2017—2018学年度第一学期九年级数学教学进度表 周序 日 期 1-2 9.14—9.20 教学工作内容及课时安排 21.1二次函数的图像与性质 5 21.2二次函数与一元二次方程2 21.3实际问题与二次函数 2 《二次函数》单元小结与练习 1 23.1图形的旋转2 23.2中心对称3 23.3课题学习 图案设计2 《旋转》单元考及讲评3 3-4 9.21—9.27 5-6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.28—10.4 10.5—10.11 10.12—10.18 24.1圆5 10.19—10.25 24.2点、直线、圆和圆的位置关系5 10.26—11.1 11.2—11.8 11.9—11.15 11.16—11.21 期中考复习 期中考试与试卷分析 24.3正多边形和圆2 24.4弧长和扇形面积2 24.4弧长和扇形面积2 《圆》单元考及讲评3 11.23—11.29 25.1随机事件与概率4 11.30—12.6 12.7—12.13 12.14—12.20 12.21—12.27 12.28—1.3 1.4—1.10 1.11—1.17 25.2用列举法求概率3 25.3用频率估计概率1 25.4课题学习及数学活动2 《概率初步》单元考及讲评2 九年级数学下册内容 九年级数学下册内容 九年级数学下册内容 期末考复习 期末考复习及考试 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.1 二次函数（1） 课型 新授课 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 学 目 标 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识 培养学生的良好的学习习惯 教学重点 教学难点 教学准备 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另2一边BC的长，进而得出矩形的面积ym．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 BC长(m) 25 6 7 8 9 12 面积y(m) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成2共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， 第2页
第二十一章 一元二次方程 教案 [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： 2 y=－2x＋20x (0＜x＜10)……………………………(1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： 2 y=－100x＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) 22 (2)多项式－2x＋20和－100x＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。 2 2．二次函数定义：形如y=ax＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习 P3练习第1，2题。 五、小结 1．请叙述二次函数的定义． 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P14：1、2 教科书P14：7
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第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.1 二次函数（2） 课型 新授课 使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 教 学 目 标 使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 教学重点 教学难点 教学准备 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax的图象是教学的重点。 用描点法画出二次函数y=ax的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 22课 堂 教 学 程 序 设 计 一、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例 2 例1、画二次函数y=x的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 2 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做 22 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x与y=-x的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 22 2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x与y=-2x的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可第4页
第二十一章 一元二次方程 教案 分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，2都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x的图象开口向上，函数2y=-x的图象开口向下。 四、归纳、概括 2222222函数y＝x、y=-x、y=2x、y=-2x是函数y=ax的特例，由函数y＝x、y=-x、y＝222x、y=-2x的图象的共同特点，可猜想： 2 函数y=ax的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。 2 如果要更细致地研究函数y=ax图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 22 让学生观察y＝x、y＝2x的图象，填空； 2 当a>0时，抛物线y=ax开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质? 先让学生观察下图，回答以下问题； (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？ (2)yA、yB大小关系如何? (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0? (4)yC、yD大小关系如何? (XA 第5页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.1 二次函数（3） 2课型 新授课 使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax＋b的图象。 教 学 目 标 让学生经历二次函数y＝ax＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax＋b的性质2及它与函数y＝ax的关系。 师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦 22教学重点 教学难点 教学准备 会用描点法画出二次函数y＝ax＋b的图象，理解二次函数y＝ax＋b的性质，理解函22数y＝ax＋b与函数y＝ax的相互关系 正确理解二次函数y＝ax＋b的性质，理解抛物线y＝ax＋b与抛物线y＝ax的关系 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 22222课 堂 教 学 程 序 设 计 一、提出问题 21．二次函数y＝2x的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大2而______，函数y＝ax与x＝______时，取最______值，其最______值是______。 222．二次函数y＝2x＋1的图象与二次函数y＝2x的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 二、分析问题，解决问题 问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? 22 (画出函数y＝2x和函数y＝2x的图象，并加以比较) 22 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x与y＝2x＋1的图象吗? 教学要点 2 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x的图象。 2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函22数y＝2x＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x＋1的图象． 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表： x y＝x 22… … －3 18 －2 8 －1 2 0 0 1 2 2 8 3 18 … … y＝x＋1 … 19 9 3 l 3 9 19 … (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 22(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x和y＝2x＋1的图象。 （图象略） 问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系? 教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值 之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋12的函数值都比函数y＝2x的函数值大1。 22 教师引导学生观察函数y＝2x＋1和y＝2x的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反第6页 第二十一章 一元二次方程 教案 映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 22 问题4：函数y＝2x＋1和y＝2x的图象有什么联系? 2 由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x＋1的图象可以看成是将函数y＝22x的图象向上平移一个单位得到的。 问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 22 让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x＋1与y＝2x的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝22x＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 22 问题6：你能由函数y＝2x的性质，得到函数y＝2x＋1的一些性质吗? 完成填空： 当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______． 2 以上就是函数y＝2x＋1的性质。 三、做一做 22问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x－2与函数y＝2x的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 教学要点 1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导； 22 2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x－2与函数y＝2x的图象的开口方向、2对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。 2 问题8：你能说出函数y＝2x－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗? 教学要点 2 1．让学生口答，函数y＝2x－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)； 2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数 值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得 最小值，最小值y＝－2。 1212 问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x＋2图象与函数y＝－x的图象有33什么关系? 1212 要求学生能够画出函数y＝－x与函数y＝－x＋2的草图，由草图观察得出331122结论：函数y＝－1/3x＋2的图象与函数y＝－x的图象的开口方向、对称轴相同，331212但顶点坐标不同，函数y＝－x＋2的图象可以看成将函数y＝－x的图象向上平33移两个单位得到的。 12 问题10：你能说出函数y＝－x＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 312 [函数y＝－x＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)] 3 问题11：这个函数图象有哪些性质? 12 让学生观察函数y＝－x＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增3大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，第7页 第二十一章 一元二次方程 教案 最大值y＝2。 四、练习： P7练习。 五、小结 221．在同一直角坐标系中，函数y＝ax＋k的图象与函数y＝ax的图象具有什么关系? 22．你能说出函数y＝ax＋k具有哪些性质? 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P14：5（1） 练习册P109-114 第8页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.1 二次函数（4） 2课型 新授课 1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)的图象。 教 学 目 标 让学生经历二次函数y＝a(x－h)性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)的性质，理22解二次函数y＝a(x－h)的图象与二次函数y＝ax的图象的关系。 22教学重点 教学难点 教学准备 会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)的图象，理解二次函数y＝a(x－h)的性质，理22解二次函数y＝a(x－h)的图象与二次函数y＝ax的图象的关系 理解二次函数y＝a(x－h)的性质，理解二次函数y＝a(x－h)的图象与二次函数y＝2ax的图象的相互关系 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 2222课 堂 教 学 程 序 设 计 一、提出问题 12121．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x，y＝－x－1的图象，并回答： 22 (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。 22 2．二次函数y＝2(x－1)的图象与二次函数y＝2x的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题，解决问题 问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题? 22 (画出二次函数y＝2(x－1)和二次函数y＝2x的图象，并加以观察) 22 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x与y＝2(x－1)的图象吗? 教学要点 1．让学生完成列表。 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 问题3：现在你能回答前面提出的问题吗? 开口方向 对称轴 顶点坐标 教学要点 2y＝2x 1．教师引导学生观察画出的两个函数图象． 2y＝2(x－1) 根据所画出的图象，完成以下填空： 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝222(x－1)与y＝2x的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一221)的图象可以看作是函数y＝2x的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。 22 问题4：你可以由函数y＝2x的性质，得到函数y＝2(x－1)的性质吗? 教学要点 221.教师引导学生回顾二次函数y＝2x的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)的图象； 2．让学生完成以下填空： 当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。 三、做一做 第9页 第二十一章 一元二次方程 教案 问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)与函数y＝2x的图象，并比较它们的联系和区别吗? 教学要点 1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； 2．请两位同学上台板演，教师讲评； 22 3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)与函数y＝2x的图象开2口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。 2 问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。 1122 问题7：函数y＝－(x＋2)图象与函数y＝－x的图象有何关系? 3312 问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 312 问题9：你能得到函数y＝(x＋2)的性质吗? 3 教学要点 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。 四、课堂练习： P8练习。 五、小结： 221．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)的图象与函数y＝ax的图象有什么联系和区别? 22．你能说出函数y＝a(x－h)图象的性质吗? 3．谈谈本节课的收获和体会。 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P14：5（2） 练习册P115-116 22第10页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.1 二次函数（5） 22课型 新授课 1．使学生理解函数y=a(x－h)＋k的图象与函数y=ax的图象之间的关系。 22．会确定函数y=a(x－h)＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 让学生经历函数y=a(x－h)＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)＋k的性质。 22教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 确定函数y=a(x－h)＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)22＋k的图象与函数y=ax的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)＋k的性质 222正确理解函数y=a(x－h)＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－2h)＋k的性质 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、提出问题 221．函数y=2x＋1的图象与函数y=2x的图象有什么关系? 22 (函数y=2x＋1的图象可以看成是将函数y=2x的图象向上平移一个单位得到的) 222．函数y=2(x－1)的图象与函数y=2x的．图象有什么关系? 22 (函数y=2(x－1)的图象可以看成是将函数y=2x的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3) 2223．函数y=2(x－1)＋1图象与函数y=2(x－1)图象有什么关系?函数y=2(x－1)＋1有哪些性质? 二、试一试 你能填写下表吗? y=2x 向右平移 的图象 1个单位 向上 y轴 2y=2(x－21) 向上平移 1个单位 y=2(x－1)＋1的图象 2开口方向 对称轴 顶 点 (0，0) 222 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)＋1与函数y=2(x－1)、y=2x图象的关系吗? 2 问题3：你能发现函数y=2(x－1)＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识； 22 函数y＝2(x－1)＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)的图象向上平称1个2单位得到的，也可以看成是将函数y=2x的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。 三、做一做 第11页 第二十一章 一元二次方程 教案 问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)－2的图象，并将它与函数2y=2(x－1)的图象作比较吗? 教学要点 1．在学生画函数图象时，教师巡视指导； 2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。 1122 问题5：你能说出函数y=－(x－1)＋2的图象与函数y=－x的图象的关系，33由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 1122 (函数y＝－(x－1)＋2的图象可以看成是将函数y=－x的图象向右平移一个33单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2) 四、课堂练习： P10练习。 五、小结 1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P14：5（3） 教科书P15：11 2 第12页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.1 二次函数（6） 2课型 新授课 1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax＋bx＋c的图象。 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 让学生经历探索二次函数y＝ax＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性2质的过程，理解二次函数y＝ax＋bx＋c的性质。 2教 学 目 标 教学重点 用描点法画出二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标 b2理解二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、2a2b4ac－b(－，) 2a4a教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 2教学难点 教学准备 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、提出问题 2 1．你能说出函数y＝－4(x－2)＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2 (函数y＝－4(x－2)＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。 22 2．函数y＝－4(x－2)＋1图象与函数y＝－4x的图象有什么关系? 22 (函数y＝－4(x－2)＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 2 3．函数y＝－4(x－2)＋1具有哪些性质? (当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1) 125 4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x＋x－的图象的开口方向、对称轴22和顶点坐标吗? 12512 [因为y＝－x＋x－＝－(x－1)－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴222为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)] 125 5．你能画出函数y＝－x＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 22二、解决问题 125 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x＋x－的图象的开口方22向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－125x＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。 22说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 第13页 第二十一章 一元二次方程 教案 让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质； 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2 三、做一做 12 1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x－4x＋10的图象，由图象你能发现这2个函数具有哪些性质吗? 教学要点 (1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。 2 2．通过配方变形，说出函数y＝－2x＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 教学要点 (1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对2于任意一个二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识； bbb2b2b2222 y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c ＝a[x＋x＋()－()]＋c ＝a[x＋x＋aa2a2aa22b2bb24ac－b()]＋c－ ＝a(x＋)＋ 2a4a2a4a 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标2b4ac－b是(－，) 2a4a四、课堂练习： P12练习。 五、小结： 通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？ 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P14：6 教科书P15：12 第14页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.1 二次函数（7） 课型 新授课 1．能根据实际问题列出函数关系式、 2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。 通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围 根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习旧知 1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 22 (1)y＝6x＋12x； (2)y＝－4x＋8x－10 2 [y＝6(x＋1)－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－26)；y＝－4(x－1)－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6)) 2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最2大值、最小值分别是多少? (函数y＝6x＋12x有最小值，最小值y＝－6，函数y2＝－4x＋8x－10有最大值，最大值y＝－6) 二、范例 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题； 例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。 围成的花圃面积y与x的函数关系式是 y＝x(20－2x) 2 即y＝－2x＋20x 2 配方得y＝－2(x－5)＋50 所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。 因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。 所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。 例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 教学要点 (1)学生阅读第2页问题2分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程： 解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。 第15页 第二十一章 一元二次方程 教案 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx) 122 即y＝－1OOx＋1OOx＋200 配方得y＝－100(x－)＋225 211 因为x＝时，满足0≤x≤2。 所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。 22 所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。 例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题： 6－3x (1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m? (m) 2 (2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。 6－3x让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即解不等2x＞0式组6－2x， 解这个不等式组，得到不等式组的解集为O＜x＜2，所以x的取＞02值范围应该是0＜x＜2。 (3)你能说出面积y与x的函数关系式吗? 6－3x32 (y＝x·，即y＝－x＋3x) 22小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： (5)解决提出的实际问题。 三、课堂练习：P13 练习。 四、小结： 1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑? 2．谈谈你的收获和体会。 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P15：9 教科书P15：10 第16页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.2用函数的观点看一元二次方程（1） 课型 新授课 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。 教 学 目 标 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 教学重点 教学难点 教学准备 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。 二、探索问题 问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平42距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x＋2x＋。 5(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 教学要点 1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求42函数y＝－x＋2x＋最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标； 52．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。 问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m? 第17页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学要点 1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。 2．让学生完成解答，教师巡视指导。 3．教师分析存在的问题，书写解答过程。 解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴2为y轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：y＝ax (a＜0) (1) AB因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的2坐标是(0.8，－2.4)。 2 因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －2.4＝a×0.8所以：a＝15－ 4152因此，函数关系式是 y＝－x (2) 4。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2问题3：画出函数y＝x－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。 (1)图象与x轴交点的坐标是什么； 32(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x－x－＝0有什么关系? 4(3)你能从中得到什么启发? 教学要点 21．先让学生回顾函数y＝ax＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤32画出函数y＝x－x－的图象。 42．教师巡视，与学生合作、交流。 3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。 4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出1的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，230)和(，0)。 25．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。 6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全32班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x－x－的图象与x轴交点的横坐43322标，即为方程x－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x－x－的函44322数值为0时，相应的自变量的值即为方程x－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax42＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝第18页 第二十一章 一元二次方程 教案 ax＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。 三、试一试 根据问题3的图象回答下列问题。 (1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0? 1313 (当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0) 2222 (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采描3322述(1)中的问题，即x－x－＜0的解集是什么?x－x－＞0的解集是什么?) 44 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识： 2 (1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横2坐标，即为一元二次不等式ax＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐2标．即为一元二次不等式ax＋bx＋c＜0的解。 2 (2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax＋bx＋c的函数值大于0时，相应的22自变量的值即为一元二次不等式ax＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax＋bx＋c的2函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。 四、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑? 2 2．若二次函数y＝ax＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方222程ax＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax＋bx＋c＞0、ax＋bx＋c＜0的解的情况。 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P19：1、2 教科书P20：5 22 第19页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 226.2用函数的观点看一元二次方程（2） 2课型 新授课 复习巩固用函数y＝ax＋bx＋c的图象求方程ax＋bx＋c＝0的解 教 学 目 标 让学生体验函数y＝x和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x＝bx＋c的解的探索过程，22掌握用函数y＝x和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax＝bx＋c的解。 提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 22教学重点 教学难点 教学准备 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力 提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习巩固 22 1．如何运用函数y＝ax＋bx＋c的图象求方程ax＋bx＋c的解? 2．完成以下两道题： 22 (1)画出函数y＝x＋x－1的图象，求方程x＋x－1＝0的解。(精确到0.1) 22 (2)画出函数y＝2x－3x－2的图象，求方程2x－3x－2＝0的解。 教学要点 1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。 解：略 2 函数y＝2x－3x－2的图象与x轴交点的横坐标1分别是x1＝－和x2＝2，所以一元二次方程的解是x121＝－和x2＝2。 2二、探索问题 问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在12上节课的作业中出现了争论：求方程x＝x十3的解时，几乎所有学生都是将方程21122化为x－x－3＝0，画出函数y＝x－x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方2212程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x和y＝x＋2的图象，23如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解． 2 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么? 让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。 2 3．函数y＝x和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? 22 4，函数y＝x和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x＝bx＋c第20页 第二十一章 一元二次方程 教案 的解吗? 22 5．如果函数y＝x和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x＝bx＋c的解怎样? 三、做一做 利用图26．3．4，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。 22 (1)x＋x－1＝0(精确到0.1)； (2)2x－3x－2＝0。 22 教学要点：①要把(1)的方程转化为x＝－x＋1，画函数y＝x和y＝－x＋1的图象； 3322 ②要把(2)的方程转化为x＝x＋1，画函数y＝x和y＝x＋1的图象；③在学22生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。 四、综合运用 2 已知抛物线y1＝2x－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。 (1)求这两个函数的关系式； (2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。 解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1 2 所以y1＝x＋1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x－8x＋k＋8上，所以有 2 4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2 所以y1＝2x－8x＋10 y＝x＋1x1＝3x2＝1.5 (2)依题意，得 解这个方程组，得 ， 2y＝2x－8x＋10y1＝4y2＝2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。 五、小结： 1．如何用画函数图象的方法求方程韵解? 2y＝x2 2．你能根据方程组：的解的情况，来判定函数y＝x与yy＝bx＋c＝bx＋c图象交点个数吗?请说说你的看法。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P20：3、4 教科书P20：6 第21页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.3 实际问题与二次函数（1） 课型 2新授课 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax、y＝ax＋bx＋c的关系式 已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 22课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。 如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所2以可设它的函数关系式为： y＝ax (a＜0) (1) AB 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝ ＝2(cm)，又CO＝0.8m，2所以点B的坐标为(2，－0.8)。 2 因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×2 所以a＝－0.2 2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。 二、引申拓展 问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。 问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。 2 二次函数的一般形式是y＝ax＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐第22页 第二十一章 一元二次方程 教案 标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。 问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同? 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 请同学们阅渎P18例7。 三、课堂练习 例1．如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。 解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。 2设所求二次函数为y＝ax＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到64a＋8b＝－4c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到 解这个方4a－2b＝－41a＝－4程组，得 3b＝2123 所以，所求二次函数的关系式是y＝－x＋x＋4 422 练习： 一条抛物线y＝ax＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。 2四、小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P26：1、2、3 教科书P26：7 第23页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 26.3 实际问题与二次函数（2） 课型 新授课 1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习巩固 1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 1132 答案：(1)y＝x＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。 2242 3．二次函数y＝ax＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么? 2bb4ac－b [对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)] 2a2a4a二、范例 例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 22 分析：二次函数y＝ax＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，2因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。 请同学们完成本例的解答。 例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。 2 解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，－b＝2可以得2a 9a＋3b＝6a＝－22 解这个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x＋8x－5。 b＝82 解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)＋k，由于二次函数的图象经过第24页 第二十一章 一元二次方程 教案 a(3－2)＋k＝1a＝－2(3，1)和(0，－5)两点，可以得到 解这个方程组，得： 2a(0－2)＋k＝－5k＝32 所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)＋3，即y＝－2x＋8x－5。 例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 三、课堂练习 1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2 2．已知二次函数y＝x＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。 四、小结 1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? 2 [两种类型：(1)一般式：y＝ax＋bx＋c 2 (2)顶点式：y＝a(x＋h)＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P26：4、5、6 教科书P26：8、9 22 第25页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 《二次函数》小结与复习（1） 课型 新授课 理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y＝ax2图象的性质。 二次函数图象的平移。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点 2 1．二次函数的概念，二次函数y＝ax (a≠0)的图象性质。 例：已知函数y(m2)xmm4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小? 学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。 2 教师精析点评，二次函数的一般式为y＝ax＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数2b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax(a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x＝0。 (1)使y(m2)xmm4是关于x的二次函数，则m＋m－4＝2，且m＋2≠0，即： 2m＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m＋2＞0， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。 抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。 222 强化练习；已知函数y(m1)xmm是二次函数，其图象开口方向向下，则m＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。 2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方2法求出抛物线y＝－3x－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎2样的平移，可得到抛物线y＝－3x。 学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。 教师归纳点评： (1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一2第26页 第二十一章 一元二次方程 教案 b24ac－b般式与顶点式的互化关系： y＝ax＋bx＋c————→y＝a(x＋)＋ 2a4a (2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳； 投影展示： 22 强化练习： 2 (1)抛物线y＝x＋bx＋c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛2物线y＝x－2x＋1，求：b与c的值。 12 (2)通过配方，求抛物线y＝x－4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画2出图象。 3．知识点串联，综合应用。 例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且2与抛物线y＝ax相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。 学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。 教师点评：(1)直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y＝kx＋b，可确定2k、b，抛物线y＝ax过点B(1，1)，代人可确定a。 2 求得：直线解析式为y＝－x＋2，抛物线解析式为y＝x。 2 (2)由y＝－x＋2与y＝x，先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(－2，4)， S△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3。 ∵ S△AOD＝S△OBC，且OA＝2 ∴ D的纵坐标为3 22 又∵ D在抛物线y＝x上，∴x＝3，即x＝±3 ∴ D(－3，3)或(3，3) 2 强化练习：函数y＝ax(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求： (1)a和b的值； 2(2)求抛物线y＝ax的顶点和对称轴； 2 (3)x取何值时，二次函数y＝ax中的y随x的增大而增大， (4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。 二、课堂小结 1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。 2。投影：完成下表： 第27页 第二十一章 一元二次方程 教案 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P31：1-9 教科书P32：10、11 第28页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 《二次函数》小结与复习（2） 课型 新授课 会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。 会运用二次函数知识解决有关综合问题。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、例题精析，强化练习，剖析知识点 用待定系数法确定二次函数解析式． 例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 2 (1)抛物线y＝ax＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。 2 (3)已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。 2 (4)已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x2轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)＋k的形式。学生活动：学生小组讨论，并让学生阐述解题方法。 2教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式： (1)一般式：y＝ax＋bx＋c (a≠0) 2 (2)顶点式：y＝a(x－h)＋k (a≠0) (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0) 2 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax＋bx＋c形式。 2 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)＋k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2) 强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。 (1)若m为定值，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。 二、知识点串联，综合应用 2 例：如图，抛物线y＝ax＋bx＋c过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。 学生活动：学生先自主分析，然后小组讨论交流。教师归纳： 2 (1)求抛物线解析式，只要求出A、B，C三点坐标即可，设y＝x－2x－3。 (2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1，－4)。 第29页 第二十一章 一元二次方程 教案 (3)由|0B|＝|OC|＝3 又OM⊥BC。 所以，OM平分∠BOC 1±132 设M(x，－x)代入y＝x－2x－3 解得x＝ 21＋131－13 因为M在第四象限：∴M(， ) 22题后反思：此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数 解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求M点坐标 时应考虑M点所在象限的符号特征，抓住点M在抛物线上，从而可求M的求标。 2 强化练习；已知二次函数y＝2x－(m＋1)x＋m－1。 (1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。 (2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。 三、课堂小结 1．投影：让学生完成下表： 2．归纳二次函数三种解析式的实际应用。 3．强调二次函数与方程、圆、三角形，三角函数等知识综合的综合题解题思路。 作业 设计 教学 反思 必做 选做 练习册P133-136 练习册P137 第30页 第二十一章 一元二次方程 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 《二次函数》小结与复习（3） 课型 新授课 1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。 将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、例题精析，引导学法，指导建模 1．何时获得最大利润问题。 例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本12地销 售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－ (x－30)＋1050万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外491942地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－(50－x)＋ (50－x)＋308万505元。 (1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少? (2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。 学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。 教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。 教师精析： 12 (1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－ (x－30)＋10知道，只需50从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。 (2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是： 12P＝－ (25－30)＋10=9.5(万元) 50 则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元 设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。 第31页 第二十一章 一元二次方程 教案 49194 则由Q＝－ (50－x)＋(50－x)＋308知，将余下的(50－x万元全部用于外50512地销售的投资．才有可能获得最大利润； 则后5年的利润是： M3＝[－(x－30)504921942＋10]×5＋(－x＋x＋308)×5＝－5(x－20)＋3500 故当x＝20时，M3取505得最大值为3500万元。 ∴ 10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元 (3)因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值。 强化练习：某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做—次函数y＝kx＋b的关系，如图所示。 (1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式， (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少? 分析：(1)由图象知直线y＝kx＋b过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式 为y＝－x＋1000 (2)由毛利润S＝销售总价－成本总价，可得S与x的关系式。 S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100) 22 ＝－x＋1500x－500000＝－(x－750)＋62500 (500＜x＜800) 所以，当销售定价定为750元时，获最大利润为62500元。 此时，y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为250件。 2．最大面积是多少问题。 例：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。 (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用； (3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，②5≈2.236) 学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。 教师精析： 2 (1)由矩形面积公式易得出S＝x·(6－x)＝－x＋6x (2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。 22 由S＝－x＋6x＝－(x－3)＋9，知当x＝3时，即此矩形为边长为3的正方形时，2矩形面积最大，为9m，因而相应的广告费也最多：为9×1000＝9000元。 (3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。 设设计的黄金矩形的长为x米，则宽为(6－x)米。 2 则有x＝6·(6－x) 解得x1＝－3－35 (不合题意，舍去)，x2＝－3＋35。 即设计的矩形的长为(35，3)米，宽为(9－35)米时，矩形为黄金矩形。 此时广告费用约为：1000(35－3)(9－35)≈8498(元) 二、课堂小结：让学生谈谈．通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转第32页 第二十一章 一元二次方程 教案 化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 练习册P138-140 练习册P141 第33页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.1 图形的旋转（1） 课型 新授课 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题． 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，激发学习热情． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 旋转及对应点的有关概念及其应用． 从活生生的数学中抽出概念． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形． 2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？第34页 第二十三章 旋转 教案 （老师点评略） 3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角． （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角． （3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？ （老师点评） 三、巩固练习 教材P56 练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．两个边长为1的正方形，如图所示，•让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为1，现把其中一个正方形固定不动，•另一4个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？•说明理由． 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： 1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P59:1、2、3． P60：6 第35页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.1 图形的旋转(2) 课型 新授课 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质． 从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 图形的旋转的基本性质及其应用． 运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的． 二、探索新知 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验． 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，•再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，•在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 第36页 第二十三章 旋转 教案 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，•即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形． 例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=1，△4ABF是△ADE的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？ （4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A点． （2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的 ∴B是D的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=1 417 4 ∴AE=1()=2142 ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴AF=17 4第37页 第二十三章 旋转 教案 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形． 三、巩固练习 教材P58 练习1、2． 四、应用拓展 例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90° ∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的 ∴BK=DM 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P60 4、5． P60：7 第38页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.1 图形的旋转(3) 课型 新授课 理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案． 复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案． 让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 用旋转的有关知识画图． 根据需要设计美丽图案． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题． 如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG； 第三，A点旋转后的对应点：A′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 第39页 第二十三章 旋转 教案 画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30•°的旋转图形． 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 三、巩固练习 教材P59 练习． 四、应用拓展 例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图案． 解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°， 在射线OA′上截取OA′=OA； （2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′； （3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A•′G′、G′D′、D′H′、H′A′； （4）所作出的图案就是所求的图案． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，•要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P60： 综合运用7、8． P60：9 第40页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.2 中心对称(1) 课型 新授课 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 教 学 目 标 复习运用旋转知识作图，•旋转角度变化，•设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣． 教学重点 教学难点 教学准备 利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 从一般旋转中导入中心对称． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 请同学们独立完成下题． 如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，•并写出简要作法． 老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，•一般我们选 择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；•已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连结OA、OB、OC、OD； （2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD； （3）分别截取OE=OB，OF=OC； （4）依次连结DE、EF、FD； 即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示． 二、探索新知 问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题： 1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？ 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合． 第41页 第二十三章 旋转 教案 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． （2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点． 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心． （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D （3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示． 答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点． （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合． 例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD•成中心对称的三角形． 分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可． 解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B•点关于中心D的对称点为C（B′） （2）连结A′B′、A′C′． 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示． 三、巩固练习 第42页 第二十三章 旋转 教案 教材P64 练习1． 四、应用拓展 例3．如图，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置． （1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积． （2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式． 分析：（1）∵BC=4，AC=4 ∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1 （2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x 解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC ∴BC′=C′D=1 ∴S△BDC`=11×1×1= 22 （2）∵CC′=x，∴BC′=4-x ∵AC=BC=4 ∴DC′=4-x ∴S△BDC`=112（4-x）（4-x）=x-4x+8 22 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称及对称中心的概念； 2．关于中心的对称点的概念及其运用． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P67： 1． 第43页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.2 中心对称(2) 课型 新授课 理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． 复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 中心对称的两条基本性质及其运用． 让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （老师口问，学生口答） 1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？ 2．什么叫关于中心的对称点？ 3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，•画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． （每组推荐一人上台陈述，老师点评） （老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形 （1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形； （2）作关于一定点O为对称中心的对称图形． 第一步，画出△ABC． 第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示． (1) (2) 从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形； 分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段． 下面，我们就以图2为例来证明这两个结论． 证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ 第44页 第二十三章 旋转 教案 ∴AB=A′B′ 同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′ （2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O•旋转180•°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点． 同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点． 因此，我们就得到 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称． 分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到． 解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示． （2）同样画出点B和点C的对称点E和F． （3）顺次连结DE、EF、FD． 则△DEF即为所求的三角形． 例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B•′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）． 二、巩固练习 教材P64： 练习2． 三、应用拓展 例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC． 第45页 第二十三章 旋转 教案 分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，•旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内． 解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B•的位置，则△AOC≌△AO′B． ∴AO=AO′，OC=O′B 又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形． ∴AO=OO′ 在△BOO′中，OO′+OB>BO′ 即OA+OB>OC 四、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 中心对称的两条基本性质： 1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，•而且被对称中心所平分； 2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 P68：6、7 P68：8． 第46页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.2 中心对称(3) 课型 新授课 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用． 从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ （老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题． （1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示． A （2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示． OAO （2）延长AO使OC=AO， 延长BO使OD=BO， 连结CD 则△COD为所求的，如图所示． B 第47页 第二十三章 旋转 教案 二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=•OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合． 上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平AD行四边形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD O ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合． CB 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答． （学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳． 例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． AODBC 分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分． 证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、•BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，•四边形ABCD是平行四边形． 三、巩固练习 教材P66 练习． 四、应用拓展 例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，•求折痕EF的长． 分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接AF， ∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC． ∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=•BC=4 设CF=x，则AF=x，BF=4-x， 第48页 第二十三章 旋转 教案 由勾股定理，得AC=BC+AB=5 ∴AC=5，OC=222222 15AC= 22222 ∵AB+BF=AF ∴3+（4-x）=2=x ∴x=25 8222 ∵∠FOC=90° 5215215252）-（）=（） OF= 28881515 同理OE=，即EF=OE+OF= 84 ∴OF=FC-OC=（ 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P68：2 教材P68 综合运用5 第49页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.2 中心对称（4） 课型 新授课 理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用． 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用． 复习平面直角坐标系的有关概念，•通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．享受成功的喜悦，激发学习热情． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）•关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用． 运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′． A 2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． 3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形． l 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知 （学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、•D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答： 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 第50页 第二十三章 旋转 教案 y43CAB-4-3-2-121D123O-1-3x-2 老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO （2）在射线AO上截取OA′=OA （3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″． ∵△AD′O与△A′D″O全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题． 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）． 例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形． y4321-4-3-2-1B123-2O-1Ax-3 分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可． 解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）， 因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）． 连结A′B′． 第51页 第二十三章 旋转 教案 则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′． （学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材P67 练习． 四、应用拓展 例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1． y （1）在图中画出直线A1B1． 43 （2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式． 2B（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我A1-4-3-2-1O123x-1们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与双曲线只-2有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式， -3若不存在，请说明理由． 分析：（1）只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1． （2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=k代入求k． x （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线． 解：（1）分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1（1，0），B1（2，0），连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的． （2）∵A1B1的中点坐标是（1， 设所求的反比例函数为y= 则1） 2k x1k1=，k= 2121 ∴所求的反比例函数解析式为y=2 x （3）存在． ∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1（0，1），B1（2，0） b`11b` ∴ ∴1 k`02kb2 ∴y=-1x+1 2 把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 第52页 第二十三章 旋转 教案 根据点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）得： A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为A2（0，-1），B2（-2，0） ∵A2B2：y=kx+b 11bk ∴ ∴2 02k`bb1 ∴A2B2：y=-1x-1 211 下面证明y=-x-1与双曲线y=2相切 2x1yx11211 -x-1=2x+2=- 12xx2yx x+2x+1=0，b-4ac=4-4×1×1=0 2211 ∴直线y=-x-1与y=2相切 2x ∵A1B1与A2B2的斜率k相等 ∴A2B2与A1B1平行 ∴A2B2：y=-1x-1为所求． 2 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），•关于原点的对称点P′（-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P67 ：3、4． P69：9 第53页 第二十三章 旋转 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 23.3 课题学习 图案设计 课型 新授课 利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案． 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案． 让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 设计图案． 如何利用平移、轴对称、•旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的各题． 1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B•点的对称点，•作出线段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系． CClCBD DD 2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′，•并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？ 3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，•并说明这两条线段之间有什么关系？ 老师点评： 1．AB与CD平行且相等； 2．过D点作DE⊥L，垂足为E并延长，使ED′=ED，同理作出C′点，连结C′D•′，•则CD′就是所求的．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在L上并且CD=•C′D′． 3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D′，垂足为D，并且CD=C′D． 二、探索新知 请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图第54页 第二十三章 旋转 教案 案设计． 例1．（学生活动）学生亲自动手操作题． 按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案． （1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a） （2）把纸片任意撕成两部分（如图b，如图c） （3）将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形． （4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d）（如图c）保持不动） （5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e） （6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案． 老师必要时可以给予一定的指导． 三、巩固练习 教材P73 活动1． 四、应用拓展 例2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，•绘制一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示． 老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图案． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P73： 活动2 P76： 6、7． 第55页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 24.1.1 圆 课型 新授课 探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别． 体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 圆的运动式定义方法 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点． 图1 学生活动设计： 学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形． 教师活动设计： 让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情． 二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神 活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆） 第56页 第二十四章 圆 教案 图2 学生活动设计： 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆． 教师活动设计： 在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定： 圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆； 圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 同时从圆的定义中归纳： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 于是得到圆的第二定义： 所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆． 活动3：讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 图3 学生活动设计： 学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果． 教师活动设计： 在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决． 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径； 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC． 活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？ 第57页 第二十四章 圆 教案 （课件：车轮；课件：方形车轮） 学生活动设计： 学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流． 教师活动设计： 引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定． 图4 三、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力 活动5：如何在操场上画一个半径是5 m的圆？说出你的理由 师生活动设计： 教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆． 活动6：从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？ 图5 师生活动设计： 首先求出半径，然后除以20即可． 〔解答〕树干的半径是23÷2＝11．5（cm）． 平均每年半径增加11．5÷20＝0．575（cm）． 小结：圆的两种定义以及相关概念． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 请做一个正方形的车轮，体会在车轮滚动的过程中车身的情况． 第58页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 24．1．2 垂直于弦的直径 课型 新授课 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神． 使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明． 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质） 学生活动设计： 学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 教师活动设计： 在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性． 二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神 活动2：按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． 图1 图2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理) 第59页 第二十四章 圆 教案 学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC，同理得到ADBD． 教师活动设计： 在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 活动3：如图3，AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径． 图3 学生活动设计： 学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程． 教师活动设计： 在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来． 〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8， 在Rt△ADO中 222AO2OD2AD2，即R(R4)8． 解得 R＝10（m）． 答：此圆的半径是10 m． 活动4：如图4，已知AB，请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法． AB 图4 师生活动设计： 根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点． 第60页 第二十四章 圆 教案 〔解答〕1．连接AB； 2．作AB的中垂线，交AB于点C，点C就是所求的点． 三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识． 活动5 解决下列问题 1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由． GCCEFMAABHDOB 图5 图6 学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥． 〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF， 根据勾股定理容易计算 OE=1．5米， OM=3．6米． 所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥． 2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 图7 图8 师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维． 〔解答〕 如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F， 第61页 第二十四章 圆 教案 1则AE=2AB = 30 cm．令⊙O的半径为R， 则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10． 222222在Rt△AEO中，OA=AE+OE，即R=30+(R-10)． 解得R =50 cm． 修理人员应准备内径为100 cm的管道． 小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 习题24．1 第1题，第8题，第9题． 第62页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 教 学 目 标 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 教学准备 课题 24．1．3 弧、弦、圆心角 课型 新授课 通过探索理解并掌握: （1）圆的旋转不变性； （2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理； （1）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力； （2）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题． 培养学生积极探索数学问题的态度及方法． 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 1.按下面的步骤做一做： (1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下； (2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定． 注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合． 图1 (3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合． 通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的第63页 第二十四章 圆 教案 理由． (课件：探究三量关系) 师生活动设计： 教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知ABA'B'． 在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB和A'B'重合，弦AB与弦A′B′重合，即ABA'B'，AB=A′B′． 进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理： 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？ （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等． 师生活动设计： 本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题． 二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理． 活动2： 1．如图2，在⊙O中，ABAC，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC． AOBC 图2 学生活动设计： 第64页 第二十四章 圆 教案 学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由ABAC，得到ABAC，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC． 教师活动设计： 这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法． 〔证明〕∵ ABAC ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC． 2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数． 图3 学生活动设计： 学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝教师活动设计： 2×180°＝120°． 3此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因． 三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力 活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 师生活动设计： 小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图． 如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′． 第65页 第二十四章 圆 教案 图4 教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉． 小结：弦、圆心角、弧三量关系． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 习题24．1 第2、3题，第10题． P88：11、12 第66页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 教 学 目 标 课题 24.1.4 圆周角 课型 新授课 1．了解圆周角与圆心角的关系． 2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 3．能运用圆周角的性质解决问题． 1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 2．通过观察图形，提高学生的识图能力． 3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． 4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题． 引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 教学准备 问题与情境 探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 发现并论证圆周角定理． 教师 多媒体课件 师生行为 教师演示课件或图片：展示学生 “五个一” 设计意图 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数[活动1 ] 演示课件或图片： 一个圆柱形的海洋馆． 教师解释：在这个海洋馆里，学． 人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物． 教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题． 教师结合示意图，给出圆周将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法． 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． （AB）所对的圆心角（AOB） 角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧第67页 第二十四章 圆 教案 与圆周角（ACB）、同弧所对的圆周角（ACB、ADB、 AEB等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究． 问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？ 问题2 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？ 教师关注： 1．问题的提出是否引起了学生的兴趣； 2．学生是否理解了示意图； 3．学生是否理解了圆周角的定义； 4．学生是否清楚了要研究的数学问题． 第68页 第二十四章 圆 教案 ［活动2］ 问题1 教师提出问题，引导学生利 活动2的设计是为 引导学生 同弧（弧AB）所对的圆心角用度量工具（量角器或几何画板）发现．让学生亲自动手，利用度量∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？ 问题2 同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的？ 动手实验，进行度量，发现结论． 工具（如半圆仪、几何画板）进行在活动中，教师应关注： 实验、探究，得出结论．激发学生1．学生是否积极参与活动； 的求知欲望，调动学生学习的积极2．学生是否度量准确，观察、性．教师利用几何画板从动态的角发现的结论是否正确． 由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 教师利用几何画板课件“圆 周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从COAB度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系． DCAOEB以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系 有无变化． 1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动； 2．改变圆心角的度数； 3．改变圆的半径大小． ［活动3］ 问题1 在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几 教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论． 教师关注： 数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问第69页 第二十四章 圆 教案 种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系) 问题2 当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？ 问题3 另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？ 1．学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果； 2．学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系． 教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充． 教师演示圆心与圆周角的三种位置关系． 教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论． 学生写出已知、求证，完成证明． 教师关注： 1．学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来； 2．学生能否证明出结论． 学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化． 教师关注： 1．学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化； 题、分析问题，并能解决问题．活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度． 问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．培养学生思维的深刻性． 问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会运用化归思想将问题转化．并启发培养学生创造性的解决问题． 第70页 第二十四章 圆 教案 ［活动4］ 问题1 半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论） C2C3B2．学生添加辅助线的合理性； 3．学生是否会利用问题2的结论进行证明． 教师讲评学生的证明，板书圆周角定理． 学生独立思考，回答问题，教师讲评． 活动4的设计是圆周角定理的应用．通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用． 问题1、2是定理的推论，也问题1提出后，教师关注： 是定理在特殊条件下得出的结学生是否能由半圆（或直径）论．问题3的设计目的是通过举反所对的圆心角的度数得出圆周角的度数． 例，让学生明确定理使用的条件．问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．问题5、6是定理的应用．即C1AO 问题2提出后，教师关注： 时反馈有助于记忆，让学生在练习学生是否能由90°的圆周角中加深对本节知识的理解．教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果． 问题3提出后，教师关注： 学生能否得出正确的结论，并能说明理由． 问题2 90°的圆周角所对的弦是什么? 推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径． 第71页 第二十四章 圆 教案 问题3 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ ∠ABC=30° ∠A’B’C’=30° BB'教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件． 问题4提出后，教师关注： 学生能否利用定理得出与圆A'C' 周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相AC 等． 问题4 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ 问题5 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ 问题5提出后，教师关注： 学生是否准确找出同弧所对的圆周角． 问题6提出后，教师关注： 1．学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD； 2．学生能否将要求的线段放到三角形里求解； 3．学生能否利用问题4的结 第72页 第二十四章 圆 教案 问题6 论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD． C如图， ⊙O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，求BC、AD、BD的长． ［活动5］ 问题 通过本节课的学习你有哪些收获？ AOBD教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容． 教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握． 教师布置作业． 通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感． 增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解． 课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、提高、发展． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P87：4、5、6 教科书P89：13、14、15 第73页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 教 学 目 标 课题 24.2.2 直线和圆的位置关系 课型 新授课 1.探索并了解直线和圆的位置关系． 2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系． 3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系． 1.学生经历操作、观察、发现、总结出直线和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力． 2.学生经历探索直线和圆的位置关系中圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力． 3.从运动的观点和量变到质变的观点来理解直线和圆的三种位置关系，培养学生运动变化的辩证唯物主义观点． 学生经过观察、实验、发现、确认等数学活动，在探索直线和圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感． 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 教学准备 问题与情境 活动1 探索并了解直线和圆的位置关系． 掌握识别直线和圆的位置关系的方法． 教师 多媒体课件 师生行为 学生观察一轮红日从海平面升起的过程和用钢锯切割钢管的过程，学生 “五个一” 设计意图 活动1的设计中让学生(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ (2)观察用钢锯切割钢管的过程，抽象成几何图形间的位置关系. 教师提出问题，让学生结合学过的知用运动的观点观察直线和圆识，把它们抽象成几何图形，再表示出来． 在本次活动中，教师应重点关注： (1) 学生能否准确地观察出圆的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆公共点个数的变化，同时让学生感受到实际生活中存相对于直线运动的过程中，有几种位在的直线和圆的三种位置关置关系； (2) 学生能否根据直线和圆的公共点个数，画出三种不同的位置关系. 系． 第74页 第二十四章 圆 教案 活动2 请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ 活动3 问题： (1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？ (2) 是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？ 教师提出问题，学生思考作答. 学生掌握识别直线与圆的位置 活动3的设计是从数量关系的角度来探讨直线和圆学生动手操作、观察、发现、归纳出直线和圆的公共点个数的变化情况. 教师演示直线和圆动态的变化通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实过程，帮助学生用语言描述直线和圆践能力，观察、分析、比较、的三种位置关系，明确概念. 本次活动，教师应重点关注学生能否根据操作，观察直线和圆的位置关系，作出相应的图形来． 抽象、概括的思维能力． 关系的方法，即直线和圆公共点的个的位置关系，是让学生学会数，圆心到直线的距离和圆半径的数运用数形结合的数学思想解量关系，都可以用来揭示直线和圆的题． 位置关系． 教师与学生共同总结直线和圆相离、相交、相切的关系中，公共点的个数，公共点的名称，直线名称，圆心到直线距离与半径间的数量关系． 第75页 第二十四章 圆 教案 活动4 (1)应用 例 已知：如图所示，∠ 师生共同完成例题和练习的求解． 本次活动，教师应重点关注： (1) 学生能否利用直线和圆公共点的个数判断直线和圆的位置关系； A 例题和练习的安排是为了让学生掌握识别直线和圆的位置关系的方法．培养学生正确应用所学知识的应用能力，渗透分类讨论、数形结合等数学思想． AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5 cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？ ①R=2 cm； ②R=2.5 cm； ③R=4 cm． (2) 练习 活动5 小结 这节课我们主要研究了直线和圆的三种位置关系和识别直线和圆的位置关系的方法，你有哪些收获？ (2)学生能否利用圆心到直线的距离和半径间的数量关系判断直线OPB和圆的位置关系． 学生自己总结，教师应重点关注： (1) 学生对直线和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论的数学思想和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性． 必做 选做 教科书P101：1-5 教科书P102：10-14 总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思． 作业 设计 教 学 反 思 第76页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 教 学 目 标 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 教学准备 课题 24.2.3 圆和圆的位置关系 课型 新授课 1． 探索并了解圆和圆的位置关系． 2． 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系． 3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题． 1． 学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力． 2．学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力． 学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感． 探索并了解圆和圆的位置关系． 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 师生行为 教师演示课件，提出问题． 学生观察、思考、回答问题． 在本次活动中，教师应重点关注： (1) 学生能否准确描述点和圆、望. 直线和圆的位置关系； (2) 学生能否用点和圆心的距离与半径的数量关系判别点和圆的位置关系，能否用圆心到直线的距离与半径的数量关系判别直线和圆的位置关系． 设计意图 通过回忆已学过的知识，引导学生用类比的思想来学习新的知识. 激发学生的求知欲课 堂 教 学 程 序 设 计 问题与情境 活动1 问题 (1)点和圆有几种位置关系？如何识别？ (2)直线和圆有几种位置关系？如何识别？ (3)两个圆的位置关系又如何呢？ 活动2 观察两个半径不同的⊙O1、⊙ 利用几何画板画出两个半径不 通过设置数学实验第77页 第二十四章 圆 教案 O2，固定其中一个而移动另一个的过程中，会出现的几种不同位置关系． (1) 根据观察，请你摆出⊙O1和⊙O2的几种不同的位置关系； (2) 你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系定义，给出两圆位置关系的定义？ 同的圆，固定其中一个而移动另一个． 让学生观察、发现，并动手摆出两圆的不同位置关系图形． 请一名学生展示他发现的两圆不同位置关系的图形． 对于问题(1)，教师应重点关注： (1) 学生能否根据操作，观察两让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力． 问题(2)的提出是为了让学生学会用类比的圆的位置关系，摆出相应的图形来； 方法研究两圆的位置关(2) 学生能否全部发现两圆的几种位置关系． 师生共同讨论出两圆的几种位置关系定义． 对于问题(2)，教师应重点关注学生能否用规范清晰的数学语言说出两圆的位置关系． 系． 活动3 探究 (1) 请你根据圆和圆的位置关系，猜测出两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，利用刻度尺进行测量，验证你的猜想． 教师提出问题，让学生根据自己所画出的两圆的位置关系图形进一步观察、思考、猜想、测量，发表见解． 活动3的设计是从数量关系的角度来探讨两圆的位置关系，让学生学会运用数形结合的数学思想解题． 第78页 第二十四章 圆 教案 (2) 圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴对称图形呢？如果能组成轴对图形，那么对称轴是什么？ 教师利用课件演示两圆位置关系的变化情况，观察随着两圆位置关系的变化，两圆圆心距与两圆半径之和或之差之间的数量关系． 教师总结活动3讨论出的结论，说明此结论既可作为两圆位置关系的判定又可作为两圆位置关系的性质． 在本次活动中，教师应重点关注学生对两圆相交时的情况讨论是否深入（不仅要讨论半径和，同时要考察两圆的半径差）． 活动4 问题1 (1)教科书图24.2-16，⊙O的 师生共同完成例题的求解． 对于问题 (1)，教师应重点关 例题的安排是为了利用已讨论出来的两圆 研究两个圆所组成的图形的对称性是为研究相交两圆公共弦的性质和相切两圆的切点位置作铺垫. 通过这一活动，培养学生学会探究的方法，形成良好的科学研究的习惯，培养学生思维的深刻性和严谨性． 半径5 cm，点P是⊙O外一点，OP=8 注学生能否利用两圆外切或内切时，的位置关系与圆心距和cm，以P为圆心作一个圆与⊙O外切，这个圆的半径是多少？以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？ (2)⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2， ①当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ②当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ③当d=5时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； 圆心距与两圆的半径和与差的关系来解题． 对于问题(2) 、(3)、(4)、(5)，教师应当重点关注学生能否会利用半径之间的数量关系的结论来解决问题，使学生学会发现问题，分析问题并解决问题． 培养学生正确应用所两圆的圆心距与两圆的半径的关系，学知识的应用能力，巩固判断两圆的位置关系． 所学的两圆位置关系的性质和判定． 第79页 第二十四章 圆 教案 ④当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ⑤当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___； ⑥当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___. (3) 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4和5，如果⊙O1与⊙O2 外切，那么 O1 O2= . (4)已知两圆半径分别为3和7，如果两圆相交，则圆心距d的取值范围是_______；如果两圆外离，则圆心距d的取值范围是______. (5) 在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 . 活动5 小结 这节课我们主要研究了圆和圆的位置关系，你有哪些收获？ 学生自己总结，教师应重点关注： (1) 学生对圆和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学 总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思． 第80页 第二十四章 圆 教案 布置作业 教科书习题14.3第1、4、6题． 习中，体会到分类讨论和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性． 学生通过作业，回顾、梳理知识，反思提高. 通过课后学生独立思考，自我评价，使学习效果达到最佳． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P102：6、7 教科书P103：15-17 第81页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 24．3 正多边形和圆 课型 新授课 1． 了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念． 2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题． 学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力． 学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 教学过程设计 问题与情境 [活动1] 探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算． 探索正多边形与圆的关系． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 师生行为 教师演示课件或展示图片，提出问题1． 设计意图 通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美． 观看下列美丽的图案． 问题1 这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？ 学生观察图案，思考并指出找到的正多边形． 教师关注： 第82页 第二十四章 圆 教案 问题2 你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？ （1） 学生能否从这些图案中找到正多边形； （2） 学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系． 教师提出问题2，引导学生观察、思考． 学生讨论、交流，发表各自见解． 教师关注: 学生能否联想到等分圆周作出正多边形来． 问题2的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上． [活动2] 问题1 将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论． 教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形． 教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相在活动1中学生们发现了正多边形与圆有着密切的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个等，各角都相等，引导学生观察、圆的内接正多边形． 分析． 教师关注： （1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的 活动2的设计就是要学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证弧，这些弧所对的弦也是相等的，所发现的结论的正确这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等； （2）学生能否观察发现圆内性，从而培养学生科学严谨的治学态度，和运用所学知识解决问题的第83页 第二十四章 圆 教案 问题2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？ 问题3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果接五边形的各内角都是圆周角； （3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧； （4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形． 教师带领学生完成证明过程． 教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题． 教师关注：学生是否会仿造证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形． 教师根据学生的回答给以总结： 将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形． 能力． 问题2的设计是将结论由特殊推广到一般．这符合学生的认知规律．并教给学生一种教师提出问题3，学生讨论，研究问题的方法：由特思考回答．教师关注： （1）学生能否利用正多边形定义进行判断； （2）学生能否由圆内接多边殊到一般． 问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，且各内角都相等，这两个条件缺一不可．同时教给学是，说明为什么？如果不是，举出反例． 形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等； （3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 第84页 第二十四章 圆 教案 教师讲评． [活动3] 学生观看课件，理解概念． 教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念． 教师引导学生画出正六边形图形，进行分析． 教师关注： （1）学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距； （2）学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究． （3）学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形 分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是生学会举反例，培养学生思维的批判性． 例题1、2是有关正多边形计算的具体应用，目的是让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识． 学生在教师的引导下，将正多边形的中心，半径，中心角，边心距等集中在一个三角形中来研究，即将正多边形的中心与顶点连接起例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m）． 2中心角，腰是半径，底边是边长，来，将正多边形分割成底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积． 教师引导学生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法． n个全等的等腰三角形，让学生们发现每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可以利用勾股定 教师让学生独立完成例题2，理进行计算．进而能够教师巡视，个别辅导．给出正确答案． 求得正多边形的周长和面积．教师引导学生将第85页 第二十四章 圆 教案 完成教材第105页例题 实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决． 体现了化归思想在解题中的应用． [活动4] 小节 学完这节课你有哪些收获？ 思考题 问题1： 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 问题2 正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？ 学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善． 教师重点关注：不同层次学 了解教学效果，及时调整教学． 生对本节知识的理解、掌握程度． 通过对实际问题的 学生独立完成，教师批改、总结，重点关注： （1）对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析； （2）学生面对探究性问题的解决方法． 探究，完成具体→抽象→具体的思维螺旋上升过程，形成应用数学的意识，加深对本节知识的理解． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P107：1-4 教科书P108：5-8 第86页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 24.4圆锥的侧面积和全面积 课型 新授课 会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题． 教 学 目 标 增强了学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还可以培养学生的空间观念． 引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 圆锥的侧面积和全面积的计算． 明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系． 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 教学重点 教学难点 教学准备 教学过程设计 问题与情境 师生行为 教师演示课件，提出问题，激发学生学习新知识的热情． 设计意图 活动1 想一想，你会解决吗？ 如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，PB=15 cm，底面半径r =5 cm，要生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？ （不计接缝用料和余料,π取P l 3.14 A O r 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学． 将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法． B ）. 活动2 1．认识圆锥 教师结合图形，介绍圆锥. 的有关概念． 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲． 第87页 第二十四章 圆 教案 2．圆锥的再认识 通过练习，使学生掌握圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系． 3．圆锥的底面半径r、高线h、母线长a三者之间的关系： a2h2r2 练习： 根据下列条件求值（其中r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） (1)a = 2，r = 1，则 h =_______； (2)h = 3，r = 4，则 a =_______； (3)a =10，h = 8，则 r =_______． 活动3 1．动一动，通过学生自己操作和电脑演示，掌握圆锥的侧面展开图是扇形． 2．引导学生推导圆锥的侧面积和全面积的计算公式． 通过学生动手操作、教师通过动手和观察，培养利用几何画板动态演示，学生的空间观念． 让学生观察圆锥的侧面展开图是扇形，并用所学的知识推导出圆锥的侧面积和全面积的计算公式． 教师带领学生用所学的知识解决问题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力． 教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握． 在实际生活中，展开图的知识很常用，将本课所学的知识与实际生活中的问题进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感． 活动4 实际应用： 例1 一个圆锥形零件高4 cm，底面半径3 cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积． 例2 玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15 cm，底面半径为5 cm，生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料，π取3.14 ）． 第88页 第二十四章 圆 教案 例3 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成，如2果想用毛毡搭建20个底面积为35 m，高为3.5 m，外围高1.5 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡 2(精确到1m) ? 例4 思考题 圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，问它爬行的最短路线是多少？ 例5 手工制作 已知一种圆锥模型的底面半径为4 cm，高线长为3 cm．你能做出这个圆锥模型吗? 活动5 本节课你学到了什么知识？你有什么认识？ 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P114：1-4 教科书P115：5-10 第89页 第二十四章 圆 教案 第二十四章《圆》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 （一）圆的有关概念 1、圆（两种定义）、圆心、半径； 2、圆的确定条件： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径； 4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧； 5、等圆、等弧，同心圆； 6、圆心角、圆周角； 7、圆内接多边形、多边形的外接圆； 8、割线、切线、切点、切线长； 9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 （二）圆的基本性质 1、圆的对称性 ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 *②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 2、圆的弦、弧、直径的关系 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 * [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况） 3、弧、弦、圆心角的关系 第90页 第二十四章 圆 教案 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 4、圆周角的性质 ①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 ③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （三）与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，OP=d则： 点P在圆内d d>r. 直线l与⊙O相交 d ①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含； 如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切； 如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。 ②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则： 两圆外离 d＞r2＋r1； 两圆外切 d＝r2＋r1； 两圆相交 r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）； 两圆内切 d＝r2－r1（r2＞r1）； 两圆内含 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。 （四）圆的切线 1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、性质： ①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 ③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3、判定： ①利用切线的定义。 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 ③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。 （五）圆与三角形 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。 第91页 第二十四章 圆 教案 2、三角形的内切圆 （1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。 （六）圆与四边形 1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。 *2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。 （七）圆与正多边形 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形与圆的关系 把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。 3、正多边形的有关计算（11个量） 边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长ln，面积Sn (Sn=1/2lnrn) 4、正多边形的画法 画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。 （八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式 l弧长nRnRS＝ ＝180扇形36021lR (其中l为弧长) S圆锥侧＝rl2 (其中l为母线长) （九）直角三角形的一个判定 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （十）本章常见的辅助线 课 后 反 思 第92页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.1.1随机事件(第一课时) 课型 新授课 通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 随机事件的特点 对生活中的随机事件作出准确判断 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设情境，引入课题 首先，这几个事件都是学生能熟知1．问题情境 的生活常识和学下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ 科知识，通过这些(1)太阳从西边下山； 生动的、有趣的实(2)某人的体温是100℃； 例，自然地引出必22(3)a+b=－1(其中a,b都是实数)； 然事件和不可能事件；其次，必然(4)水往低处流； 事件和不可能事(5)酸和碱反应生成盐和水； 件相对于随机事(6)三个人性别各不相同； 件来说，特征比较2(7)一元二次方程x+2x+3=0无实数解。 明显，学生容易判2．引发思考 断，把它们首先提我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）出来，符合由浅入容易激称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特深的理念，发学生的学习积点各是什么？ 极性。 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有概念也让学生来5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，完成，把课堂尽量他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以多地还给学生，以下问题： 此来体现自主学习，主动参与原理（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ 念。 （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ “抽签”这个活动（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 第93页 第二十四章 圆 教案 是学生容易理解或亲身经历过的，活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6操作简单省时，又的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： 具有很好的经济（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？ 性，最主要的是活（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？ 动中含有丰富的（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？ 随机事件，事件（3）就是一个典（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 型的事件，它的提提出问题，探索概念 出，让学生产生新（1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？ 的认知冲突，从而（2）怎样的事件称为随机事件呢？ 引发探究欲望 三、应用练习，巩固新知 随机事件对学生练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事来说是陌生的，它不同于其他数学件。 概念，因此要理解（1）两直线平行，内错角相等； 随机事件的含义，（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录； 由学生来描述随（3）打靶命中靶心； 机事件的概念，进（4）掷一次骰子，向上一面是3点； 行活动2很有必（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同； 要，便于学生透过（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯； 随机事件的表象，概括出随机事件（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球 的本质特性，从而（8）物体在重力的作用下自由下落。 自主描述随机事（9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。 件这一概念 四、小结 教师让学生充分这节课学了哪些知识？ 发表意见，相互补必做 教科书P131：1 充，相互交流，然后引导学生建构作业 随机事件的定义，设计 选做 充分发挥学生的主观能动性。 根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 教 学 反 思 第94页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.1.1 随机事件（第二课时） 课型 新授课 通过“摸球”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。 历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”，及时发现问题，解决问题，总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。 在试验过程中，感受合作学习的乐趣，养成合作学习的良好习惯；得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。需经过大量重复的试验，让学生从中体验到科学的探究态度。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 对随机事件发生的可能性大小的定性分析 理解大量重复试验的必要性 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设情境，引入课题 “摸球”试验操作简单且可重1、摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完方便、复，又为学生所熟全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。 知，学生做起来感2、提出问题：我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B，觉亲切，有趣，并提问： 且容易依据生活（1）事件A和事件B是随机事件吗？ 经验猜到正确结论，这样易于激发（2）哪个事件发生的可能性大？ 学生的学习热情。 二、分组试验、收集数据，验证结果 1、把学生分成2人一组，其中一人把球搅均匀，另一人摸球并把结果记录在表设计“10次摸球”1中。 和“20次摸球”， 事件A发生的次数 事件B发生的次数 结果（指哪个事件发生的次数多） 意在引起结果的10次摸球 变化。 20次摸球 2、小组汇报试验结果，教师统计结果填于表2。 得到结果1的组数 得到结果2的组数 10次摸球 20次摸球 注：结果1指事件A发生的次数多，结果2指事件B发生的次数多。 3、提出问题 （1）“10次摸球”的试验中，事件A发生的可能性大的有几组？“20次摸球” 的试验中呢？ （2）你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？ 第95页 第二十四章 圆 教案 对“10次摸球”得到正确结论的4、进行大量重复试验，验证猜测的正确性。 组数和“20次摸教师请同学们进行400次重复的“摸球”试验，教师提问： 球”得到的正确结如果把刚才各小组的20次“摸球”合并在一起是否等同于400次“摸球”？这论的组数进行比样做会不会影响试验的正确性？ 较，使学生明白，待学生回答后，教师把结果统计在表中。 增加摸球次数更宜于接近正确结 事件A发生的次数 事件B发生的次数 论，本小节也可以400次摸球 让学生再进行“405、对表中的数据进行分析，得出结论。 次摸球”试验。 提问：通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生可能性的较大，让学生养成动脑必须怎么做？ 筋，想办法的学习先让学生回答，回答时教师注意纠正学生的不准确的用语，最后由教师总结：习惯，明白小组合作的优势。 要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量重复试验。 6、对试验结果作定性分析。 本小节是教学难在经过大量重复摸球以后，我们可以确定，事件A发生的可能性大于事件B发点，这个结论由学生的可能性，请同学们分析一下其原因是什么？ 生得出，体现了自三、练习反馈 主学习的理念，有1、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，利于学生思维的发展。 3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？ 2、一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能这是本节课的主要内容之一，是本性就大？ 节课的出发点，也3、袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、形状一样，小明从中随机是本节课的归宿，摸出一个球，然后放回，如果小明5次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白把这个问题留给球多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？ 学生，也是体现了4、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石以学生为主体，让学生自主探索、自落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？ 主学习的理念。 四、小结 （3）为了能够更大可能地获得正确结论，我们应该怎样做？ 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P132：2 第96页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.1.2 概率的意义 课型 新授课 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 在具体情境中了解概率意义. 对频率与概率关系的初步理解 教师 壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ 由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 说明：现实中不确定现象是大量存在的， 新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二 、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 第97页 第二十四章 圆 教案 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意： （1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导他们小组合作，进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图. 表25-2 抛掷次数n “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 mn 50 100 150 200 250 300 350 400 m正面向上的频率 n 1 0.5 50 100 150 200 250 300 350 450 500 投掷次数n 想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什图25.1-1 么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动. 想一想2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的第98页 第二十四章 圆 教案 频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. 说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解. 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 . 其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）. 表25-3 通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率. 在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度. 5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？ 学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5. 教师归纳： （1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样. （2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等. 说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫. 三、评价概括，揭示新知 问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？ 学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高. 归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小. 那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般第99页 第二十四章 圆 教案 m会稳定在某个常数p附近，那n么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p. 注意指出： 地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. 2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 想一想(学生交流讨论) 问题2．频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同. 说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况. 四．练习巩固，发展提高. 学生练习 1．书上P131.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法. 2．书上P131.练习.2 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题. 五．归纳总结，交流收获： 1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化. 2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义. 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 完成P132 习题25. 2、3、4 课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率. 第100页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 1.理解P（A）=课题 25.2 用列举法求概率(第一课时) 课型 新授课 教 学 目 标 m(在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义. nm2.应用P（A）=解决一些实际问题． n复习概率的意义，为解决利用一般方法求概率的繁琐，探究用特殊方法—列举法 求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题. 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲. 一般地，如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都 教学重点 相等，事件A包含其中的。种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= 解决实际间题． 教学难点 教学准备 通过实验理解P(A)= 教师 m，以及运用它 nm并应用它解决一些具体题目 n学生 “五个一” 设计意图 多媒体课件 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、复习引入 （老师口问．学生口答）请同学们回答下列问题． 1. 概率是什么？ 2. P(A)的取值范围是什么？ 3. 在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？俄们又把这个常数叫做什么？ 4. A=必然事件,B是不可能发生的事件,C是随机事件．诸你画出数轴把这三个量表示出来． 老师点评：1，（口述）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m会n稳定在某一个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P(A)=P． 2.（板书）0≤P≤1． 3.（口述）频率、概率． 二、探索新知 不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试脸．求频率得概率，这是上一节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这 种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法， 把学生分为10组，按要求做试验并回答问题． 1.从分别标有1，2，3 ，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？其抽到1的概率为多少？ 2.掷一个骰子，向上的一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？ 第101页 第二十四章 圆 教案 老师点评:1.可能结果有1,2,3,4,5等5种杯由于纸签的形状、大小相同，又是随机 抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是1/5.其概率是1/5。 2.有1,2,3,4,5,6等6种可能．由于股子的构造相同质地均匀，又是随机掷出的， 所以我们可以断言：每个结果的可能性相等，都是1/6，所以所求概率是1/6所求。 以上两个试验有两个共同的特点： 1.一次试验中，可能出现的结果有限多个. 2.一次试验中，各种结果发生的可能性相等. 对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能 的试验结果中所占的比分析出事件的概率． 因此，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相 等，事件A包含其中的、种结果，那么李件A发生的概率为P(A)= m n例1.小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下 列事件的概率． (1)牌上的数字为3； (2)牌上的数字为奇数； (3)牌上的数字为大于3且小于6. 分析：因为从6张牌子任抽取一张符合刚才总结的试验的两个特点，所以可用P(A)= m来求解. n 解：任抽取一张牌子，其出现数字可能为1,2,3,4,5,6,共6种，这些数字出现的可 能性相同． （1）P（点数为3）=1/6； （2）P(点数为奇数)=3/6=1/2； （3）牌上的数字为大于3且小于6的有4，5两种． 所以 P（点数大于3且小于6）=1/3 例2:如图25-7所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指 针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率 红 红 (1）指针指向绿色； (2）指针指向红色或黄色 黄 绿 (3)指针不指向红色． 分析：转一次转盘，它的可能结果有4种—有限个，并且各种结果发生的可能性相等.因此，它可以应用“ P(A)= 解，(1) P(指针，向绿色)=1/4； 第102页 m”问题，即“列举法”求概率． n第二十四章 圆 教案 (2) P(指针指向红色或黄色)=3/4； （3）P(指针不指向红色)=1/2 例3如图25-8所示是计算机中“扫雷“游戏的画面，在99个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷。 小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，那么第二步应该踩A区域还是B区域？ 分析：第二步应该踩在遇到地雷小的概率，所以现在关键求出在A区域、B区域的概率并比较。 解：（1）A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各藏1颗3。 8 （2）B区域中共有99972个小方格，其中有1037个方格内各藏1颗7地雷。因此，踩B区域的任一方格，遇到地雷的概率是。 7237由于，所以踩A区域遇到地雷的可能性大于踩B区域遇到地雷的可能872性，因而第二步应踩B区域。 地雷，因此，踩A区域的任一方格，遇到地雷的概率是三、巩固练习 教材P134 练习1，2 五、归纳小结 本节课应用列举法求概率。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教材P137：1、2 拓广探索8 第103页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.2 用列举法求概率(第二课时) 课型 新授课 1． 理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。 2． 会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果。 体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。 教 学 目 标 鼓励学生，体会成功的喜悦 教学重点 教学难点 教学准备 正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。 当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、比较，区别 出示两个问题： 1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？ 2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？ 要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球）中的元素不一样。 二、问题解决 1．例1 教科书第150页例4。 要求学生思考掷两枚硬币产生的所有可能结果。 学生可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情形，要讲清这种想法的错误原因。 列出了所有可能结果后，问题容易解决。或采用列表的方法，如： B A 正 反 正 反 正正 反正 正反 反反 让学生初步感悟列表法的优越性。 2． 问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？ 同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的第104页 第二十四章 圆 教案 时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。 3．课内练习：书本P137的练习。 三、小结 1．本节课的例题，每次试验有什么特点？ 2．用列表法求出所有可能的结果时，要注意表格的设计，做到使各种可能结果既不重复也不遗漏。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P138：3、 教科书P138：7 第105页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 教学准备 课题 25.2 用列举法求概率(第三课时) 课型 新授课 1． 进一步理解有限等可能性事件概率的意义。 2． 会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率。 进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树形图）。 经历探索，使学生掌握知识 教 学 目 标 动手操作，提高解决问题的能力 正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素。 用树形图法求出所有可能的结果。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、解决问题，提高能力 例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点子数相同；（2）两个骰子的点子数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。 分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有很多，我们用怎样的方法才能既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？这个问题要让学生充分发表意见，在次基础上再使学生认识到列表法可以清楚地列出所有可能的结果，体会其优越性。 列出表格。也可用树形图法。 其实，求出所有可能的结果的方法不止是列表法，还有树形图法也是有效的方法，要让学生体验它们各自的特点，关键是对所有可能结果要做到：既不重复也不遗漏。 板书解答过程。 思考：教科书第135页的思考题。 例2 教科书第136页例4。 分析：弄清题意后，先让学生思考从3个口袋中每次各随机地取出一个球，共3个球，这就是说每一次试验涉及到3个因素，这样的取法共有多少种呢？你打算用什么方法求得？ 在学生充分思考和交流的前提下，老师介绍树形图的方法。 第一步可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。 第二步可能产生的结果有C、D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D和E。 第三步可能产生的结果有两个H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I。（如果有更多的步骤第106页 第二十四章 圆 教案 可依上继续） 第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率了。 教师要详细地讲解以上各步的操作方法。 写出解答过程。 问：此题可以用列表法求出所有可能吗？ 小结：教科书第136页左边的结论。 思考：教科书第137页的思考题。 二、练习，巩固技能 教科书第137页练习。 练习1是每次试验涉及2个因素的问题，共有36种可能的结果； 练习2是每次试验涉及3个因素的问题，共有27种可能的结果。 尽管这2个问题可能的结果都比较多，但用树形图的方法并不难求得，重要的是要让学生正确把握题意，鉴别每次试验涉及的因素以及这些因素的顺序。 二、单元小结 问题：（要求学生思考和讨论） 1． 本单元学习的概率问题有什么特点？ 2． 为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，那么通常是用什么方法求出各种可能的结果呢？ 特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的。 通常可用列表法求得各种可能结果，具体有直接分析列出可能结果，列表法和树形图法。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P138：4、5、6 教科书P139：9 第107页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.3.1利用频率估计概率 课型 新授课 1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。 2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。 通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。 1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。 2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。 理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。 对概率的理解。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学准备 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、问题情境： 妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！ 二、合作游戏： 1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成30次试验，并完成下面表格一的填写和有关结论的得出。 表格一： 颜色 频 数 频 率 概 率 红 绿 蓝 问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？ _________________红色________________________________________. （2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？ 当试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率 . 2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组（90次）、前四组（120次）、五组（150次）。。。。。的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。 表格二： 第108页 第二十四章 圆 教案 试验 30 60 90 120 150 180 210 240 …… 次数 频率 试验次数 30 60 90 120 150 180…… 问题:当试验次数较大时,比较数字 色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_________________________________________________. 4、得出试验结论。 三、随堂练习。书本P144页 “柑橘的损坏率”填写表25--6 四、拓展提升：解决问题2 1、 柑橘的损坏率是多少？ 2、 到达目的地后完好的柑橘还有多少千克？ 3、 把损坏的柑橘也算在内，到达目的地后柑橘的成本约是多少元？ 4、 设每千克定价为x元，则可以得到的方程是 ？ 五、课堂小结：畅所欲言。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P145：1、2 教科书P146：5 第109页 第二十四章 圆 教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 25.3.2利用频率估计概率 课型 新授课 了解模拟实验在求一个实际问题中的作用，进一步提高用数学知识解决实际问题的能力。 初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟实验。 教 学 目 标 1、提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。 2、渗透数形结合思想和分类思想。 教学重点 教学难点 教学准备 理解用模拟实验解决实际问题的合理性。 会对简单问题提出模拟实验策略。 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 设计意图 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、问题情境： 小明参加夏令营，一天夜里熄灯了，伸手不见五指，想到明天去八达岭长城天不亮就出发，想把袜子准备好，而现在又不能开灯。袋子里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，只能摸黑去拿出2只。同学们能否求出摸出的2只恰好是一双的可能性？ 问：同学们能否通过实验估计它们恰好是一双的可能性？如果手边没有袜子应该怎么办？ 问：在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一起做实验吗？ 答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。 注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。 问：假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子： （1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？ 答：有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两种实验结果是不一样的。 问：（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果会怎样？ 答：小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小 二、问题3： 一个学习小组有6名男生3名女生。老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能设计一种实验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率的吗？ 第110页 第二十四章 圆 教案 下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由： 用什么实物 怎样实验 考虑哪一事件出现的机会 用什么实物 怎样实验 考虑哪一事件出现的机会 需要研究的问题 3个红球 2个黑球 摸出1个球 恰好摸出红球的机会 用替代物模拟实验的方法 3个男生名字 2个女生名字 摸出1个名字 恰好摸出男生名字的机会 需要研究的问题 一枚硬币 抛起后落地 正面朝上的机会 用替代物模拟实验的方法 一枚图钉 抛起后落地 钉尖朝上的机会 三、随堂练习。 （1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列 可作为替代物的是 （ ） A.一颗均匀的骰子 B.瓶盖 C.图钉 D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃） （2）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白 色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回 搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方 法不可行的是 （ ） A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”， “红”然后反复抽取 B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取 C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取 D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面 积为红色的2倍，然后反复转动转盘 四、课堂小结：畅所欲言。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P146：3、4 教科书P146：6 第111页 第二十四章 圆 教案 第二十五章《概率初步》小结 一、概率 1、事件的划分 必然事件：一定发生的事件为必然事件 事件 不可能事件：一定不发生的事件为不可能事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件 2、概率 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 m会稳定在某个常数p附近，那么这个常数pn就叫事件A的概率，记为P（A）＝p.（其中n为实验的次数，m为事件A发生的频数） （2）因为0≤m≤n，所以0≤ m≤1，即0≤P（A）≤1。 nm当A为必然发生事件时，m＝n，＝1，P（A）＝1. nm当A为不可能事件时，m＝0，＝0，P（A）＝0. n当A为随机事件时，0 1、对于某些特殊类型的试验（如古典概型），实际上不需要做大量的重复试验，而通过列举法进行分析就能得到随机事件的概率。 2、古典概型是具有如下两种特点的试验：①一次试验中，可能出现的结果有限多个； ②一次试验中，各种结果发生的可能性相等。 3、在古典概型中事件A的概率的求法： P（A）＝m nn表示在一次试验中有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等； m表示事件A包含其中的m种结果。 4、列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 5、树形图法：当一次试验要涉及三个或更多个因素（当事件要经过三次或更多步骤完成）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法。 三、利用频率估计概率 1、当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率。 2、频率稳定性定理：在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。 3、通常用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少，所以在计算频率时，可以多保留一位或两位小数。 第112页 第二十四章 圆 教案 授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 年级 九年级 课题 26.1 反比例函数 课型 新授 教 学 目 标 1．从现实情境和已有的知识、经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对知识 函数概念的理解． 技能 2．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，表述反比例函数的概念． 过程 1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养辩证唯物主义观点． 方法 2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展抽象思维能力，提高数学化意识． 情感 认识到数学知识是有联系的，逐步感受数学内容的系统性；通过分组讨论，培养态度 合作交流意识和探索精神。 理解和领会反比例函数的概念． 通领悟反比例函数的概念． 学案导学 学法 探究、合作 教学媒体 多 媒 体 教学重点 教学难点 教法 教 学 过 程 设 计 【学习过程】 一、课前导学：预习课本第1页至第3页，完成下列问题: 1.我们形如 的函数叫做一次函数，当 时，又叫做正比例函数. 2.探究：反比例函数的意义 问题1：(1)京沪线铁路全长1 463km，某次列车的平均速度vkm/h•随此次列车的全程运行问题th的变化而变化，其关系可用函数式表示为： 2 (2)某住宅小区要种植一个面积为1 000m矩形草坪，草坪的长ym随宽xm•的变化而变化，可用函数式表示 422 为 (3)已知北京市的总面积为1.68×10km，人均占有的土地面积Skm/人，随全市总人口n人的变化而变化，其关系可用函数式表示为 问题2上述问题中的函数关系式都有什么共同的特征？ 答： . 4. 反比例函数的意义：一般的，形如 的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量， y是 函数学．自变量的取值范围是 的一切实数． 5.下列哪个等式中的y是x的反比例函数？ 0.4x 51y;2y;3y;4xy2. xx25y6x3;6xy7;7y51;8yx.2x56.已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6．写出y与x的函数关系式； 求当x=4时，y的值． 7.若y与x成正比例，z与y成反比例，则x与z之间成______________关系. 第113页 第二十四章 圆 教案 8.已知y与(2x+1)成反比例，且x=1时，y=2，那么当x=0时，y的值是 二、 合作、交流、展示： 1.比例函数的意义：反比例函数的解析式 ,y= k x1 反比例函数的变形形式：（1）xy=k (2)ykx 2.例题1.下列等式中，哪些是反比例函数? （1）y2x5 （2）y （3）xy＝21 （4）y x3x2（5）y31 （6）y3 （7）y＝x－4 2xx3m2例题2.当m取什么值时，函数y(m2)x是反比例函数？ 例题3(拓展提升)．已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x ＝2时，y＝5．(1)求y与x的函数关系式； (2)当x＝－2时，求函数y的值 三、巩固与应用： ｜｜－ 1已知函数y=(m+2)xm3是反比例函数,则m的值是 ．. 2.已知y=y1－y2，y1与x成反比例，y2与x－2成正比例，并且当x=3时，y=5； 当x=1时，y=－1.求y与x之间的函数关系式. 3.下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有( ) ①当路程s一定时,汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系; ②当电压U一定时,电路中的电阻R与通过的电流强度I之间的函数关系; ③当矩形面积S一定时,矩形的两边a与b之间的函数关系; ④当受力F一定时,物体所受到的压强p与受力面积S之间的函数关系. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 4．一张一百元的新版人民币把它换成50元的人民币，可得几张？换成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币，各可得几张？换得的张数y与面值x之间有怎样的关系呢？请同学们填表: 换成的面值x(元) 换成的张数y(张) (1)用含有x的代数式表示y. (2)换成的面值x会怎样变化呢？变量y是x的什么函数？为什么？ 四、小结： 1.反比例函数的意义；2.列出实际问题中反比例关系式 五、作业：必做：课本第3页； 选做：《作业精编》相应练习 六、反思： 50 20 10 5 2 1 第114页 第二十四章 圆 教案 授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 年级 教 学 目 标 九年级 课题 26.1.2反比例函数的图象和性质（１） 课型 新授 1.会用描点法画反比例函数的图象． 知识 ２.能结合图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质． 技能 ３.能初步运用反比例函数的图象和性质解题. 过程 在探究反比例函数的图象和性质的过程中，让学生经历观察、分析、探究、归纳的方法 认知过程，感悟数形结合思想和运动变化观点。 情感 在探究过程中，培养严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，学会倾听与合作。 态度 用描点法画反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质。 理解反比例函数的图象是双曲线。 学案导学 学法 探究、合作 教学媒体 多 媒 体 教学重点 教学难点 教法 教 学 过 程 设 计 一、课前导学：学生自学课本第4-6 页内容，并完成下列问题 1. 【温故知新】： （１）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？一次函数y＝kx+b（k≠0）呢？ （2）用描点法作函数图象的步骤： ， ， .. 2. 【探究】分别在下列两个坐标系中作出y=x … -6 -5 -4 -3 -2 6 x6y= - xy= -666和y=－的图象. xx-1 1 2 3 4 5 6 … y642y642-4-2O-2-4-6246x-6-4-2O-2-4-6246x３. 【观察思考】反比例函数y=二、合作、交流、展示： 66和y=－的图象有哪些特征？与小伙伴交流！ xx第115页 第二十四章 圆 教案 1．【交流】请同学们观察y= 66和y=-的图象，思考下列问题： xx（1）你能发现它们的共同特点吗？ （2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？图象所在象限由谁决定？ （3）在每个象限内，y随x的变化如何变化？说说你的理由.如果把“在每个象限内”这几个字去掉，你同意吗？为什么？ （4）每个函数的双曲线会与坐标轴相交吗？为什么？ ２．【归纳】归纳反比例函数图像特点和性质： 反比例函数yk（k为常数，k0）图像是_____________ x图像 性质 当 k>0 当 k<0 三、巩固与应用： k上，则k=______________. x62．已知反比例函数y的图象经过点P(2,a)，则a=__________. x1．点(1,6)在双曲线y３. 已知反比例函数y4k.若图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ；若在每一象限内，x1 上,比较a，b，c的大小. xy随x的增大而增大，则k取值的范围是 . 4.已知点A(-3,a)，B(-2,b)，C(4, c)在反比例函数y5. 函数y=kx-k 与 y= k 在同一条直角坐标系中的 图象可能是（ ） x (A) (B) (C) (D) 四、小结： １.反比例函数的图象和性质；２.类比思想、数形结合思想. 五、作业：必做：课本P8 习题T2，3，4； 选做：《作业精编》相应练习. 六、课后反思： 第116页 第二十四章 圆 教案 授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 年级 教 学 目 标 九年级 课题 26.1.2反比例函数的图象和性质（２） 课型 新授 知识 1.熟练掌握反比例函数的图象和性质，理解k的几何意义． 技能 2.能综合运用一次函数与反比例函数的图象和性质解题. 过程 感悟数形结合思想，提高综合运用知识解题的能力。 方法 情感 在探究过程中，培养学生钻研精神，激发学生学习兴趣。 态度 熟练掌握反比例函数的图象和性质。 能综合运用一次函数与反比例函数的图象和性质解题. 学案导学 学法 探究、合作 教学媒体 多 媒 体 教学重点 教学难点 教法 教 学 过 程 设 计 一、课前导学：学生自学课本第 7—8 页内容，并完成下列问题 1. 【回忆】：比较正比例函数和反比例函数的图象和性质 解析式 图像 位置 正比例函数 直线 k＞0， 象限 k＜0， 象限 k＞0，y随x的增大而 k＜0，y随x的增大而 反比例函数 k＞0， 象限 k＜0， 象限 k＞0，在每个象限y随x的增大而 k＜0，在每个象限y随x的增大而 增减性 2.【探究】问题1：如图，点A是反比例函数y⑴若A点的横坐标为3，则SAOB6图像上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连结AO， yx AOBx=____________； ⑵思考：若点A在函数图像上运动，△AOB的面积是否发生变化？ 问题2：如图，点A是反比例函数y⑴若A点的横坐标为-3，则SAOB6图像上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连结AO， yxABOx=____________； ⑵思考：若点A在函数图像上运动，△AOB的面积是否会否发生变化？ 归纳：1.若点A在反比例函数y k 的图像上，过点A作AB⊥x轴于点B，连结AO，可以得到x SAOB=____________. 第117页 第二十四章 圆 教案 2.从反比例函数yk（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的x矩形面积S＝ . 二、合作、交流、展示： 1．已知反比例函数的图象经过点A（2,6）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ （2）点B（3,4），C（21,44），D（2,5）是否在这个函数的图像上？ 25解： 【反思】判断点是否在图像上，只要 . 2.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ） A． B． C． ． D 3. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数ym的图象交于A（－2，1）、xB（1，n）两点.（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； （3）求△AOB的面积. 三、巩固与应用： k211. 已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线y上，则下列关 x系式正确的是（ ） （A）y1＞y2＞y3 （B）y1＞y3＞y2 （C）y2＞y1＞y3 （D）y3＞y1＞y2 2. 如图，A、B是函数y2的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴， x△ABC的面积记为S，则( )． (A)S＝2 (B)S＝4 (C)2＜S＜4 (D)S＞4 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y k (x>0)的图象和矩形ABCD的第x 一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6) ． （1）直接写出B、C、D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 四、小结： １.理解反比例函数k的几何含义；２.综合运用知识解题. 五、作业：必做：课本P9习题T5，8，9； 选做：《作业精编》相应练习. 六、课后反思： 第118页 第二十四章 圆 教案 授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 年级 教 学 目 标 九年级 课题 26.2 实际问题与反比例函数（1） 课型 新授 知识 1、能灵活列反比例函数解决一些实际问题。 技能 2、能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题 过程 经历分析实际问题中变量间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题 方法 情感 体会数学和现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高用代数方法解决问题的能力 态度 用反比例函数解决实际问题 构建反比例函数的数学模型 学案导学 学法 探究、合作 教学媒体 多 媒 体 教学重点 教学难点 教法 【学习过程】 教 学 过 程 设 计 二、课前导学：预习课本第12页至第13页，完成下列问题: 1、三角形中，当面积S一定时，高h与相应的底边长a关系 。 已知一个三角形的面积是6，它的底边是x，底边上的高是y，则y与x的函数关系式是_________；若x=3，则y=_________,若y=6则x=___________。 2、矩形中，当面积S一定时，长a与宽b关系 。 一个矩形的面积为20cm，相邻的两条边长分别为xcm和ycm。那么变量y是变量x的函数关系式是 。 3、长方体中当体积V一定时，高h与底面积S的关系 。 43 某自来水公司计划新建一个容积为4×10m的长方体蓄水池。 3 ⑴蓄水池的底面积S（m）与其深度h（m）有怎样的函数关系？ ⑵若深度设计为5m，则底面积应为_______m. 二、合作、交流、展示： 例1、市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室．（图见课本P12） (1)储存室的底面积S(单位：m)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定10m为500m，施工队施工时应该向下挖进多深? (3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)． 例2.已知三角形的面积为24cm,任一边a(cm)与这边上的高h(cm)之间的函数关系式, 并写出自变量的 24322 22第119页 第二十四章 圆 教案 取值范围,画出图象 例3．面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为 （ ） 三、巩固与应用： 1、（09湖北恩施）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（ ） 2、（山东烟台）如图，点 在反比例函数图象上。AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5。 (1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式; (2)连接AB,在线段DC上是否存在一点E,使△ABE的面积等于5,若存在，求出E点坐标;若不存在.请说明理由 3、如图，已知直线y1x与双曲线yk(k0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4． 2A(m,6),B（n，1) x（1）求k的值； （2）根据图象写出正比例函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围． （3）若双曲线yk(k0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积． x（4）过原点O的另一条直线l交双曲线yk(k0)于P，Q两点（P点在第一象限）， x若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。 四、小结： 把实际问题转化为数学问题,建立数学模型解决问题 五、作业：必做：课本第15页T1； 选做：《作业精编》相应练习 六、反思： 第120页 第二十四章 圆 教案 授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 年级 教 学 目 标 九年级 课题 26.2 实际问题与反比例函数（2） 课型 新授 知识 能灵活运用反比例函数知识解决工程与行程问题 技能 过程 经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，发展分析问题，解决问题的方法 能力 情感 感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力 态度 能灵活运用反比例函数知识解决工程与行程问题 从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，教学时注意分析过程，渗透转化的数学思想 学案导学 学法 探究、合作 教学媒体 多 媒 体 教 学 过 程 设 计 教学重点 教学难点 教法 【学习过程】 三、课前导学：预习课本第13页，完成下列问题: 1、在行程问题中，当 一定时， 与 成反比例，即 。 汽车在相距80千米的两地间行驶，则速度v和时间t的函数关系式为 。 2、在工程问题中，当 一定时， 与 成反比例，即 。 某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是 。 3、某电厂有5 000吨电煤．（1）这些电煤能够使用的天数x（天）与该厂平均每天用煤吨数y（吨）之间的 函数关系是 ；（2）若平均每天用煤200吨，这批电煤能用 天；（3）若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用煤300吨，这批电煤共可用 天 二、合作、交流、展示： 例1、码头工人以每天30吨的速度往一轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。 （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v与卸货时间t之间函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？ 例2、某粮食公司需要把2400吨大米调往四川灾区救灾. （1）调动所需时间t（天），与调动速度V（吨/天）有怎么样的函数关系（不必写出自变量V 的取值 范围）？ （2）该公司有20辆汽车，每辆汽车每天可装6吨，预计这批大米最快在几天内全部运往四川灾区? （3）该公司所有汽车工作了4天后，上级部门指示必须在4天内把剩下的大米全部运往 四川灾区需要增派多少辆汽车才能完成任务? 第121页 第二十四章 圆 教案 例3、已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数 yAC边交于点E。 （1）求证：△AOE与△BOF的面积相等； 记S=S△OEF-S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？ 请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。 k（k＞0）的图象与x（2）（3）OB 三、巩固与应用： 1、完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 2、学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天 （1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象 （3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？ 3、在反比例函数 y10（x＞0）的图象上，有一系列点A1、A2、A3、...、An、An1，若A1的横坐标为2，且 x以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2现分别过点A1、A2、A3、...、An、An1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次 记 为 S1、S2、S3、...、Sn，求S1= 和S1、S2、S3、...、Sn = （用n的代数式表示） 四、小结： 把实际问题转化为数学问题,建立数学模型解决问题 五、作业：必做：课本第15页T3，第22页T11； 选做：《作业精编》相应练习 六、反思： 第122页 第二十四章 圆 教案 授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 年级 教 学 目 标 九年级 课题 26.2 实际问题与反比例函数（3） 课型 新授 1、能灵活列反比例函数解决一些实际问题； 知识 2、能综合利用物理杠杆和电学知识、反比例函数的知识解决一些实际问题； 技能 3、经历分析实际问题中变量间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题； 过程 经历分析实际问题中变量间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题 方法 情感 体会数学和现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高用代数方法解决问题的能力 态度 掌握从物理问题中建构反比例函数模型． 从实际问题中寻找变量之间的关系，充分运用所学知识分析物理问题． 学案导学 学法 探究、合作 教学媒体 多 媒 体 教学重点 教学难点 教法 教 学 过 程 设 计 四、课前导学：预习课本第14页至第15页，完成下列问题: 1、函数y8，当x0时，y 0，相应的图象在第 象限内，y随x的增大而 ． x2、杠杆定律： × = × 。 3、用电器的输出功率P（瓦）、两端电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）的关系： 或 或 二、合作、交流、展示： 【例1】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛和0.5米（1）动力F是动力臂l的什么函数关系？动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半， 则动力臂至少要加长多少？ 解：（1）根据“杠杆定律”，有Fl= ∴ F与l的函数解析式为：F= ，当l=1.5时，F= ∴撬动石头至少需要 牛顿的力 （2）当F= = 时， l= = ∴ －1.5= 答：若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长 米。 【例2】一个用电器的电阻是可以调节的，其范围为110~220欧姆，已知电压为220伏 （1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？ （2）这个用电器输出功率的范围多大？ 解：（1）根据电学知识，当U=220时，有P= ∴ 输出功率P是电阻R的反比例函数，解析式为：P= （2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小。当R=110时，P= 第123页 第二十四章 圆 教案 当R=220时，P= ∴ 用电器的输出功率在 瓦到 瓦之间。 三、巩固与应用： 1．物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强p与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为PF，S当一个物体所受压力为定值时，则该物体所受压强p与受力面积3S间的关系用图像表示大致可为 ρ(kg/m) ( )． P P P P 2 O S O S O S S O A B C D V/m3 5 2.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m）是体积V（单位：m）的反比例函数，它的图像如上图所示，当V=10m时，气体的密度是（ ）． 3 3 3 3 3 3 3 A．5kg/m B．2kg/m C．100kg/m D．1kg/m 3、 如图所示，悦悦设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况。实验数据记录如下： x（cm） y（N） … … 10 30 15 20 20 15 25 12 30 10 … … （1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中 描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象， 猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式； （第3题图） （2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？ 随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？ y(N) 35 30 25 20 15 10 5 O 5 10 15 20 25 30 35 x(cm) 四、小结： 把实际问题转化为数学问题,建立数学模型解决问题； 五、作业：必做：课本第15页练习T1、2、3； 选做：《作业精编》相应练习。 六、反思： 第124页 第二十四章 圆 教案 授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 年级 九年级 课题 26.反比例函数复习 课型 新授 1.进一步巩固反比例函数的概念，熟练求反比例函数表达式并能画出图象． 教 学 目 标 知识 2.深入理解反比例函数图象的变化其及性质，熟练运用反比例函数的性质解决某些技能 实际问题． 过程 1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养辩证唯物主义观点． 方法 2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展抽象思维能力，提高数学化意识． 情感 认识到数学知识是有联系的，逐步感受数学内容的系统性；通过分组讨论，培养态度 合作交流意识和探索精神。 反比例函数的定义、图像性质，及综合运用 理解反比例函数增减性，学会建立反比例函数的数学建模. 学案导学 学法 探究、合作 教学媒体 多 媒 体 教学重点 教学难点 教法 教 学 过 程 设 计 【学习过程】 五、课前导学：预习课本第1页至22页，完成下列问题: 1.填表： 表达式 请写出反比例函数表达式： k>0[来源:学_科_网Z_X_X 图 象[ 画出图象： 画出图象： k<0 2. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） （ 1．图象在第 、 象限； 2．每个象限内，函数y的值随x的增大而______________． 性 质 在一个反比例函数图象上任取一点P，过点P，分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S，S= . 反比例函数既是 图形，又是 图形. y=(5+m)x2+n是反比例函数，则m、n的取值是________________。 4. 已知反比例函数y1．图象在第 、 象限； 2．在每个象限内，函数y值随x的增大而________________． （ A ） ） y8x5B y37x（C）xy = 5 （D）y3. 2 2x若 k(k0)的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则y1y2的值x第125页 第二十四章 圆 教案 是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定 5. 在同一坐标系中，函数y A B C D 二．合作、交流、展示： 探究点一 反比例函数的意义 例1.(1)近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函 数关系式为 ．学科网 (2).在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米． 探究点二、反比例函数图像及其性质 例2.（1）已知一个函数具有以下条件：⑴该图象经过第四象限；⑵当x0时， y随x的增大而增大；⑶该函数图象不经过原点。请写出一个符合上述条件的函数关系式： 。 （2）.已知点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y （A）y1 的图象上，则（ ） x 3m2，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内； x当m 时，其图象在每个象限内y随x的增大而增大。 探究点三、反比例函数的解析式 例3（1）、若反比例函数y＝ 2mxm224的图象经过第二、四象限，则函数的解析式是 . 3)，则此函数图象也经过点（ ） (2).某反比例函数的图象经过点(2，A．(2，3) B．(3，3) C．(2，3) D．(4，6) (3).已知y＝y1－y2，y1与x2成正比例，y2与x+3成反比例，当x＝0时，y＝2；当x＝3时，y＝0，求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围. 探究点四、图像与图形的面积 k(k0)的图象上， xAMx轴于点M，△AMO的面积为3，则k ．学科网 m（2）如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y的 x，，B(1，n)两点．学 图象交于A(21)例4（1）如右图，若点A在反比例函数y第126页 第二十四章 圆 教案 （1）m= ，n= ；k= ，b= .学科网 （2）△AOB的面积＝ ． (3) kxb的解集为 ． x探究点五、实际问题与反比例函数 例5.人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50km/h时视野为80度，如果视野f（度）•是车速v（•km/h）的反比例函数，求f，•v•之间的关系式，并计算当车速为100km/h时视野的度数． 例6 .某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系： x（元） y（个） 3 20 4 15 5 12 6 10 m（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； （2）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润? 四、巩固与应用： m22m11.若点(3，4)是反比例函数y＝图象上一点，则此函数图象必经过点（ ） xA.(2，6) B.(2，－6) C.(4，－3) D.(3，－4) 2.已知函数y＝ k(k＜0)，又x1，x2对应的函数值分别是y1，y2，若x2＞x1＞0对，则有（ ） xA.y1＞y2＞0 B.y2＞y1＞0 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0 3. 如图，反比例函数yy 5的图象与直线ykx(k0)相交于B两点，xAC∥y轴，BC∥x 轴，则△ABC的面积等于 个面积单位. A.4 B.5 C.10 D.20 4.如图2是三个反比例函数y＝ A O B C 第３题图 kk1k，y＝2，y＝3在x轴上方 xxx的图象，由此观察k1、 k2、k3得到的大小关系为（ ） A.k1＞k2＞k3 B.k2＞k3＞k1 C.k3＞k2＞k1 D.k3＞k1＞k2 5.如果点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=kx-b上的两点，且当x1 第127页 k的xy＝ k2 x 第二十四章 圆 教案 A B C D 6.已知反比例函数y＝7.已知反比例函数y＝的图像不经过第 k(k≠0)与一次函数y＝x的图象有交点，则k的范围是______. xk(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx－k x 象限. 8.已知函数y = y1－y2，y1与x成反比例，y2与x－2成正比例，且当x = 1时，y =－1；当x = 3时，y = 5.求当x＝5时y的值。 9.已知点P，Q在y＝－ 3的图象上.（1）若P（1，a），Q（2，b），比较a，b的大小； x（2）若P（1，a），Q（－2，b），比较a，b的大小； （3）若P（x1，y1），Q（x2，y2），x1＜x2，你能比较y1与y2的大小吗？ 10.平行于直线yx的直线l不经过第四象限，且与函数y3(x0)和x图象交于点A，过点A作ABy轴于点B，ACx轴于点C，四边形ABOC的周长为8．求直线l的解析式． 11.为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米 空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如图)， 现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克， 请根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 . (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 四、小结： 1.反比例函数的意义和性质；2.用反比例函数解决实际问题 五、作业：必做：课本第21页； 选做：《作业精编》相应练习 六、反思： 第128页 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 27.1 图形的相似（一） 课型 新授课 知 识 1． 理解并掌握两个图形相似的概念． 2． 了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教 学 目 标 教学重点 教学难点 相似图形的概念与成比例线段的概念． 成比例线段概念． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 课堂引入 1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子） 设计意图 - 1 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 （2）教材P34.引入． （3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面） （4）让学生再举几个相似图形的例子． （5）讲解例1． 2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如ac，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （即ad=bc）bd【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作acac（4）若四条线段满足，则有ad=bc． 或a:b=c:d；bdbd例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ） 例题讲解 分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180º后，再按一定比例缩小得到的，因此图C与左图相似，故此题应选C. 例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？ （1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？ （2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？ 解：略．（a5） b3a的值是相等b小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致． - 2 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？ 图上距离分析：根据比例尺=，可求出北京到上海的实际距离． 实际距离解： 略 答：北京到上海的实际距离大约是1120 km． 课堂练习 1．教材P35的观察． 2．下列说法正确的是（ ） A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的. C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的. 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm； 宽宽（2）（小）（大） ； ． 长长（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ （答：相似的长方形的宽与长之比相等） 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P38：1、4 教科书P39：8 - 3 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 27.1 图形的相似（二） 课型 新授课 知 识 1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 算． 教 学 目 标 教学重点 教学难点 相似多边形的主要特征与识别． 运用相似多边形的特征进行相关的计算． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1． 如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形． 2． 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等． 3．【结论】： （1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似． （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比． - 4 - 设计意图 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？ 结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形． 二、例题讲解 例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（ ） A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似 分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D． 例2（教材P37例题）． 分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式． 解：略 例3（补充） 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长． 分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题． 解：略 三、课堂练习 1．教材P38练习2、3． 2．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是比是（ ）． A．2，则△DEF 与△ABC与的相似32324 B． C． D． 32594．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（ ） （1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？ 作业 设计 必做 选做 教科书P38：2、3 教科书P39：5、6、7 - 5 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学 反思 - 6 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 27.2.1 相似三角形的判定（一） 课型 新授课 掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）． 教 学 目 标 经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生过 程 的探究、交流能力． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 教学重点 教学难点 相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 三角形相似的预备定理的应用． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．复习引入 （1）相似多边形的主要特征是什么？ （2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC与△A′B′C′中， 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且 设计意图 ABBCCAk． ABBCCA我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′， 则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA． ABBCCA（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ - 7 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 2．教材P41的思考，并引导学生探索与证明． 3．【归纳】 三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 二、例题讲解 例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长． 分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长． 解：略（AD=3，DC=5） 例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长． 分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有的长． 解：略（DE三、课堂练习 1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ） A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． （CD= 10） ADAEDEAD，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DEABACBCAB10）． 3作业 设计 必做 选做 教科书P54：4、5 - 8 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教 学 反 思 - 9 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 27.2.1 相似三角形的判定（二） 课型 新授课 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 教 学 目 标 经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过过 程 程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 教学重点 教学难点 掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似． （1）三角形相似的条件归纳、证明； （2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．复习提问： (1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ 应角和对应边的关系？ 2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）带领学生画图探究； （3）【归纳】 BCB'C'AA'设计意图 (4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对 - 10 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似． 3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ （2）教师带领学生探求证明方法． 4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件： （1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）让学生画图，自主展开探究活动． （3）【归纳】 三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似． 二、例题讲解 例1（教材P44例1） 分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边． 解：略 ※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=71，求AD的长． 2分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且ABCD，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽CDACCDAC△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出ADACAD它们的夹角相等”来证明．计算得出的长． 解：略（AD=三、课堂练习 1．教材P45：1、2、3 2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？ 3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF． 25）． 4 - 11 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P54：2、3 教科书P55：7 - 12 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 27.2.1 相似三角形的判定（三） 课型 新授课 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 教 学 目 标 经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 教学重点 教学难点 三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 三角形相似的判定方法3的运用． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB， 那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由． （3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B， 那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题． （4）教材P46的探究4 ． 二、例题讲解 例1（教材P46例2）． 分析：要证PA•PB=PC•PD，需要证 设计意图 PAPC，则需要证明这四条线段所在的PDPB- 13 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似． 证明：略 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长． 分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似． 解：略（DF=三、课堂练习 1．教材P48的练习1、2． 2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE． 3．下列说法是否正确，并说明理由． （1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 10）． 3作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P56：12 教科书P56：15 - 14 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 27.2.2 相似三角形的应用举例 课型 新授课 知 识 1． 进一步巩固相似三角形的知识． 2． 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔和 能 力 高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 教 学 目 标 过 程 3． 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低． 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 二、例题讲解 例1（教材P48例3——测量金字塔高度问题） 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点， - 15 - 设计意图 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解：略（见教材P48） 问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等） 解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略） 例2（教材P49例4——测量河宽问题） 分析：设河宽PQ长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有宽． 解：略（见教材P49） 问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 解法二：如图构造相似三角形（解法略）． 例3（教材P49例5——盲区问题） 分析：略（见教材P49） 解：略（见教材P50） 三、课堂练习 1． 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米? 2． 小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高? PQQRx60，即．再解x的方程可求出河PSSTx4590作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P55：8、9、10、11 教科书P56：16 - 16 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 27.2.3 相似三角形的周长与面积 课型 新授课 知 识 1． 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2． 能用三角形的性质解决简单的问题． 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教 学 目 标 教学重点 教学难点 相似三角形的性质与运用． 相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．复习提问： 已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：） 问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？ 2．思考： （1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ （2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？ （3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？ 推导见教材P51． 结论——相似三角形的性质： 性质1 相似三角形周长的比等于相似比． - 17 - 设计意图 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ， 那么 ABBCCAk． ABBCCA 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ， 那么 SABCAB2()k2． SABCAB相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比． 相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方． 二、例题讲解 例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A′B′C′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长． 分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长． 解：略（此题学生可以让自己完成）． 例2（教材P52例6） DEDF1，又有夹角∠D=∠A，由相似三角形的ABAC21判定方法2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为，故△DEF的周长和面积可2 分析：根据已知可以得到求出． 解：略（见教材P53） 三、课堂练习 1．教材P53．1-4． 2．填空： （1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____． （2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________． （3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______． （4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2． 3．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比． (第3题) 作业 必做 教科书P56：13、14 - 18 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 设计 教学 反思 选做 - 19 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 27. 3 位似（一） 课型 新授课 知 识 1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小． 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教 学 目 标 教学重点 教学难点 位似图形的有关概念、性质与作图． 利用位似将一个图形放大或缩小． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？ 二、例题讲解 - 20 - 设计意图 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可． 解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形） 例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的1． 21，也就是使新图形上各2 分析：把原图形缩小到原来的顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ． 作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′， 使得OAOBOCOD1； OAOBOCOD2（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2． 问：此题目还可以如何画出图形？ 作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD； （3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延 - 21 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 长线上取点A′、B′、C′、D′，使得OAOBOCOD1； OAOBOCOD2（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3． 作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′， 使得OAOBOCOD1； OAOBOCOD2（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4． （当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成） 三、课堂练习 1．教材P60．1、2 2．画出所给图中的位似中心． 3． 把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P64：1、2 教科书P64：4、7 - 22 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 27. 3 位似（二） 课型 新授课 知 识 1．巩固位似图形及其有关概念． 和 能 力 过 程 2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 教 学 目 标 和 方 法 情 感 3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换． 态 度 价值观 教学重点 教学难点 用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换． 把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标； （2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标； （3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标． 2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示． 3．探究： - 23 - 设计意图 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 （1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为1，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ 3（2）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 二、例题讲解 例1（教材P62的例题） 分析：略（见教材P62的例题分析） 解：略（见教材P62的例题解答） 问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！ 解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6×()，6×()），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略） 例2（教材P63）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？ 分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……． 解：答案不惟一，略． 三、课堂练习 1． 教材P62．1、2 2． △ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标． 3． 如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比． 1212作业 设计 必做 选做 教科书P64：3 教科书P65：6、8 - 24 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学 反思 - 25 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 28.1 锐角三角函数 课型 新授课 初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 教 学 目 标 过 程 逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 和 方 法 情 感 态 度 价值观 提高学生对几何图形美的认识。 教学重点 教学难点 正弦，余弦，正切概念 用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 3例1.求如图所示的Rt⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。 B C 设计意图 A的对边A的邻边A的对边,cosA=,tanA= 斜边斜边A的邻边A C - 26 - A B 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 归纳结果 siaA cosA tanA 2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30° （2）2sia 45°-30° 45° 60° cos300(3)+ta60°-tan30° 0sia45三．拓展提高 1. P82例4.（略） 1cos30° 22. 如图，在⊿ABC中,∠A=30°,tanB= 3,AC=23,求AB 2 四．小结 C 作业 设计 A 必做 选做 教科书P82：1-5 教科书P82-83：6-10 B - 27 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教 学 反 思 - 28 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 解直角三角形应用（一） 课型 新授课 使学生理解直角五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角知 识 三角函数解直角三角形三角形中． 和 能 力 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐过 程 步培养学生分析问题、解决问题的能力． 教 学 目 标 和 方 法 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 直角三角形的解法． 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA= 设计意图 aba cosA= tanA= bcc(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． - 29 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析 例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 2 a=6，解这个三角形． 例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 ． B=350，解这个三角形（精确到0.1） 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演． 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底． 例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。 解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力． (四)总结与扩展 请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。 作业 设计 必做 选做 教科书P92：1、2 练习册 - 30 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教 学 反 思 - 31 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 解直三角形应用（二） 课型 新授课 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． 知 识 和 能 力 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 过 程 教 学 目 标 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： 设计意图 A的对边A的对边sinA斜边 tanA=A的邻边 - 32 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 cosAA的邻边斜边 （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米) AC解：在Rt△ABC中sinB=AB AC1200 AB=sinB=0.2843=4221(米) 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米． 例2.2003 年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。 F ．P Q O 解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了． - 33 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 A的对边斜边 例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=来解决的两个实际问题即已知和斜边， 求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边． （三）．巩固练习 1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m） 2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m) 教师在学生充分地思考后，应引导学生分析： （1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来． （2）．请学生结合图形独立完成。 3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD． 此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD． 设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的． 练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)． 要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它． (四)总结与扩展 请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题． 作业 设计 必做 选做 教科书P92：3、4 教科书P93：7 - 34 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学 反思 - 35 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 课题 解直三角形应用（三） 课型 新授课 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 教 学 目 标 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识． 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 1．导入新课 上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决． 2．例题分析 例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°， 设计意图 求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)． 分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？ 由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt - 36 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 △ABC的方法求出BC和AB． 学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成 例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。 如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯． 另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想． 例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东340方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？65 0A P 34 0B ． 引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？ 3巩固练习 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)． 首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题． Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？ (三)总结与扩展 请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决． 本课涉及到一种重要教学思想：转化思想． 作业 设计 必做 选做 教科书P92：5 教科书P92：6 - 37 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教 学 反 思 - 38 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 解直三角形应用（四） 课型 新授课 使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题． 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点． 情 感 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 教 学 目 标 态 度 价值观 教学重点 教学难点 把等腰梯形转化为解直角三角形问题； 如何添作适当的辅助线． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割， 得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情． 2．例题 例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)． 分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC． (2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相 - 39 - 设计意图 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 讨论，完全可以解决这一问题． 例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题． 3．巩固练习 如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)． 分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长． (2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评． (三)小结 请学生作小结，教师补充． 本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P93：9 教科书P93：10 - 40 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 解直三角形应用（五） 课型 新授课 巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题 教 学 目 标 逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法． 培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点． 教学重点 教学难点 能熟练运用有关三角函数知识． 解决实际问题． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 1．探究活动一 教师出示投影片，出示例题． 例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 设计意图 分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点． 2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中， - 41 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 ∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视． 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米． 教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握． 2．探究活动二 例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？ 这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题． 由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。 学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成． 解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角． ∴∠BED=∠ABD-∠D=90°． ∴DE=BD·cosD =520×0.6428=334.256≈334.3(m)． 答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线， 提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片． 练习P95 练习1，2。 补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)． 学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导： (1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题． 此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需 - 42 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 理解前三例即可． 补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？ 如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣． 若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考． (三)小结与扩展 教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题． 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P93：8 练习册 - 43 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 解直三角形应用 课型 新授课 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题． 教 学 目 标 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点． 教学重点 教学难点 解决有关坡度的实际问题． 理解坡度的有关术语． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 1．创设情境，导入新课． 例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)． 同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨． 通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为设计意图 - 44 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义． 介绍概念 坡度与坡角 结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水 h平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝l， 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ h 答：i＝l＝tan 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固． 练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度． 为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问： (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明． (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明． 答：(1) 如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小， AB因为 tan＝BC，AB不变，tan随BC增大而减小 (2) - 45 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα 变时，tan随AB的增大而增大 2．讲授新课 引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD． 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯． 坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)． ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． AB 也随之增大，因为tan=BC不1 因为斜坡AB的坡度i＝tan＝3≈0.3333，查表得 α≈18°26′ 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米． 3．巩固练习 (1)教材P124. 2 由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题． - 46 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 (2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题． 2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？ 3．土方数=S·l ∴AE=1.5×0.6=0.9(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.9(米)． ∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)． 总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)． 答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米． (四)总结与扩展 引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力． 1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题． 2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题． 3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错． 4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位． 作业 设计 必做 选做 教科书P97：1-7 教科书P97：8-12 - 47 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教 学 反 思 - 48 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 29.1投影（1） 课型 新授课 1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念； 2、了角平行投影和中心投影的区别。 3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 理解平行投影和中心投影的特征； 在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）创设情境 你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。（有条件的）放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏 （二）你知道吗 （有条件的）出示投影： 北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻． 问题：那什么是投影呢？ 出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。 设计意图 - 49 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影. 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影. （三）问题探究（在课前布置，以数学学习小组为单位） 探究平行投影和中心投影和性质和区别 1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。 2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？ 3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。 - 50 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？ 平行投影与中心投影的区别与联系 区别 光线 物体与投影面平行时的投影 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影) 联系 平行投影 平行的投射线 中心投影 从一点出发的投放大(位似变换) 射线 （四）应用新知： （1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。 ①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？ ②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图； （2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。 - 51 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 （3）两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由。 解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。 四、学习反思： 我们这节课学习了什么知识？ 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P105：1、2 练习册 - 52 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 2.9投影（二） 课型 新授课 1、了解正投影的概念； 2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影 3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影 归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）复习引入新课 下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别? 设计意图 解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面). 指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。 - 53 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 （二）合作学习，探究新知 1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置: (1)铁丝平行于投影面; (2)铁丝倾斜于投影面， (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点). 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状 通过观察，我们可以发现; (1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1 (2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2 (3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3 2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置: (1)纸板平行于投影面; (2)纸板倾斜于投影面; (3)纸板垂直于投影面 结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样; (2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化; (3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段. 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同. 3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影. (1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1); (2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2). 分析口述画图要领 解答按课本板书 4、练习P105 练习 - 54 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 5、谈谈收获 作业 设计 必做 选做 教科书P106：3-5 教科书P107：6 - 55 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 29.2 三视图（一） 课型 新授课 1、 会从投影的角度理解视图的概念会画简单几何体的三视图 教 学 目 标 通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关过 程 系、大小关系 和 方 法 情 感 态 度 价值观 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识 教学重点 教学难点 从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图 对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）创设情境，引入新课 设计意图 这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？ 物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。 - 56 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面 作为投影面，其中正对着我们的叫做正 面，正面下方的叫做水平面，右边的叫 做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三 个投影面内同时进行正投影，在正面内 得到的由前向后观察物体的视图，叫做 主视图，在水平面内得到的由上向下观 察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得 到由左向右观察物体的视图，叫做左视 图. 如图(2)，将三个投影面展开在一个平面 内，得到这一物体的一张三视图(由主视 图，俯视图和左视图组成).三视图中的各 视图，分别从不同方面表示物体，三者合 起来就能够较全面地反映物体的形状. 三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长， 主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯 视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小 是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正 确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正， 主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的 宽相等 通过以上的学习，你有什么发现？ 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图 （二）应用新知 例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图. 分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为: 1.确定主视图的位置，画出主视图; 2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。 3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 解： - 57 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 练习： 1、 2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请你判断一下. 四、小结 1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。 2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。 作业 设计 必做 选做 教科书P116：1 练习册 - 58 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教 学 反 思 - 59 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 三视图（二） 课型 新授课 1、进一步明确正投影与三视图的关系 教 学 目 标 经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；培养动手实践能力，过 程 发展空间想象能力。 和 方 法 情 感 态 度 价值观 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 教学重点 教学难点 简单立体图形的三视图的画法 三视图中三个位置关系的理解 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）复习引入 1、画一个立体图形的三视图时要注意什么？（上节课中的小结内容） 2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图 3、做一做：画出下列几何体的三视图 设计意图 4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7 （二）讲解例题 例2画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图. - 60 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构 成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的 上下、前后位置关系. 解:如图29.2-7是支架的三视图 例3右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图 分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见 内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定; 看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡 而看不见部分的轮廓线画成虚线. 图29.2-9 解.图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁. (三)巩固再现 1、P119 练习 2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图. 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P116：2 教科书P117：5 - 61 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 三视图（三） 课型 新授课 学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型； 教 学 目 标 经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 教学重点 教学难点 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）复习引入 前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力） （二）新课学习 例4根据下面的三视图说出立体图形的名称. 设计意图 分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形， - 62 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示; (2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示. 例5根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状. 分析.由主视图可知，物体正面是正五边形 ，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形 的，且有一条棱(中间的实线)可见到。两 条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧 面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可 见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的. 解:物体是五棱柱形状的，如下图所示. （三）巩固再现 1、P121 练习 2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。 俯视图左视图主视图 三、小结： 1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。 2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。 3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。 作业 设计 必做 选做 教科书P116：3、4 教科书P117：6 - 63 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教 学 反 思 - 64 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 三视图（四） 课型 新授课 1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型； 教 学 目 标 2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力； 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 3、了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。 教学重点 教学难点 根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用 根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）复习引入 1、完成下列练习 （1）、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。 设计意图 （2）、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。 （3）、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。 - 65 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 （A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球 2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识，激发学生的学习兴趣，导入本课。 （二）讲授新课 例6某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积. 分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积. 解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)). 密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图. 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为 练习巩固 P122 练习 补充例题：根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个 - 66 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 小正方体? 分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示. 解:该建筑物的形状如图所示: 有3层，共9个小正方体. 思考：一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有 几种不同的情形? 四、小结：根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状. 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P117：7 教科书P117：8 - 67 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 课题 29.3 制作立体模型（活动课） 课型 新授课 知 识 （1）实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识； 和 能 力 过 程 （1）通过创设情境，让学生自主探索立体图形的制作过程； 和 方 法 情 感 （1）通过创设问题情境，使学生感受平面图形与立体图形的关系； 态 度 价值观 （2）通过参与数学实践，培养合作探索精神和尊重理解他人想法的学习品质； （3）通过动手实践活动，培养学生的创新意识与创造发明的意识； （2）通过自主探索，合作研究讨论，使学生加深投影和视图的认识； （3）模型制作，体会由平面图形转化为立体图形的过程与乐趣. （2）加强在实践活动中手脑结合的能力； （3）体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系. 教 学 目 标 教学重点 教学难点 让学生亲自经历规律的发现、深入、研究、应用的过程； 学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中，科学的研究态度. 刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、具体活动 １、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型。 设计意图 ２、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型 - 68 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 ３、下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。 (1) (2) (3) （１）指出其中哪些可以折叠成多面体。把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案； （２）画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的； （３）如果上图中小三角形的边长为１，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？ 二、课题拓广 三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，结合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P118：9 教科书P118：10 - 69 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 教学时间 知 识 和 能 力 课题 第四章投影与三视图 复习 课型 新授课 1、通过复习系统掌握本章知识， 2、体验数学来源于实践，又作用于实践。 教 学 目 标 3、提高解决问题分析问题的能力。 过 程 4、培养空间想象能力。 和 方 法 情 感 态 度 价值观 体会到数学来源于生活，应用于生活 教学重点 教学难点 投影和三视图 画三视图 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、以提问形式小结本章知识 1、本章知识结构框架： 设计意图 2、填空： （1）人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。 所在的位置叫做视 - 70 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 点，有公共 的两条 所成的角叫做视角。 视线不能到达的区域叫做 。 （2）物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做 ，投影所在的 叫做投影面。 由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。 由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。 （3）在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。 （4）物体的三视图是物体在三个不同方向的 。 上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上的正投影就是左视图。 二、例题讲解 例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ） A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短 C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长 分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的 例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。 分析：从俯视图上看，该立体俯视图左视图主视图图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。 例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。 C张丽AB小王小李电线杆 王明 李杰 钱勇 例４、如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。 （１）确定光源的位置； （２）在图中画出表示电线杆高度的线段。 - 71 - 湛七中九年级数学集备组 新课标人教版九年级数学下册教案 分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。 例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。 （１）请你画出这个几何体的一种左视图； （２）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。 分析：左视图为侧视图，由于几何体只知道主视图和俯视图，那么左主视图俯视图视图就不是唯一的，而主视图表示 几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５个正方体可分布在１、２、３层。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P125：1-3 教科书P126：4-8 - 72 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容