. 设a0，若x=a是函数fx=ax−a

()()(x−b)的极大值点，则

2A．ab B．ab C．aba D．aba

22x2y211. 设B为椭圆C:2+2=1ab0的上顶点，若上任意一点都满足PB2b，则C的离心率

ab()的取值范围是

12. 设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=

2,1 A．21B．,1

22C．0,

2D．0,

121.04−1，则

A. abc B. bca C. bac D. cab

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x213．已知双曲线C:−y2=1m0的一条渐近线为3x+my=0，则C的焦距为_______

m()14. 已知向量 a=(1,3)，b=(3,4)，a−b⊥b，则＝ ． 15. 记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为3，B=_________

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图.组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________ ( 写出符合要求的一组答案即可).

()3，a+c=3ac，则b=22

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. (12分)

某厂研制了一种生产高精产品的设备。为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台 新设备各生产了10件产品.得到各件产品该项指标数据如F: 旧设备 9.8 新设备 10.1 10.3 10.4 10.0 10.1 10.2 10.0 9.9 10.1 9.8 10.3 10.0 10.6 10.1 10.5 10.2 10.4 229.7 10.3 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均值分别记为x和y，样本方差分別记为s1和s2 (1)求x,y,s1,s2

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−x2设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.否则不认为有显著提高) .

3

22s12+s2210，则认为新

18．（12分）

如图，四棱柱P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC 的中点，且PB⊥AM (1)求BC

(2)求二面角A−PM−B的正弦值

19．（12分）

记为Sn数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知（1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式．

20．（12分）

设函数fx=lna−x，已知x=0是函数y=xfx的极值点 （1）求a

（2）设函数gx=

4

21+=2． Snbn()()()()x+fx()，证明：gx1

()xf(x)

21.（12分）

2已知抛物线C:x=2pyp0的焦点为F，且F与圆M:x+y+4()2()2=1上的点的距离的最小值

为4 （1）求p

（2）若点P在圆M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB面积的最大值

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，C的圆心为C(2,1)，半径为1. （1）写出C的一个参数方程；

（2）过点F(4,1)，作C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)=x−a+x+3

（1）当a=1时，求不等式f(x)6的解集。 （2）若f(x)−a，求a的取值范围。

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