2016年北京市高考文科数学试题及答案

2016年普通高等学校招生全国考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A{x|2x4},B{x|x3或x>5}，则AIB

（A）{x|25} （C）{x|25} （2）复数

12i= 2i（A）i（B）1+i（C）i （D）1i

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）8 （B）9 （C）27

（D）36

（4）下列函数中，在区间(1,1) 上为减函数的是 （A）y1 （B）ycosx （C）yln(x1) （D）y2x 1x2

2

（5）圆（x+1）+y=2的圆心到直线y=x+3的距离为

（A）1 （B）2 （C）2 （D）22

（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为

（A）

1892 （B） （C） （D）

252555（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为

（A）−1 （B）3 （C）7 （D）8

（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预

赛成绩，其中有三个数据模糊.

学生序号 1 2 1.93 1.84 1.85 1.76 1.77 1.78 1.79 1.610 1.6立定跳远（单位：米） 1.96 30秒跳绳（单位：次） 63 2 2 75 0 60 8 63 6 72 4 70 2 8 0 65 a a−1 b 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则

（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知向量a=(1,3),b(3,1) ，则a与b夹角的大小为_________.

x(x2)的最大值为_________. （10）函数f(x)x1（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

(12) 已知双曲线

xy1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（5 ,0），则a=_______；a2b22b ，a=3c，则=_________. 3c22b=_____________.

(13)在△ABC中，A(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天

售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种.

三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4. （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.

（16）（本小题13分）

已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

（17）（本小题13分）

某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC,DCAC （I）求证：DC平面PAC；

（II）求证：平面PAB平面PAC；

(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF?说明理

由.

（19）（本小题14分）

x2y2已知椭圆C：221过点A（2,0），B（0,1）两点.

ab（I）求椭圆C的方程及离心率；

（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

（20）（本小题13分） 设函数fxxaxbxc.

32（I）求曲线yfx.在点0,f0处的切线方程；

（II）设ab4，若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围； （III）求证：a23b＞0是fx.有三个不同零点的必要而不充分条件.

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学(文)(北京卷)参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）

3 （10）2 （11） （12）1 2 62（13）1 （14）16 29 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I）等比数列bn的公比q所以b1b393， b23b21，b4b3q27． q设等差数列an的公差为d． 因为a1b11，a14b427， 所以113d27，即d2．

所以an2n1（n1，2，3，）．

n1（II）由（I）知，an2n1，bn3． n1因此cnanbn2n13．

从而数列cn的前n项和

Sn132n1133n1

n12n113n

2133n12n．

2（16）（共13分）

解：（I）因为fx2sinxcosxcos2x

sin2xcos2x

2sin2x，

4所以fx的最小正周期依题意，

2． 2，解得1． 2sin2x．

4函数ysinx的单调递增区间为2k,2k（k）．

22（II）由（I）知fx由2k得k22x42k2，

3xk． 883． ,k（k）

88所以fx的单调递增区间为k（17）（共14分）

解：（I）由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3内的频

率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w至少定为3．

（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 分组 8 2,4 4,6 6,8 8,10 0.25 10,12 12,17 17,22 22,27 0.15 0.05 0.05 0.05 频率 0.1 0.15 0.2 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： 40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05

． 10.5（元）

（18）（共13分）

解：（I）因为C平面CD， 所以CDC． 又因为DCC， 所以DC平面C．

（II）因为//DC，DCC，

所以C．

因为C平面CD， 所以C．

所以平面C．

所以平面平面C．

（III）棱上存在点F，使得//平面CF．证明如下： 取中点F，连结F，C，CF． 又因为为的中点， 所以F//．

又因为平面CF， 所以//平面CF．

（19）（共14分） 解：（I）由题意得，a2，b1．

x2y21． 所以椭圆C的方程为4又ca2b23，

c3． a222（II）设x0,y0（x00，y00），则x04y04．

所以离心率e又2,0，0,1，所以，

y0x2． x022y02y0令x0，得y，从而1y1．

x02x02y1x1． 直线的方程为y0x0xx0令y0，得x0，从而2x2．

y01y01直线的方程为y所以四边形的面积

1 2x2y01201 2y01x0222x04y04x0y04x08y04 2x0y0x02y02S2x0y02x04y04

x0y0x02y022． 从而四边形的面积为定值． （20）（共13分）

解：（I）由fxxaxbxc，得fx3x2axb．

322因为f0c，f0b，

所以曲线yfx在点0,f0处的切线方程为ybxc． （II）当ab4时，fxx4x4xc，

322所以fx3x8x4．

令fx0，得3x28x40，解得x2或x2． 322, 3fx与fx在区间,上的情况如下：

x ,2  2 2 32, 3 fx fx 所以，当c0且c0 c  ] Z 0 32 c27Z 2320时，存在x14,2，x22,，

3272x3,0，使得fx1fx2fx30．

33232由fx的单调性知，当且仅当c0,时，函数fxx4x4xc有三个不同零点． 272（III）当4a212b0时，fx3x2axb0，x,，

此时函数fx在区间,上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点．

2当4a212b0时，fx3x2axb只有一个零点，记作x0．

当x,x0时，fx0，fx在区间,x0上单调递增； 当xx0,时，fx0，fx在区间x0,上单调递增． 所以fx不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有4a212b0． 故a23b0是fx有三个不同零点的必要条件．

当ab4，c0时，a23b0，fxx34x24xxx2只有两个不同 零点， 所以a23b0不是fx有三个不同零点的充分条件． 因此a23b0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．

2