石桥二中导学案（2015秋）
使用教师： 学科：数学 教学内容：“反比例函数”教材分析时间：2015.12.1 年级： 九 主备教师： 备课组长签名：
三 知识与能力： 反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。 重难点：反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和 维 过程与方法：反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的。研究函数的重要工具。反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学目 情感态度与价值观 化与对应的数学思想、数形结合的思想以及转化思想的传授和渗透。 时在这方面要投入更多的精力。 标 教法与学法指导 本章内容属于是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。 本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）。 26.1 反比例函数 3课时 26.2 实际问题与反比例函数 4课时 数学活动 小结 1课时 一、教科书内容和课程学习目标 （一）本章知识结构框图 和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数：；电压一定，输出功总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数：；在使用杠杆时，如果阻力圆柱体的体积V一定时，圆柱的底面积是高（深度）的反比例函数：；当工程小）而减小（增大）；当（减小）。 第26.2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。本章主要涉及到如下的4个现实世界中的反比例函数模型：当时，图象分布在二、四象限，随的增大（减小）而增大第26.1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数）的图象分布在两个象限，当时，图象分布在一、三象限，（随为常数，的增大（减教法与学法指导 率是电路中电阻的反比例函数：。 此外，本章还安排了两个选学内容：第26.1节的“信息技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”，第26.1节的“阅读与思考”中安排了“生活中的反比例关系”。这两个内容可以开阔学生的视野，拓展知识面。 （三）课程学习目标 本章内容的设计与编写以下列目标为出发点： 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的
（二）教科书内容 本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。 能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题； 些重要的数学思想，如变化与对应的数学思想、数形结合的思想以及转化思想的传授和渗透。 三、几个值得关注的问题 （一）注意做好与已学内容的衔接 教科书在“第14章 一次函数”已经给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念.，解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 学生对函数已经形成了初步的认识。反比例函数的教学，一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础，另一方面可以反过来进一步深化对函数内涵的理解和掌握。 2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点； 从学生第一次接触函数所蕴涵的“变化与对应”思想至今已近半年，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。因此，学习好本章的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。例如，在引进反比例函数概念时，要适时复习第14章中的函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等定义或概念，为反比例函数的学习做好铺垫。3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，这样，学生就能够比较顺利地接受和掌握反比例函数的概念和性质。 （二）加强反比例函数与正比例函数的对比 在复习“第14章 一次函数”内容的基础上，引进本章内容。应该有意识地加强反比例5．使学生在学习一次函数之后，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。 二、本章编写特点 （一）突出反比例函数与现实世界的联系 函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）之间的对比，4．探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型； 对比可以从如下几方面进行： 1．两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？ 2．在常数区别？ 3．两种函数中响如何？ 回答是这样的： 1． 两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即，都有一个常数，且；不同点是自变量在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式的右边是一个整式，不为0的常数是自变量的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变 量处在分母的位置，不为0的常数处在分子的位置。 的取值范围有何不同？常数的符号改变对两种函数图象所处象限的影相同的情况下，当自变量变化时两种函数的函数值的变化趋势有什么从日常生活、参加生产和进一步学习的需要看，关于（反比例）函数的知识是非常重要的。例如，在讨论社会问题，经济问题时，越来越多地运用数学思想、方法，函数的内容在其中占有相当的地位。在高中将更多、更深入地学习、研究函数。反比例函数是一种反映现实世界特定数量关系的数学模型，为了突出反比例函数与现实世界有着密切的联系，教科书对本章内容的安排采取了如下的步骤： 本章引用了大量的现实世界中的实际问题，尤其是专门安排一节来说明反比例函数的实际应用，一方面说明在现实世界反比例函数大量存在，另一方面说明如何用反比例函数的知识分析和解决实际问题。本章的“阅读与思考”栏目提供了大量的，学生身边的反比例函数的例子，可以使学生进一步体验函数的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力。 （二）注重数学思想的渗透 从数学自身的发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的。 两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直
我们知道函数的定义不是唯一的，从不同的理解角度出发可以给出函数不同的定义。教科书在“第14章 一次函数”已经给出了函数定义，这个定义突出了数学中的变化与对应的数学思想，其内涵主要有两个：首先，两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；其次，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。 过原点。在本章的编写时，一方面十分注意具体题目的分析及求解过程，另 一方面更加注重一 2．在常数相同的情况下，当自变量增大（减小）时，正比例函数的值增教材中“思考”栏目应有的作用，对实现上述任务是大有裨益的。一些具体的数学知识对学生的影响也许是短暂的，但一些重要的数学思想方法必将会使学生终身受益。 （四）突破知识的难点和重点 本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通。本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力。 尽管本章中反比例函数的内容还是比较初级的知识，但是对这些知识的掌握却是为学习后续的函数知识打下基础。因此，教学中对本章基本知识和基本技能的要求不能有丝毫降低。增大（减小）时，正比例函数的3．当常数减小（增大），而反比例函数的值增大（减小）。 时，要适时安排适当难度的习题，以使学生对基础知识形成深刻的印象、对基本技能达到熟练的程度。 线，而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经 大（减小），而反比例函数的值减小（增大）；在常数相同的情况下，当自变量的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。当有条件的地方应尽可能使用信息技术，在本章“信息技术应用”栏目中，给两类函数的图象都分布在一、三象限；当时，两类函数的图象都分布在二、四象限。 出了变化时，反比例函数（为常数，）的图象是如何变化的。对于这些问题，不要急于给出答案，应该注意鼓励学生积极探究，在这样的氛围中，学生的数学思维和兴趣会被激发起来，对所学内容的掌握也就更牢固。 （三）把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索 无论从一次函数到反比例函数，再到以后的二次函数，甚至高中的其他各类函数，都是函数的某种具体形式，都是为近一步深刻领会函数的内涵提供了一个平台。随着学习的函数类型的增多，学生对函数内涵的理解也会逐步提高。可以说对函数内涵的理解是一个渐进的过程，需要较长的时间。 对于一个具体的反比例函数来说，它有其自身的独特性质，但其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的。在教学时，尤其要注意在这种数学思想的渗透方面下功夫。 尽管这一性质不是必学内容，但有兴趣和学有余力的同学却可以从中获益。 通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一。而数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了。结合本章内容可以进一步对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。 教学过程中，可以安排较多的通过图象分析函数解析式、通过函数解析式分析图象的题目，这体现的既是数形结合思想，也体现了转化的数学思想。深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题
的特殊作用。 突出变化与对应的思想、数形结合思想和转化思想是本章教学的重要任务，充分发挥 教学反思：
石桥二中导学案（2015秋）
使用教师： 学科：数学 教学内容：26.1反比例函数时间：2015.12.1年级： 九 主备教师： 备课组长签名：
三 知识与能力： 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数 维 过程与方法：探索、合作、交流. 目 情感态度与价值观体会反比例函数是刻画现实世界的特定数量关系的一种数学模型。 标 教法与学法指导 一、自主学习 1．什么是函数？ 量，y是x的函数，k是比例系数. 重难点：.理解反比例函数的意义. 反比例函数表达式的确定. 根据已知条件确定反比例函数的表达式 教法与学法指导
思考与交流，感受生活中的分式，逐步建立反比例函数的模型。学生尝试解题，并互相交流（1）2．什么是一次函数？什么是正比例函数？它们的一般形式是怎样的？ 3．我们还记得，在小学里学过，什么叫成反比例关系吗？ 4．如果路程s一定，那么速度v和时间t成什么关系 二、合作探究 1．尝试：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t(h),随速度v(km/的变化而变化. （1）你能用含v的代数式表示t吗？ （2）利用（1）的关系式完成下表 v/(km/h) t/h 60 80 90 100 120 【例题讲解】 例1.下列关系式中的y是 x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ 41 （1）y = ; （2）y = － ; （3）y = 1－x; x2xx－1 （4） xy = 1; （5）y = ; （6）y = (2 －3)x 2 例2.(1)已知y是x的反比例函数，当 x = 3时，y = 2 ,求y与x的函数关系式. ︱k︱－2 (2)y = (1＋k)x中，y是x的反比例函数，求k的值.三、归纳反思反比例函数的五种不同的表现形式： 形式1：y 是 x 反比例函数 学生讨论探k究，形如y = x 对照实例理解概念 学生尝试判断，并说明理由。 300 tv（2）逐渐减少 （3）是 （4）不是，是一种新的函数 学生尝试解题，师生共同纠正。 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？为什么？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？为什么？ 2．思考：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系： 2 （1）一个面积为6400m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化； （2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化； 3 （3）游泳池的容积为5000m,向池内注水注满水所需时间t(h)随注水速度3v(m/h)的变化而变化； （4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化3．讨论交流． 6400205000200 函数关系式a = b 、y = x 、t = v 、m =－n 具有什么共同特kx－1 形式3：y = kx(k为常数，k≠0) 形式4：xy = k(k为常数，k≠0) 形式5：变量 y 与 x 成反比例，比例系数为k( 形式2：y = (k为常数，k≠0) 四 、达标测评 1．反比例函数y = 2 －1 中的k值为 . 2x2.近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y度与镜片焦距x之间的函数关系式征？你还能举出类似的实例吗？ 是 . 4．概括总结． k3. 已知y与x+2成反比例，且当x=2时,y=3， 一般地，形如y = x (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．其中x是自求（1）y关于x的函数解析式；（2）当x=-2时的y值 变 ☆4.已知函数y = y1＋y2 ，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x =1时，y = 6,当x = 2时，y = 5,求y与x的函数关系式. 教学反思： 石桥二中导学案（2015秋）
使用教师： 学科：数学 教学内容：26.2.1反比例函数的图象与性质（1）时间：2015. 12.3 年级： 九 主备教师： 备课组长签名：
三 知识与能力： 能用列表、描点的方法探究反比例函数的图象，并会画出反比例函数的图象 维 过程与方法：进一步理解函数的3种表示方法，即列表法、解析式法和图象法及各自的特点． 目 情感态度与价值观经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法． 标 重难点： 画反比例函数的图象.根据反比例函数图象初步感知反比例函数的性质．
教法与学法指导 1、与交流，回顾 列表、描点、画线 2、3，思考，猜想尝试画图，学生板演， 学生共同交流，如何连线。 一、自主学习 1. 我们已经知道一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数(k为常数，k≠0)的图象是怎样的图形呢？说一说，应该怎么画呢? 4 的图象． x双曲线的两支k例2．已知反比例函数y(k0)的图象经过点(1，2)，则这个函数的表达分别在第一、6x2.用描点法画y=的图象时，所描点的横坐标、纵坐标的符号有什么特点？三象限，在每x式是 ______． 6个象限内，y随k你能由此猜出y= 的图象在哪些象限呢？ 三、归纳反思反比例函数 y=（k≠0，k为常数）的图象特征，与性质？ x的增大而减xx6少； 四 、达标测评 3.你会求出y=的图象坐标轴的交点吗？请求一求，并说出自已的想法． x1．写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达双曲线的两支2分别在第二、式 ． 4．反比例函数y的图象的两支分别在第 象限． 2．已知：y 是 x 的反比例函数，且当 x＝3 时，y＝8，则 y 与 x 的函数关系四象限，在每x式为 ． 4个象限内，y随5．已知反比例函数 y的图象经过P（－2，m），则 m＝＿＿＿＿. 2x的增大而增x3．函数yx和y在同一坐标系中的图象大致是（ ） x二、合作探究 大 yy6yy 操作(一) 画出反比例函数 y= 的图象． x例1.在平面直角坐标系中画y1．列表：有选择的求x与y的若干对应值． x y= x O xB O x O C 学 x生尝试解 A OD 题，师生共同 纠错 ． ． ． 14．在同一平面直角坐标系中，直线yx3与双曲线y的交点个数为 x （ ）Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．无法确定 【例题讲解】 教法与学法指导 6 x2．描点： 3．连线:怎样连线？这与画一次函数图象有哪些区别？ 4．根据你所画的反比例函数 y=与不同点？ 教学反思： 6k 的图象，说说它有哪些特征？ ☆5.已知反比例函数y=,当x=1时，y=-8. xx6（1）求k值，并写出函数关系式； 活动二 操作(二) 在图形2中画出反比例函数 y=- 的图象． x(2)点P、Q、R在反比例函数图象上，填空：P(1， ), Q(2， ), 66通过比较反比例函数 y=与y=- 的图象的特征，说出它们的相同点R( ,-8)； xx（3）点P′、Q′、R′分别是（2）题中点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点P′、Q′、 R′的坐标 石桥二中导学案（2015秋）
使用教师： 学科：数学 教学内容：26.2.2反比例函数图象与性质（2）时间：2015.12.3 年级： 九 主备教师： 备课组长签名：
三 知识与能力：认识反比例函数的图象与性质，并能简单运用． 维 过程与方法：能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法 情感态度与价值观根据所给反比例函数与一次函数的图象解决一些简单的综合问题． 目 标 重难点：分析并掌握反比例函数的性质
教法与学法指导 学生尝试解题，学生评判。 学生尝试解题，看谁的方法最多，并进行比较看哪种方法好 学生利用性质，进行解题。其余学生进行纠错 一、自主学习 1.老师给出一个函数，甲、乙各指出这个函数的一个性质： 甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内，y随x的增大而减小． 请你写出一个满足上述性质的函数关系式 ． -42.点（-2，y1）（-1，y2）（1，y3）在反比例函数y = 的图象上，比较y1、x教法与学法指k例2.已知反比例函数 y = 与一次函数y=mx+b的图象交于P(－2,1)和Q（1，n）x导 两点． 利用性质来(1) 求k、n的值； 解； (2) 求一次函数y=mx+b的解析式． 双曲线的两支(3) 求△POQ的面积． 分别在第一、 三象限，在每个象限内，y随k三、归纳反思反比例函数 y=（k≠0，k为常数）的图象特征，与性质？ y2、y3的大小． x的增大而减x思考：比较y1、、y2、y3的大小有哪些方法？（代人法、图象法、增减性法） 四 、达标测评 少； 双曲线的两支k1.对于反比例函数y = （k>0），当x1 < 0< x2 使用教师： 学科：数学 教学内容：26.3反比例函数的应用时间：2015.12.3 年级： 九 主备教师： 备课组长签名： 三 知识与能力： 能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题 维 过程与方法：探索、合作、交流 目 情感态度与价值观经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程培养分析问题，解决问题的能力 标 重难点：运用反比例函数的意义和性质解决实际问题把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想. 教法与学法指导 学生尝试解题，学生评判。 学生尝试解题，看谁的方法最多，并进行比较看哪种方法好 一、自主学习 回忆：什么是反比例函数？其图象是什么？反比例函数有哪些性质？ 小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑,打印成文. ⑴如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？ ⑵录入文字的速度V（字/min）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系？ ⑶小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 提示：用方程来解决问题⑶，取舍要符合实际意义 二、合作探究 [例1]某自来水公司计划新建一个容积为4×104m3的长方体蓄水池,小华爸爸把这一问题带回来与小华一起探讨: ⑴蓄水池的底面积S(m2)与其深度h(m)有怎样的函数关系? ⑵如果蓄水池的深度设计为5m,那么蓄水池的底面积应为多少平方米? ⑶由于绿化以及辅助用地的需要,经过实地测量,蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求? （保留两位小数） [例2]某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. ⑴写出这一函数表达式； ⑵当气体体积为1m3时，气压时多少？ ⑶当气球内的气压大于140kpa时， 气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 三、归纳反思反比例函数 y=k教法与学法指（k≠0，k为常数）的图象特征，与性质？ 导 x四 、达标测评 1.某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（ ） 学生尝试解题，并说明理由。其余学生300300进行补充。 (A) y＝ (x＞0) (B) y＝ (x≥0) (C)y＝300x (x≥0) (D)y＝300x（xxx ＞0） 2.小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解自己的眼镜配制的 原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距为x（m） 成反比例，并请教师傅了解到200度的近视眼镜镜片的焦距为0.4m.小丽只学生思考后回知道自己的眼镜是400度.我们大家正好学过反比例函数了，你能帮助她帮她答，其余学生求出她的近视眼镜片的焦距是多少吗？ 纠错。 3.制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x•成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． ⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式； ⑵根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 教学反思： 石桥二中导学案（2015秋） 使用教师： 学科：数学 教学内容：第二十七章“相似”分析时间：2015.12.6 年级： 九 主备教师： 备课组长签名： 三 维 目 标 知识与能力： 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段； 过程与方法：通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 情感态度与价值观培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力 重难点： 相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容。相似三角形的判定方法，定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介，再应用前面的定理进行证明 教法与学法指导 在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）： 27.1 图形的相似 2课时 27.2 相似三角形 6课时 27.3 位似 3课时 数学活动 小结 2课时 一、教科书内容和课程学习目标 （一）教科书内容 在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。 在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识。另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘似比的平方，进而利用分割的方法，得到相似多边形周长比等于相似比、面积也等于相似比的平方。 位似变换是一种特殊的相似变换，此时对应顶点的连线交于一点，对应边也是互相平行的。教科书在第3节重点研究了这种变换，教科书在给出位似变换概念的基础上，重点研究了如何利用位似变换将一个图形放大或缩小，以及在平面直角坐标系下位似图形的对应点坐标的变化。最后教科书简单对学生学过的四种变换进行了总结，要求学生在一个图图等许多方面，也都要用到相似的有关知识。因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要作用。 在这套教科书中，“相似”的内容安排在“圆”之后，主要是出于以下几点考虑：首先，在课程标准中，相似是作为图形的一种变换提出来的，而它又是在全等变换基础上的拓展，所以教科书是先安排的的平移、轴对称、旋转等变换，后安排相似变换，而研究圆的一些性质，又与旋转变换关系密切，因此把圆紧接着安排在了旋转之后。其次，学习圆的相关知识，相应于课程标准中对于圆的要求，用不到相似的知识储备。我们把相似的内容安排在圆之后，还可以把圆中的一些问题作为研究相似的应用来处理。例如作为相似三角形判定和性质的应用，教科书安排了相交线定理的例题，简单圆幂定理的习题等。这样也能复习有关圆的知识，加深学生对与圆的理解。 本章共有三小节内容。第1小节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并探索出相似多边形的性质；第2小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用以及相似三角形的周长与面积；第3小节“位似”研究了一种特殊的相似──位似，研究了位似图形的画法以及平面直角坐标系中的位似变换。 在“27.1 图形的相似”中，教科书首先结合生活中常见的相似图形的形象，给出了相似图形的概念。接下来，教科书证明了相似的正三角形、正六边形、以至正多边形的对应边成比例、对应角相等，从而给出相似多边形对应边成比例、对应角相等的性质。 教科书接下来在第2小节进一步深入的研究了相似三角形，它分为相似三角形的判定和相似三角形的应用举例以及相似三角形的周长与面积三部分。在相似三角形的判定中，教科书介绍了四种判定方法，这些方法都是先通过学生探究，再进行证明得到，这四种方法的地位作用以及证明方法也有区别和联系。对于第一个判定方法，也就是“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，根据学生当前的知识储备，学生还不能证明，因此教科书仅就它的一种特殊情况进行了证明，并直接把这个定理告诉学生，它可以作为后三个判定定理的预备定理。后三个判定方法，则要通过构造全等三角形，利用前面的预备定理来证明。相似三角形的判定和性质在实际生活中应用很多，主要在测量方面，教科书接下来的第2小节安排了几个例子，举例说明了它的应用。在第3小节中，教科书则重点研究了相似多边形的周长和面积的问题。教科书首先证明了相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相 教法与学法指导 例如教科书通过测量长度和角度，发现相似多边形对应角相等，对应边的比相等的性 质；通过度量，发现利用三个对应边的比相等、两组对应边的比及其夹角相等、两个角相等等相似三角形的判定方法等。在学生通过观察、操作探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、 形中辨析这些变换，并能综合利用这些变换进行一些图案设计。 这一章主要研究相似多边形，因此相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容。对于相似三角形的判定方法，定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介，再应用前面的定理进行证明，学生不太习惯，这也是本章教学的难点。教学中要注意引导学生分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服难点。 （二）课程学习目标 1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段； 2. 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 3. 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化； 4. 结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。 二、本章编写特点 1．突出图形性质的探索过程，重视实验操作和逻辑推理的有机结合 相似也是生活中常见的一种现象，也是数学中一种基本的变换。本章重点研究了相似图形的一些性质以及相似三角形的判定方法。在教科书编写时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。 另外，在本章，通过理论联系实际，对学生进行唯物论认识论的教育；通过相似形与全等形的许多性质之间的内在联系，一般与特殊之间的关系等，图形之间运动变化的关系等等，还可以对学生进行辩证唯物主义观点的教育。 3．重视渗透数学思想方法 教学中不仅要教知识，更重要的是教方法，教科书在编写时，也充分注意数学思想方法的渗透。本章主要涉及的数学思想方法有类比的方法，矛盾转化的方法等。 相似内容是全等内容的拓展与延伸，教科书在编写时，也充分注意相似与全等之间的一般与特殊的关系，在讨论相似的相关内容时，注意和全等的知识作类比。例如类比研究全等图形的性质得到相似多边形对应角相等、对应边的比相等的性质；类比研究全等三角形的SSS、SAS方法，发现相似三角形的判定方法；通过把多边形分割为三角形，类比研究多边形内角和的方法，利用相似三角形的面积关系得到相似多边形面积比等于相似比的平方等等。在证明相似三角形的判定定理时，通过作全等三角形，把要证明的问题转化为我们已经解决的问题，从而把问题从未知转化为已知，从复杂转化为简单，等等。 相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中应用也很多，能直接应用相似三角形判定和性质的例子也很多。在教科书编写时，也注意到这一点。例如通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念，例习题中也有许多应用相似图形知识的实例。教科书在第2小节，还专门安排了“相似三角形应用举例”的内容，给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法，来解决生活中不能直接测量物体长度的问题（测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）。在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。另外，还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。 实验、探究得出结论的自然延续。 2．注意联系实际 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（1） 时间 2015年12月7日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 维 目 标 1．知识与能力: 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 2．过程与方法：经历探索、发现、创造、交流等丰富多彩的数学游戏活动，发展学生的数学能力和审美观. 3．情感态度与价值观: 使学生学会从数学的角度认识世界，解释生活、逐步形成“数学地思维”的习惯；以“生活中的数学”为载体，使学生体会相似图形的神奇，养成“学数学、用数学”的意识，培养学生的动手操作能力和创新精神. 一、自主预习 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 2、填空题 形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm； 教法与学法指导 重、难点： 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 难点：成比例线段概念． 教法与学法指导 1 、请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能 对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2) 观察图片，体会相似图形 2 、什么是相似图形? 3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗? 小组讨论、交流．得到相 似图形的概念 二、合作探究 1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线 段的比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 观察思考，小组讨论回答 2、成比例线段： ac对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即 宽宽长长（2）（小） ；（大） ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 6.下列说法正确的是（ ） A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的. ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的. （2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作a:b=c:d；（4）若四条线段满足 bdac，则有ad=bc． bdac或7. 下列说法中，错误的是（ ） bdA.放大镜下看到的图象与原图象的形状相同 B.哈哈镜中人像与真人的形状是相同的 C.显微镜下看到的图象与原图象的形状相同 D.放大一万倍的物体与它本身的形状是相同的 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（2） 时间 2015年12月8日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 维 目 标 教法与学法指导 学生观察图片，体会相似图形性质 教师巡视指导学生作图，并了解学生在作图中是不是出现全等的情况 学生小组讨论，得出结论. 师生共同总结探究结论 教师板演 教师出示题目。小组讨论分析： 找出正确与错误的理由 教师点拨 若一、自主预习 1、观察图片，体会相似图形性质(教材P36页) (1) 图27.1-4(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？ 图27.1-4 (2)对于图27.1-4(2)中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？ 2、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形． 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等． 3．【结论】： （1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______． 反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC和⊿A1B1C1中 例3（补充） 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长． 分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题． 解： 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离． 2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？ 3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度． 例2、如图27.1-6，四边形ABCD和EFGH相似，求角 27.1-6 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似 教法与学法指导 4.△ABC与△DEF相似，1．知识与能力: 掌握相似多边形的主要特征，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算． 2．过程与方法：经历相似图形的认识过程，观察相似图形的关系，得到相似多边形对应边成比例，对应角相等的性质 3．情感态度与价值观: 通过学生从图形相似的角度识别现实生活中存在的规律，培养合作交流意识． 重、难点： 重点：相似多边形的主要特征与识别． 难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算． 和的大小和EH的长度x． 2且相似比是3，则△DEF 与△ABC与的相似比是（ ）． 23A．3 B．2 24C．5 D．9 5.下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 AA1;BB1;CC1． ABBCACA1B1B1C1A1C1 则⊿ABC和⊿A1B1C1相似 （2）相似比：相似多边形________的比称为相似比． 问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？ 二、合作探究 例1下列说法正确的是（ ） A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形． 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容27.2.1相似三角形的判定（一）时间 2015年12月9日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △维 标 教法与学法指导 一、自主预习 1、相似多边形的主要特征是什么？ 2、相似三角形有什么性质？ 二 合作探究 1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且3、 归纳总结： 教法与学法指导 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________. 练习 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD. 三、归纳反思 1.谈谈本节课你有哪些收获．“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似． 2.相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC∽△A′B′C′的相似比目 3．情感态度与价值观: 培养学生分析问题、解决问题的能力 ABC; 2．过程与方法：知道当△ABC与△ABC的相似比为k时，△ABC与△ABC的相似比为1/k．理解掌握平行线分线段成比例定理 重、难点： 重点: 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用． 难点: 掌握平行线分线段成比例定理应用． 明确 （1）在相似多边B′C′，k就是它们的相似比． 形中，最简单的就是相似反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且三角形。 ABBCCA． （2）用符号“∽”表示ABBCCA相似三角形如△ABC ∽ 2）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ △ABC; （3）当△ABC与△3) 活动1 (教材P40页 探究1) ABC的相似比为k(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.时，△ABC与△ABC分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB的相似比为1/k． ︰BC 与DE︰EF相等吗? (2) 问题，AB︰AC=DE︰（ ），BC︰AC=（ ）︰DF．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结： 平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。 4)平行线分线段成比例定理推论 思考：1、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线； ABBCCAk． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′ABBCCAABBCCAk，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是ABBCCAABBCCA1，它们的关系是互为倒数． ABBCCAk四、达标测评 1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式． EB63 、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，AE=FC，AE的长。 A D E F B C 31DF54，3，求： 2、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容27.2.1相似三角形的判定（二）时间 2015年12月10日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程． 维 2．过程与方法：会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 目 3．情感态度与价值观: 培养学生分析问题、解决问题的能力 标 教法与学法指导 一、自主预习 （1）相似多边形的主要特征是什么？ （2） 平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？ （3）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且四、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 教法与学法指导 重、难点： 重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 难点：三角形相似的预备定理的应用． ABBCCA五、达标测评 k． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′1．下列各组三角形一定相似的是（ ） ABBCCAB′C′，k就是它们的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA． ABBCCA （4）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 二、合作探究 1.问题：如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？ 2.思考如图27.2-3，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。 问题：（1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？ （2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？ （3）根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？（作辅助线EF∥AB） 你能证明AE:AC=DE:BC吗？ （4）写出△ABC∽△ADE的证明过程。 （5）归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 三、例题讲解 例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长． 解： 例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长． 分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形A．两个直角三角形B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3、如图，AB∥EF∥CD，图中共有 对相似三角形，写出来并说明理由； 分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对的性质，有应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比DE相等求出AD与DC的长． 再根据 解： ADAE，又由AD=EC可求出AD的长，ABACAD求出DE的长． BCAB 4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． 5．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式． 6．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式． 7．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长． 8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动) 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（三） 时间 2015年12月11日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 维 2．过程与方法：初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 目 3．情感态度与价值观: 培养学生分析问题、解决问题的能力 标 教法与学法指导 归纳分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边． 三、例题讲解 4 归纳 三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似． 5 、探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？ （画图，自主展开探究活动） 6 归纳 三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似． 一、自主预习 (1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？ 二、合作探究 探讨问题：1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？ 3、探究2任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。 （1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ （2）探求证明方法．（已知、求证、证明） 如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7解： 四、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 五、达标测评 重、难点： 重点: 掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。 难点: 会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似． 教法与学法指导 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出1，求AD的长． 2ABCD，结合CDAC∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式ABBCCA， ABBCCA求证△ABC∽△A′B′C′ 证明： 1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’CDAC，从而求=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？ ACAD 出AD的长． 2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF． 3．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED． 24．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP． 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（四） 时间 2015年12月12日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 维 2．过程与方法：能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 目 3．情感态度与价值观: 培养学生分析问题、解决问题的能力 标 教法与学法指导 一、自主预习 四、达标测评 重、难点： 重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 难点：三角形相似的判定方法3的运用． 教法与学法指导 （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ 1、填一填 2（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你（1）如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时， △ACD∽△ABC。 的理由． （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 ，就可以使△（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？ ADE与原△ABC相似。 （4）归纳 三角形相似的判定方法3 A A 二、合作探究 D 例1．弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PAPB=PCPD 分析：要证PA•PB=PC•PD，PAPC需要证PDPB，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似． A ● E D B C B C 2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE． P O B 3. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC. C 4．下列说法是否正确，并说明理由． 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 求DF的长． 分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△5 、图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。 ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四6 、图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。 条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直B 角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定O D E 方法来证明这两个三角形相似． F G C C E F B 图 1 D 图 2 A D B F E C 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 7 、在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ AFEF8.、已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：BFFD． 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学教学内容 27.2.2相似三角形应用举例（一）时间 2015年12月14日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 进一步巩固相似三角形的知识． 维 2．过程与方法：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 目 3．情感态度与价值观: 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 标 教法与学法指导 一、自主预习 1、判断两三角形相似有哪些方法?2、相似三角形有什么性质？ 2、问题： 学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 二、合作探究 1.例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO． （思考如何测出OA的长？） 2.例4 .如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选= 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ． 择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST 3、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米． 5 、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 三、综合应用 4、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。 四、归纳反思 谈谈本节课你有哪些收获． 五、达标测评 1.在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．） 2. 如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB。 教法与学法指导 重、难点： 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． A P E N B Q D M C 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学教学内容27.2.2相似三角形应用举例（二）时间 2015年12月15日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 进一步巩固相似三角形的知识． 维 2．过程与方法：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 目 3．情感态度与价值观: 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 标 教法与学法指导 注意 ：认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给出，先经历这一抽象的过程．如果你们对于如何用数学语言表述有一定的困难，应与老师一起认真板书解答过程． 一、自主预习 1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质？ 二、合作探究 1 、例5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树根部的当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？ 解 三、综合应用 2.例6（补充）.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PC,并且AB ∥PC．建筑物DE的一端所在的直线MN垂直AB于点M，交PC于点N．小亮从胜利街的A处，沿AB着方向前进，小明一直站在P点的位置等候小亮． （1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）； （2）已知： ，PN 求（1）中的C点到胜利 MN20m，MD8m，24m 街口的距离CM． 四、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 1.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？ 重、难点： 重、难点： 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度 教法与学法指导 距离BD = 5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，五、达标测评 2..如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？ A B D B 步行街M 胜利街D E 光明巷 A C 3.如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,此时有AM/AD=HG/BC (1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=X,确定y与X的函数关系式 (2)当X为何值时,矩形EFGH的面积S最大? A 建筑物 P N QH M G B E C D F 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 27.2.3相似三角形的周长与面积时间 2015年12月16日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力:相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。 维 2．过程与方法：理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 目 3．情感态度与价值观: 能用三角形的性质解决简单的问题． 标 教法与学法指导 一、自主预习 1．复习提问：已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？ （从对应边上看； 从对应角上看：） 问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外， 我们还可以得到哪些结论？ 2．思考： （1）如果两个三角形相似，它们的之间有什么关系？ （2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？ （3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？ 3.推导教材P51探究．相似三角形的性质： 性质1 相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。 即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ， 那么 三、综合应用 例2（教材P52例6） 重、难点： 重点：相似三角形的性质与运用． 难点：对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解 教法与学法指导 DEDF1分析：根据已知可以得到，又有夹角∠D=∠A，由相似三角形的判定方ABAC21法2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为，故△DEF的周长和面积可求出． 2四、归纳反思 1.谈谈本节课你有哪些收获． 2.相似多边形的性质1．﹍＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.相似多边形的性质2．﹍＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 五、达标测评 1．教材P53页．1、2． 2．填空： （1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____． （2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________． （3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______． （4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm ，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm． 角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比． 四、作业 教材P53页．3、4．教材P54页．6、7 22ABBCCAk． ABBCCA性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ， SABCAB2()k2． 那么 SABCAB相似多边形的性质1．﹍＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 相似多边形的性质2．﹍＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、合作探究 且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长． 例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A′B′C′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm，3．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三(第3题) 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 27.3位似（一） 时间 2015年12月17日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 维 2．过程与方法：掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小． 目 3．情感态度与价值观: 进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力 标 教法与学法指导 一、自主预习 1.（教材P59页思考）观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？ 2.（教材P60例题））把图1中的四边形 ABCD缩小到原来的作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′， 使得教法与学法指导 重、难点： 重点：位似图形的有关概念、性质与作图． 难点： 利用位似将一个图形放大或缩小． 1． 21，也就2OAOBOCOD1； OAOBOCOD2分析：把原图形缩小到原来的（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4． 四、归纳反思 谈谈你这节课学习的收获． 五、达标测评 1．已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍． (1) (2) 是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ． 作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′， 使得学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念 OAOBOCOD1； OAOBOCOD2 (3) (4) （4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2． 二、合作探究 问：此题目还可以如何画出图形？ 作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD； （3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得 （4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′， 如图3． 六、作业 教材P60页．练习1、2 OAOBOCOD1； OAOBOCOD2 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 27.3位似（二） 时间 2015年12月18日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 巩固位似图形及其有关概念． 维 2．过程与方法：会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 目 3．情感态度与价值观: 了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换． 标 教法与学法指导 学生小组讨论，共同交流,回答结果． 一、自主预习 1.教材P61页探究： （1）如图27.3-4(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位重、难点： 重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换． 难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 3.在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示． 教法与学法指导 四、归纳反思 1似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ 1.位似图形的性质 3 图27.3-4 (2)如图27.3-4(2)，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 2. 归纳：位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 二、合作探究 1.教材P62页 例如图，四边形ABCD的坐 标分别为A（－6，6），B（－8，2）， 8 6 4 2 ----O ----2 4 6 8 （1）位似图形具有 图形的一切性质；（2）位似图形任意一对对应到位似中心的距离之比都 位似比； 2.图形变换 我们学习过的图形变换包括： ，轴对称，旋转和 ； 五、达标测评 1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标； （2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标； （3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标． 2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2）， B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心， 将这个三角形放大为原来的2倍． 3.如图表示△AOB和把它缩小后得到 的△COD，求△COD和△AOB的相似比． C（－4，0），D（－2，4），画出它的一 个以原点O为位似中心，相似比为 的位似图形． 2.你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！ 128 6 4 2 ---- ----2 4 6 8 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 第27章《相似三角形》复习 时间 2015年12月19日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 综合运用相似三角形的判定和性质熟练解决问题。 维 2．过程与方法：系统总结常用数学思想方法，提高分析问题、解决问题的能力。 目 3．情感态度与价值观: 通过问题情境的设置，培养积极的进取精神，增强数学学习的自信心。实现生生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值。 标 教法与学法指导 一、相似三角形与全等三角形的区别和联系 定义 图形性质 表示方法 性质 相似比 区别与联系 全等三角形 相似三角形 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1、已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’，求证：△OAC∽△OA’C’。 2、已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’，求证：△OAC∽△OA’C’。 3、如图，A、B、D、E四点在⊙O上，AE、BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO。 （1）求证：教法与学法指导 重、难点： 相似三角形的判定和性质熟练运用 AA'OBB'C'C二、相似三角形的判定方法 判定方法1 判定方法2 判定方法3 判定方法4 四、例题 例1、平行四边形ABCD中，M为对角线AC上一点，BM交AD于N，交CD延长线于E。试问图中有多少对不同 OA'B'BACC'C A P · O B D 的相似三角形？ 例2、如图, Rt△ABC, 斜边AC上有一点D(不与点A、C重合), 过D点作直线截△ABC, 使截得的三角形与△ABC相似, 则满足这样条件的直线共有________条。 例3、如图，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是_________。 小练习： 如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交与AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，求CD的长。 CDCE； ACCB（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围。 4、如图，正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF、BG⊥CE于G。试证明DG⊥FG。 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容28.1 锐角三角函数（1） 时间 2015年12月21日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦，当锐角固定时，它的正弦值是定值 维 2．过程与方法：经历探究锐角三角函数的定义的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种规律所揭示的数学内涵. 目 3．情感态度与价值观: 使学生体验数学活动中的探索与发现，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力，学会用数学的思维方式思考，发现，总结，验证. 标 教法与学法指导 教师提出问题，引导学生思考，逐步从特殊到一般的理解锐角的正弦概念. 在特殊角的基础上提出一般性问题，教师再次引导学生利用相似三角形知识，得到：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 教师给出锐角的正弦概念，学生理解认识. 一、自主预习 1.问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 2.思考：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ 3.例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，求sinA和sinB的值． 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 课堂训练 1.判断对错: 1) 如图 (1) sinA= BCBC （ ） (2)sinB= （ ） ABAB重、难点： 正确理解正弦概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值 教法与学法指导 尝试独立完成例1，一名学生板书，并解释做题依据与过程，师生评议，达成一致 上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°， 1 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值等于23.思考：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是 二、合作探究 1.探究：从上面两个问题的结论中可知，•在Rt△ABC中，∠C=90°， B 10m A 6C 2 2.1，是一个固定值；• 22当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值． 2当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， (3)sinA=0.6m（ ） (4)SinB=0.8 （ ） 2) 如图 sinA=BC （ ） AB2.在Rt△ABC中，把三角形的三边同时扩大100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定 3．在△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则sinB=_________． 4．在Rt△ABC中，sinA=oB 4，AB=10，则BC=______ 5B斜边cAbC对边a∠A=∠A′=a，那么BC与B'C'有什么关系．你能解释一下吗？ ABA'B'5.在Rt△ABC中,∠C=90,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____. 6．在Rt△ABC中，∠C＝90，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ） 3434A． B． C． D． 5543oD 2.正弦函数概念： 即sinA＝A的对边aA的斜边c例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=1； 2 2 7． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( ) 3A C 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= 2 ． 24A．13 B．3 C． D．5 3教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容28.1 锐角三角函数（2）时间 2015年12月22日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。 维 2．过程与方法：感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。 目 3．情感态度与价值观: 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 标 教法与学法指导 一、自主预习 1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？ 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5 ，BC=2，那么sinC重、难点： 理解余弦、正切的概念 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数． 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=•6，sinA= 四、归纳反思 在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦， 教法与学法指导 教师讲解并板书 ∠ACD＝（ ） A．5 3B B．2 C．25 D．5 2533，求cosA、tanB的值． 5A3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上， DB6C E A 且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ． 4、•在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时， B ∠A的对边与斜边的比是 ， ∠A的邻边与斜边的比呢？ ∠A的对边与邻边的比呢？ 为什么？ 二、合作探究： ·O BACD 斜边cA∠A的邻边b∠A的对边aC一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ 记作sinA，即sinA= =如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α， oac． sinA＝A的对边aA的斜边c 把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 ，即 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 ，即 那么与有什么关系？ 四、达标测评 1课本P81 练习1、2、3 2.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（） B．C．D． 的值为（） 三、教师点拨： 类似于正弦的情况， 如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们 B斜边cAbC对边a把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A的邻边a=； 斜边cA的对边a=． A的邻边bA．3. 在4中，∠C＝90°，如果cos A= 那么534C． D． 43把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=； ． 当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= 35A． B． 544、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cosα＝______. 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容28．1锐角三角函数（3） 时间 2015年12月23日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 维 2．过程与方法：能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 目 3．情感态度与价值观: 逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 标 教法与学法指导 一、自主预习 一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？ 四、达标测评 重、难点： 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 教法与学法指导 cos45sin301cos60tan45213．的31．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，AB=15，则AC的长是（ ）． 5一个锐角余弦是怎么定义的？ A．3 B．6 C．9 D．12 22一个锐角正切是怎么定义的？ 2．下列各式中不正确的是（ ）．A．sin60°+cos60°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 二、合作探究 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． 1.思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？． A．2 B． 2.归纳结果 siaA cosA tanA 3.例3：求下列各式的值． 30° 45° 60° 值是_______． 14．已知，等腰△ABC•的腰长为43 ，•底为30•°，则底边上的高为_ _，•周长为_ _． 15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知3 C．2 D．1 14．已知∠A为锐角，且cosA≤ ，那么（ ） 2 A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90° 5 13 tanB= ，则5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ） 222cosA=________． A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定 6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana•的 cos45 （1）cos60°+sin60°． （2）-tan45°． sin45223值为（ ）．A．44 B．334 C．5 D．5 7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）． 113 A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1 2228．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：4.例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB= （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的三、归纳反思 要牢记下表： siaA cosA tanA 30° 45° 60° 6，BC=3，求∠A的度数． 3：2，则sinA+tanA等于（ ）． D.312 3236A．1B.32C.3323倍，求a． 9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是•则∠CAB等于（ ） A．30° B．60° C．45° D．以上都不对 13 2210．sin72°+sin18°的值是（ ）．A．1 B．0 C． D． 2211．若（3 tanA-3）+│2cosB-3 │=0，则△ABC（ ）． A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题． 12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______． 23，教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容28．2解直角三角形（1）时间 2015年12月24日 年级 九年级 主备教师备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 使学生理解直角五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形三角形中． 维 2．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 目 3．情感态度与价值观: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 标 教法与学法指导 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演． 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 一、自主预习 三、归纳反思 1．在三角形中共有几个元素？ ⑴“已知一边一角，如何解直角三角形？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ ⑵这节课我学会了： (1)边角之间关系 ⑶易错点： 重、难点： 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 教法与学法指导 1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。 abab;cosA;tanA;cotAccba babasinB;cosB;tanB;cotBccab 如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. sinA（4）这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形． 2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． 3、 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=44、Rt△ABC中，若sinA=(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 2 2 2 a+b=c (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作探究 1.要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角足， (如图).现有一个长6m的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角o少(精确到1) 这时人是否能够安全使用这个梯子 2例1、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=a=6，解这个三角形． o3.例2、在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形． 等于多一般要满的对边的邻边的对边的邻边sin；cos；tan；cot斜边斜边的邻边的对边 3，解此直角三角形。 解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力． 45，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=2， 3，则cosA的值是（ ） 534916A． B． C．D.552525 3，解此直角三角形。六、 7.在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=4五、作业设置： 课本 第92页 习题28．2复习巩固第1题、第2题． 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容28．2解直角三角形（2）时间 2015年12月25日 年级 九年级 主备教师备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． 维 2．过程与方法：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 目 3．情感态度与价值观: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 标 教法与学法指导 一、自主预习 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)． 2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为0重、难点： 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 教法与学法指导 要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它． 此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD． 设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的． A的对边sinA 斜边 二、合作探究 可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了． A的邻边cosA斜边A的对边A的邻边1、仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 2、例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km) 60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m） 3．如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只 B的水平距离BC(精确到1m) 教师在学生充分地思考后，应引导学生分析： （1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来． （2）．请学生结合图形独立完成。 3、例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部 的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 4 如图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5 米，求BD的高及水平距离CD． 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师学科 数学 教学内容28．2解直角三角形（3）时间 2015年12月26日 年级 九年级 主备教师备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角 维 2．过程与方法：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 目 3．情感态度与价值观: 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题． 标 教法与学法指导 一、自主预习 坡度与坡角：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）， 一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ 这一关系在实际问题中经常用到。 二、合作探究 1、例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ 2、例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m) 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： 重、难点： 用三角函数有关知识解决方位角问题 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 教法与学法指导 ⑵易错点： 本节课教学内容仍是⑶这节课还存在的疑问： 解直角三角形，但问题四、达标测评 已是处理一些实际应1.一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； 用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是____，坡角______度． 3.利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5要时还要作辅助线，再米，求： 把问题放在直角三角 ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； 形中解决．在用三角函 ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 数时，要正确判断边角 关系． 分析：(1)请学生审题： 因为电线杆与地面应 是垂直的，那么图6-27 中△ACD是直角三角 形．其中CD=5m，∠4.如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的CAD=60°，求AD、AC长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)． 的长． (2)学生运用已有知识 独立解决此题．教师巡 视之后讲评． 教学反思： 石桥二中导学案（2015秋） 使用教师： 学科：数学 教学内容：第二十八章“锐角三角函数”简介时间：2015.12.23 年级： 九 主备教师： 备课组长签名： 三 知识与能力： 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆、、的正弦、余弦维 目 和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角 标 过程与方法：理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形 情感态度与价值观通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受 重难点：理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想 教法与学法指导 本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。 本章内容与已学 “相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。 本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）： 28．1 锐角三角函数 约6课时 28．2 解直角三角形 约4课时 数学活动 小结 约2课时 （一）本章知识结构框图 教法与学法指导 本章知识的展开顺序 （二）教科书内容 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。 在第28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半” 这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学 这两个实际问题抽象成数学问题分别是已知直角三角形的一个锐角和斜边，求这个角的生体会到“无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，这 夹角的问题的，解决这两个问题需要用到第28.1节学习的有关正弦函数和余弦函数的内容。里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。接下去，教科书又设置一个“思考”这两个问题实际上属于求解直角三角形的问题，设计这个实际问题的目的是要引出解直角三角形的内容。因此，教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，的锐角所对的边与斜边的比有什么特点，在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系。这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，通过探讨上面这两个特殊的直和，角形的内容。接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用。第一个实际问题是章前引言中提到的确定比萨斜塔倾斜程度的问题，这个问题实际上是已知直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是角三角形的斜边和一个锐角的对边，求这个锐角的问题，这要用到正弦函数；第二个问题是确定神舟5号变轨后，所能看到地面的最长距离，这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的邻边，求这个锐角的问题，这要用到余弦函数；第三个问题是确定楼房高度的问题，这个问题抽象成数学问题是已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，求这个角的对边，这要用到正切函数；第四个实际问题是在航海中确定轮船距离灯塔的距离，解决这个问题需要反复利用正弦函数。这样教科书就通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后，教科书采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想。 （三）课程学习目标 对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求： 1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆、、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这里体现了函数的思想，这也为引出正弦函数的概念作好铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个“探究”栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”，由此引出正弦函数的概念，这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，sinA都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个“探究”栏目中，类比着正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了、、角的正弦、数值说出这个角； 2. 能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3. 理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4. 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受 利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数，这样就使学生认识到“无论直角三角形余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是、和的特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。第28.2节“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用。本节开始，教科书设计了一个实际背景，其中包括两个实际问题，对边和已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这两个边 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 第28章锐角三角函数整理与复习时间 2015年12月27日 年级 九年级 主备教师备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 维 2．过程与方法：熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 目 3．情感态度与价值观: 掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 标 教法与学法指导 2、探究:2：我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡， 改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米（结果保留根号）？ 3、探究3：.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与 6.如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB底部相距6m的C处，量出测倾器的高度CD＝1m，测得旗杆顶端B的仰角＝60°，则旗杆AB的高度为 ．（计算结果保5.在Rt△ABC中，点C为直角顶点，则下列式子中不一定成立的是（ ） A．sinA＝sinB B．cosA＝sinB C．sinA＝cosB D．sin(A+B)＝sinC A．一、知识回顾与链接： 1.锐角三角函数的概念， 2.同一个锐角的正弦与余弦之间有什么关系？ 3.熟记3个特殊角的三角函数值。知道三角函数值与角的大小之间的变化关系。 4.直角三角形中的边与边，角与角，边与角之间的关系，知道什么叫解直角三角形。 5.了解仰角与俯角的概念，了解坡度与坡角的概念。 二、典型例题 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1.已知α为锐角,当2无意义时,则tan(α+15°)-tan(α-15°)的值为 . 1tan重、难点： 会计算含有特殊角的三角函数的值，会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 教法与学法指导 1探究1：海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，2.已知为锐角，且3，则等于（ ）A．50B．60C．70 D．80 sin(10)2在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（ ） A与24 7 B．73 C 8 6 E A1B A D 3 4.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30，向高楼前进60米到C点，又测得仰角C．D．为45，则该高楼的高度大约为（ ）A.82米 B.163米 C.52米 D.70米 7 243045DCB 地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，留根号） 看旗杆顶部的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线 上）．请求出旗杆MN的高度．（结果保留整数） 教学反思： 石桥二中导学案（2015秋） 使用教师： 学科：数学 教学内容：第二十九章“投影与视图”简介时间：2015.1.2年级： 九 主备教师： 备课组长签名： 三 维 目 标 知识与能力： 以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质 过程与方法：通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力 情感态度与价值观在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中手脑结合的能力 一、教科书内容和课程学习目标 （一）教科书内容 本章的主要内容包括： 1．投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念，正投影的成像规律； 2．视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化； （二）本章知识结构框图 3．课题学习：制作立体模型。这是由三视图向立体图形转化的实践活动。 全章共包括三节： 29．1 投影 29．2 三视图 29．3 课题学习 制作立体模型 29.1 节首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影。可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。 29.2节讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，最后通过6道例题讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想本章内容与其他章有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的计算。 象能力有直接的关系。 重难点：认识投影和视图的基本概念和基本性质 ，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力，加强在实践活动中手脑结合的能力 教法与学法指导 教法与学法指导 29．3节安排了观察、想象、制作相结合的实践活动──“课题学习 制作立体模型”， 这是结合实际动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作式学习的方式。应该把这个课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。 （三）课程学习目标 实际教学要比教科书有更大的灵活性，教学中能动态地展示模型，能直接面对学生授业1．以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质； 2．通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力； 3．通过制作立体模型的课题学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中手脑结合的能力. （四）课时安排 本章教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）： 29．1 投影 2课时 29．2 三视图 5课时 29．3 课题学习 制作立体模型 2课时 数学活动 小结 2课时 （五）教学中应重视联系实际问题，帮助学生克服立体几何知识的不足 在本章的教学中，不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识，例如空间中直线与直线（简称线线）、直线与平面（简称线面）、平面与平面（简称面面）的位置关系（相交、垂直和平行），但是学生此前缺乏对这些知识的系统学习，只是有一些感性认识。在学习本章之前先系统补充立体几何基础知识是不合适的，因为这需要增加许多课时，而且扩大了课程标准规定的初中数学学习内容，加重了学习负担。教科书的编写者认为，解决这个问题的比较好的做法是重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识，使学生能结合例子了解这些空间位置关系并能把这种认识迁移到类似情形即可。教科书中这是按照这种认识处理相关内容的。例如，介绍正投影时涉及投影线与投影面的垂直关系（线面垂直），教科书在此处采用结合插图并使用“投影线正对着投影面”这样通俗易懂的语言加以解释的处理方法，虽然不是十分准确，但能使学生了解其基本意思就够了。又如，介绍正投影的规律时，教科书先后选择了铁丝、正方形纸板和正方体模型等例子，插图和文字相结合，按照维数从1到3的顺序说明有关平行、斜交和垂直的位置关系。 （六）教学中应结合本章内容的特点，从不同角度综合培养空间想象能力 空间想象能力是一种重要的数学基本能力，本章内容非常适合培养这种能力。本章所讨论的对象是投影与视图，其中没有很多计算问题，也没有形式上的推理证明。这与前面几章形成明显的区别。本章面临的主要是立体图形与平面图形的相互转化问题，而掌握立体图形与相应平面图形的联系是实现上述转化的关键。要掌握这种联系，不仅需要认识从立体图形到平面图形的转化过程，还需要认识从平面图形到立体图形的转化过程，即需要从两方面双向地认识这种联系。正因如此，本章教科书在编写中特别先后安排了“由物画图”和“由图想物”两类问题，它们各有侧重承担了不同的任务，前者可以使人认识到立体图形的投影是什么样的平面图形，后者可以使人把相关的平面图形在头脑中综合成为相应的立体图形。两者又是互相联系的，同样的投影规则（规律）在两类问题中都是考虑问题的依据。 鉴于上述分析，建议在本章的教学中，注意从不同角度加强对于空间想象能力的培养。在不同教学阶段，思考问题的角度可能有所不同，要解决的问题也有区别，“由物画图”可以看成是一个分解（或不同角度分析）的过程，而“由图想物”是一个综合的过程。解决问题有时需要分解，有时需要综合，有时需要两者结合。应注意两者的教学要有合理的顺序，一般说“由物画图”是“由图想物”的基础，只有认识了视图所表示的意思，才可能把视图立体化。教学中还应注意不同阶段内容之间的联系，注重全章教学的整体综合效果。不论“由物画图”，还是“由图想物”，都要根据投影规则（规律）进行思考，这些投影规则（规律）就是两者之间的联系，两类问题实际上是从相反的角度（方向）认识同一规律。此外，必须指出：学习本章内容时，动脑活动与动手活动相结合是非常有效的，使学生经历观察、画图、想象、制作模型等认识过程是非常必要的。因此，建议教学中对于本章安排的实践性较强的内容（例如课题学习），要结合学生实际加以落实，而不要以教师的讲授代替学生的亲身体验。 解惑，应充分发挥这些优势。因此，建议教学中在上述问题的处理上，能注意结合实物模型，利用直观演示，比较几种不同的空间位置关系，使学生能够联系例子认识到“像……那样，就是一条直线平行（或垂直，或倾斜）于一个平面”等，达到这种认识水平就完全可以继续本章的学习了，所以没有必要在本章进行线线、线面、面面位置关系定义的学习，这些是学生今后要学习的内容。 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容29.1投影（1）时间 2015年12月29日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1、知识与能力：经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念； 维 2、过程与方法：了角平行投影和中心投影的区别。 目 3、情感态度与价值观：使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 标 教法与学法指导 一、自主预习 你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏 出示投影： 北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻． 问题：那什么是投影呢？ 出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。 3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。 4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？ 三、归纳反思 我们这节课学习了什么知识？ 一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影. 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影. 二、合作探究 四、达标测评 （1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。 ①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？ ②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图； （2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应 点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。 探究平行投影和中心投影和性质和区别 1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。 2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？ 重、难点： 重点：理解平行投影和中心投影的特征； 难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影 教法与学法指导 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容29.1投影（2）时间 2015年12月30日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1、知识与能力：了解正投影的概念； 维 2、过程与方法：能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影 目 3、情感态度与价值观：培养动手实践能力，发展空间想象能力。 标 教法与学法指导 一、自主预习 下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别? 重、难点： 重点：正投影的含义及能画出简单的的正投影 难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影 (2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化; (3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段. 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同. 三、综合应用 例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影. (1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1); (2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2). 教法与学法指导 指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。 二、合作探究 1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置: (1)铁丝平行于投影面; (2)铁丝倾斜于投影面， (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状 四、归纳反思 谈谈收获 五、达标测评 1.P112 练习和习题29.1 1、2、5 通过观察，我们可以发现; (1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB A1B1 (2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB A2B2 (3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3 2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置: (1)纸板平行于投影面; (2)纸板倾斜于投影面;(3)纸板垂直于投影面 结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样; 六、作业 3.确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子． 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容29.2 三视图（一） 时间 2015年12月31日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1、知识与能力：会从投影的角度理解视图的概念 维 2、过程与方法：会画简单几何体的三视图 目 3、情感态度与价值观：通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系。 标 教法与学法指导 一、自主预习 你能说说这几张图片分别是从哪些方向（角度）拍摄的吗？ 当我们从某一个角度观察一个物体时,所看到的图象叫做物体的一个视图，我们主要从三个方向来研究物体的视图。 二、合作探究 画出长方体的三视图 在正面得到的由前向后观察物体的视图， 叫主视图（从前面看）； 在水平面内得到的由上向下观察物体 的视图，叫俯视图（从上面看） ； 在侧面内得到由左向右观察物体的视图， 叫左视图（从左面看） 三视图的位置要求： 主视图要在左上边 它的下方应是俯视图，左视图坐落在右边 三视图中各视图的大小关系： 主视图与俯视图 长对正 主视图与左视图 宽相等 左视图与俯视图 高平齐 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影. 正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图， 侧投影面上的正投影就是左视图 三、综合应用 例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图 如果将上图中的圆柱与三棱柱的摆放位置换一下，它们的三视图是否发生变化？ 例2：画出图中所示的支架的三视 图，支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度 例3：这是一根空心钢管的直观图，画出它的三视图 四、归纳反思 1.三视图 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 2.画物体的三视图时,要符合如下原则: （1）位置：主视图 左视图俯视图（2）大小：长对正,高平齐,宽相等. 五、达标测评 1、画出下列几何体的三视图 2.指出下列三个视图分别是上面几何体的什么视图 重、难点：重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图 难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图 教法与学法指导 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容29.2 三视图（二）时间 2015年1月4日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 进一步明确正投影与三视图的关系 维 2．过程与方法：经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；培养动手实践能力，发展空间想象能力。 目 3．情感态度与价值观: 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 标 教法与学法指导 一、自主预习 1、画一个立体图形的三视图时要注意什么？（上节课中的小结内容） 2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图 3、做一做：画出下列几何体的三视图 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1、P112 练习 4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7 二、合作探究 例2画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图. 分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构 成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的 上下、前后位置关系. 解:如图29.2-7是支架的三视图 例3右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图 分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见 内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定; 看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡 而看不见部分的轮廓线画成虚线. 图29.2-9 解.图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁. 五、作业 教科书P116：2 教科书P117：5 2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图. 重、难点： 重点：简单立体图形的三视图的画法 难点：三视图中三个位置关系的理解 教法与学法指导 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师学科 数学 教学内容29.2 三视图（三） 时间 2015年1月5日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型； 维 2．过程与方法：经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。 目 3．情感态度与价值观: 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 标 教法与学法指导 分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形. 一、自主预习 前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形二、合作探究 例4根据下面的三视图说出立体图形的名称. 三、归纳反思 1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。 3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。 四、达标测评 1、P115 练习 解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示; (2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示. 例5根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状. 分析.由主视图可知，物体正面是正五边形 ，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形 的，且有一条棱(中间的实线)可见到。两 条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧 面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可 见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的. 解:物体是五棱柱形状的，如下图所示. 2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。 五、作业 教科书P116：3、4 教科书P117：6 主视图左视图俯视图重、难点： 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型 教法与学法指导 （实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力） 将各视图对照起来看。 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容29.2 三视图（四） 时间 2015年1月6日 年级 九年级 主备教师备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型； 维 2．过程与方法：经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力； 目 3．情感态度与价值观: 了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。 标 教法与学法指导 一、自主预习 1、完成下列练习 （1）、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。 （2）、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子 上共有________个碟子。 激发学生的学习兴趣，导入本课。 对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积. 图确定制作每个密封罐所需钢板的面积. （A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球 2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识. 二、合作探究 例6某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视 五、作业 P117~118 8、9 3.一个物体的主视图如右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有几种不同的情形? （3）、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为 三、归纳反思 根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状. 四、达标测评 1.P116 练习 2根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正方体? 重、难点： 重点：根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用 难点：根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状 解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)). 密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图. 教法与学法指导 由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示. 教学反思： 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容 29.2 投影与视图（练习课）时间 2015年1月7日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 进一步体会投影中的平行投影、中心投影和正投影间的相互关系 维 2．过程与方法：加深体会立体图形或实物原型与三视图的互相转化，进一步拓展学生的空间想象力 目 3．情感态度与价值观: 使学生学会关注生活中有关投影与视图的数学问题，提高数学的应用意识。 标 教法与学法指导 让学生进行2~3分钟的梳理，然后让几个学生说说看，最后老师拓展总结 一、提问导入 前面我们都学习了哪些内容？ 二、练习设计 1.填空题 （1）俯视图为圆的几何体是_______，______。 （2）画视图时，看得见的轮廓线通常画成_______，看不见的部分通常画成_______。 （3）举两个左视图是三角形的物体例子：________，_______。 （4）如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。 (4)一个四棱柱的俯视图如右上图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（ ） （6）一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。 2.选择题 （1）圆柱对应的主视图是（ ）。 （3）右上图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。 （A） （B） （C） （D） （4）根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的？共有几层？一共需要多少个小正方体。 （画左视图） （画俯视图）（2）画出右方实物的三视图。 （画正视图） （5）主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是（ ）。 （A）圆锥（B）圆柱 （C）球 （D）空心圆柱 3、解答题 （1）根据要求画出下列立体图形的视图。 （5）请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上. （A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球 （3）下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是…（ ） 重、难点： 平行投影、中心投影和正投影间的相互关系 立体图形或实物原型与三视图的互相转化 （2）某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。 教法与学法指导 石桥二中导学案（2015年秋） 使用教师 学科 数学 教学内容第29章投影与视图整理与复习时间 2015年1月8日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 1．知识与能力: 通过复习系统掌握本章知识，体验数学来源于实践，又作用于实践。 维 2．过程与方法：提高解决问题分析问题的能力，培养空间想象能力。 目 3．情感态度与价值观: 体会到数学来源于生活，应用于生活 标 教法与学法指导 阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的 一、自主预习 1、本章知识结构框架： 2、填空： （1）人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。 所在的位置叫做视点， 有公共 的两条 所成的角叫做视角。 视线不能到达的区域叫做 。 （2）物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做 ，投影所在的 叫做投影面。 由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。 由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。 （4）物体的三视图是物体在三个不同方向的 。 上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上的正投影就是左视图。 二、例题讲解 例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ） A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短 C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长 例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评见课本第125页复习题29。 主视图 俯视图重、难点： 重点：投影和三视图 难点：画三视图 主视图左视图俯视图教法与学法指导 C张丽A王明李杰钱勇B从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，同正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。 由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。 左视图为侧视图，由于例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三 例４、如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。 （１）确定光源的位置； （２）在图中画出表示电线杆高度的线段。 学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。 （3）在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。 例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。 （１）请你画出这个几何体的一种左视图； （２）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。 小王小李电线杆几何体只知道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５个正方体可分布在１、２、３层。 教学反思： 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容