南师附中高考预测模拟题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1.已知sin 2.定义运算

3.已知圆x2y22axcos2aysina2sin20截x轴所得弦长为16，则a的值是 ▲ ．

4.设xR，函数ylg(mx24mxm3)有意义, 实数m取值范围 ▲ ．

2cos21,则cos2= ▲ ． 211ab42i的复数z为 ▲ ． adbc，则符合条件

cd1zix2y2125.已知1(m0,n0)则当mn取得最小值时，椭圆221的离心率是 ▲ ．

mnmn

26.已知命题p:“x1,2,xa0”，命题 q:“xR,x22ax2a0”若命题“p且q”

是真命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．

237.给出幂函数①f(x)x；②f(x)x；③f(x)x；④f(x)x；⑤f(x)1．其中满足条件xf(

f(x1)f(x2)x1x2（x1x20）的函数的序号是 ▲ ． )>

22A8.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图 中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为 正六边形，那么该几何体的体积为 ▲ ．

俯视图B主视图C左视图

9. 已知平面区域U(x,y)xy6,x0,y0,A(x,y)x4,y0,x2y0，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 ▲ ．

10.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2BAC，b2，则ac的取值范围是 ▲ ．

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y211. 已知抛物线y2px,(p0)上一点M（1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x1的左顶点

a22为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a= ▲

12.若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动， 则

AP(PBPD)的最大值是 ▲ ．

13.执行右边的程序框图，若p＝0.9，则输出的n ▲ ．

14.已知：M{a|函数y2sinax在[,]上是增函数}， 34xn在D2xm设DMN，且定义在R上的奇函数f(x)N{b|方程3|x1|b10有实数解}，内没有最小值，则m的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，已知三棱锥PABC,ACB900,CB4,AB20,D为AB中点，M为PB的中点，且

PDB是正三角形，PAPC．

（I）求证：DM//面PAC； （II）求证：平面PAC⊥平面ABC； （Ⅲ）求三棱锥MBCD的体积．

16.（本小题满分14分）

4 （Ⅰ）在条件P下求f(x)的最大值及最小值；

已知函数f(x)4sin(2x)23cos2x1且给定条件P:\"4x2\"

（Ⅱ）若又给条件q:\"f(x)m2\"且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.

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17.（本小题满分15分）

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时．．．．间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）. （1）写出g（x），h（x）的解析式；

（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

18.（本小题满分15分）

已知圆O的方程为x2y21,直线l1过点A(3，且与圆O相切. 0），（1）求直线l1的方程；

（2）设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q.求证：以PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标.

19.（本小题满分16分）

已知数列an中，a12，a23，其前n项和Sn满足Sn1Sn12Sn1 其中（n2，nN）． （1）求数列an的通项公式；

（2）设bn4n(1)n12n(为非零整数，nN），试确定的值，使得对任意nN，都有

a**''''*bn1bn成立．

20.（本小题满分16分）

已知函数f(x)x3ax2b(a,bR)． （I）当a0时，求函数yf(x)的极值；

（II） 若函数yf(x)的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：6a （III）对任意x0[0,1],yf(x)的图像在xx0处的切线的斜率为k，求证：1a立的充要条件．

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6；

3是|k|1成

理科附加题部分

一、本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．选修4－2：矩阵与变换

 3 3，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α＝1，属于特征值1的一个

已知矩阵A＝1

 c d1 3

特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

－2

2．选修4－4：坐标系与参数方程

若两条曲线的极坐标方程分别为1与2cos，它们相交于A,B两点，求线段AB的

3长．

3．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为

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1，乙、丙面试合2格的概率都是

1，且面试是否合格互不影响．求： 3（1）至少有1人面试合格的概率； （2）签约人数的分布列和数学期望．

4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱BB1的中点． （1）求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值； （2）求二面角AMC1A1的余弦值．

南师附中高考预测模拟题答案

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤． 1．8．

13 2．23i 3．8 4．{0,1) 5． 6．(,2]{1} 7．④ 8232113 9． 10．(2,4] 11． 12． 13．5 14．(,) 2944215．（本小题满分14分）

（3）【解】由（1）知DM//PA，由（2）知PA⊥平面PBC， ∴DM⊥平面PBC．„„11分

∵正三角形PDB中易求得DM53，

SBCM1111SPBCBCPC410242221. „„13分 22241VV53221107.„„14分 ∴MBCDDBCM3第 5 页 共 11 页

16.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵f(x)2[1cos(22x)]23cos2x12sin2x23cos2x1

4sin(2x)1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

322x又∵x „„„„„„„„„„„„„„6分

42633即 34sin(2x3)15 ∴ymax=5， ymin=3 „„„„„8分

（Ⅱ）∵|f(x)m|2m2f(x)m2 „„„„„„„„„„„10分

m23又∵P为q的充分条件 ∴  解得 3m2517.（本小题满分15分） 解：（1）由题知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216－x）人.

∴g（x）=

30004000，h（x）=，

(216x)36x即g（x）=

20001000，h（x）=（0＜x＜216，x∈N*）. „„„„„„„„4分 3x216x200010001000(4325x)－=. ∵0＜x＜216，∴216－x＞0.

3x(216x)3x216x（2）g（x）－h（x）=

当0＜x≤86时，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；

当87≤x＜216时，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.

2000*,0x86,xN,3x∴f（x）= „„„„„„„„8分

1000,87x216,xN*.216x（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值. 当0＜x≤86时，f（x）递减，

20001000∴f（x）≥f（86）==. ∴f（x）min=f（86），此时216－x=130.

386129当87≤x＜216时，f（x）递增，

10001000∴f（x）≥f（87）==.

216871291000∴f（x）min=f（87），此时216－x=129. ∴f（x）min=f（86）=f（87）=.

129∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129„„„„„„„„15分 18.（本小题满分15分）

解：（1）∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：xy1相切，

设直线l1的方程为yk(x3)，即kxy3k0， „„„„„„„„„„2分 则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d22|3k|k211，解得k2， 4第 6 页 共 11 页

∴直线l1的方程为y22(x3)，即y(x3)． „„ „„„„„„„4分 44（2）对于圆方程x2y21,令y0，得x1,即P(1,0),Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x3，设M(s,t)，则直线PM方程为yt(x1). s1x3,4t2t解方程组,得P'(3,).同理可得,Q'(3,).„„„„„„ 10分 ty(x1)s1s1s1∴以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)(y又s2t21，∴整理得(x2+y2-6x+1)+4t2t)(y)0， s1s16s-2y=0，„„„„„„„„„ 12分 t若圆C经过定点，只需令y=0，从而有x2-6x+1=0，解得x322，

∴圆C总经过定点坐标为(322,0)． „„„„„„„„„„„„„„„„„ 15分 19.（本小题满分16分）

解：（1）由已知，Sn1SnSnSn11（n2，nN），

*即an1an1（n2，nN），且a2a11．

∴数列an是以a12为首项，公差为1的等差数列． ∴ann1． （2）∵ann1，∴bn4n(1)n12n1，要使bn1bn恒成立，

n1nn2∴bn1bn44121n∴3431n1nn1*2n10恒成立，

n12n10恒成立， ∴1n12n1恒成立．

（ⅰ）当n为奇数时，即2恒成立，

n1当且仅当n1时，2有最小值为1， ∴1．

（ⅱ）当n为偶数时，即2当且仅当n2时，2n1n1恒成立，

有最大值2， ∴2．

即21，又为非零整数，则1．

*综上所述，存在1，使得对任意nN，都有bn1bn．

20.（本小题满分16分）

解：（I）f(x)3x2ax3x(x22a) 3第 7 页 共 11 页

由f(x)0得，x0或x而a0，列出下表

2a 3x (,0)

0

(0,2a) 32a 3(2a,) 30 + 0 f'(x) — —

f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减

所以，当x0时，f(x)取得极小值，极小值等于b；

2a4a3b； 当x时，f(x)取得极大值，极大值等于

327（II）设函数yf(x)的图象上任意不同的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)， 不妨设x1x2,

3y1y2x13ax12x2ax22则2即2,x1x2x1x2(x1x2)(x12x1x2x22)a(x1x2)(x1x2)2x1x22 整理得:x12(x2a)x1x2ax220

x1R1(x2a)24(x22ax22)0即3x222ax2a280x2R24a212(a28)0即a2606a6 （注：若直接用f'(x)2来证明至少扣1分） 10分

2（III）kf(x0)3x02ax0,则当x0[0,1]时，

2|k|113x02ax01

a01aa1330f'(1)32a13或f(1)32a1或f(1)32a11 f'(0)0f'(0)01f'(0)012f'(a)a133解得:1a3,故|k|1成立的充要条件是1a3.

理科附加题部分答案

一、本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．选修4－2：矩阵与变换

 3 3，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α＝1，属于特征值1的一个特征

已知矩阵A＝1

 c d1 3

向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

－2

1 3 3111．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6， 1 c d11

即c＋d＝6； „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

3 3 3 3 3由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，

 c d－2－2－2

即3c－2d＝－2， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

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c＝2， 3 3， „„„„„„„„„„„„„„„„8分 解得即A＝

 2 4d＝4．



A的逆矩阵是． „„„„„„„„„„„„„„„10分

11 －3 2

2．选修4－4：坐标系与参数方程

21 －32

若两条曲线的极坐标方程分别为1与2cos，它们相交于A,B两点，求线段AB的长．

32．解：由1得x2y21， „„„„„„„„„„„2分 又2cos(3)cos3sin,2cos3sin

x2y2x3y0， „„„„„„„„„ 4分

2213xy1由得A(1,0),B(,), „„„„„„„„„ 8分

2222xyx3y0

231AB103． „„„„„„„„„10分 222

3．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为格的概率都是

1，乙、丙面试合21，且面试是否合格互不影响．求： 3（1）至少有1人面试合格的概率； （2）签约人数的分布列和数学期望．

3．解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

且P(A)11,P(B)P(C). „„„„„„„„„„„„„„2分 23（1）至少有1人面试合格的概率是：

12271P(ABC)1P(A)P(B)P(C)1. „„„„„„„„„„„„„„4分

2339（2）的可能取值为0，1，2，3. „„„„„„„„„„„„„„5分 ∵ P(0)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

＝P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)

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＝

1121211224. „„„„„„„„„„„„„„6分 2332332339 B)P(AC P(1)P(ABC)P(ABC) =P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)

1211121224. „„„„„„„„„„„„„„7分 23323323391111C) . „„„„„„„„„„„8分 P(2)P(ABC)P(A)P(B)P(233181111C) „„„„„„„„„„„„„. P(3)P(ABC)P(A)P(B)P(9分 23318 =∴的分布列是：

 P() 0 1 2 3 11 1818441113的期望E0123. „„„„„„„„„„„„„„10分

99181818

4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱BB1的中点． （1）求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值； （2）求二面角AMC1A1的余弦值．

4．解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2． ⑴直线A1M的一个方向向量是m(0,2,1)，平面AMC1的一个法向量是n(1,1,2)， 由cosm,n4 94 9mnmn230230，所以直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值是． 1515第 10 页 共 11 页

⑵平面A1MC1的一个法向量是e(1,1,2)，平面AMC1的一个法向量是n(1,1,2)， 由cose,nen2en3， 所以二面角AMC21A1的余弦值是3．

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