高一期末考试模拟试题
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.已知集合 M A. 7
x N / x
B. 8
8 m, m N ，则集合 M 中的元素的个数为（
）
C. 9
D. 10
2.已知点 A( x,1,2) 和点 B(2,3, 4) ，且 A. 3 或 4
AB
2 6 ，则实数 x 的值是（
C.3或 4
D.6或 2
）
）
B.6或2
3.已知两个球的表面积之比为 A.1:3 4.圆
2
1: 9，则这两个球的半径之比为（
B. 1: 3
C.1: 9
D. 1: 81
2
上的动点 P 到直线
的距离的最小值为（ ）
x
y
1
3x 4 y 10 0
C.3
A. 2
B.1
D.4
5.直线 x A.12 2
y 4 0 被圆 x2
y2 4x 4 y 6 0 截得的弦长等于（ 2
）
B. 2 C. 3 2
D.4 2
6.已知直线 l1 : ax A. 0
y 2a
B. 1
0 , l2 : (2a 1)x
ay a 0 互相垂直 ,则 a 的值是 (
D.0或 1
）
)
C.0 或1
7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A. y
x ( x R) B. y
x x(x
3R) C. y ( ) (x R) D. y
1
x
1
x
(x R,且 x 0)
2
1 的正方形， ）
8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ A. C.
主视图
左视图
B.
5
4
D.
3
4
9.
设 m,n 是不同的直线，
①
2
,
,
是不同的平面，有以下四个命题：
//
//
②
m
③
m
④
（
m// n n
俯视图
m //
// m//
m//
其中，真命题是 A. ①④
）
D.②④
B.②③ C. ①③
10.函数 f ( x)
ln x
2 x
的零点所在的大致区间是（
）
A. 1,2
B. 2,3
C. 1,
1
D. e,
e
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
11.设映射 f : x 12.已知 f ( x)
x3 x 1 ，则在 f 下，象 1的原象所成的集合为 4x2 mx 1在
, 2 上递减，在 2,
5y
上递增，则 f (1)
13.过点 A(3,2) 且垂直于直线 4x
8 0 的直线方程为
1
1
14.已知 x y
12, xy 9 ，且 x
y ，则
x2
1
y2
1 2
x2
y
三、解答题。本大题 6 题共 80分。
15（ 12 分）已知二次函数 f (x)
x2
4x 3
（ 1） 指出其图像对称轴，顶点坐标；
（ 2） 说明其图像由 yx2 的图像经过怎样的平移得来；
（ 3） 若 x
1,4 ，求函数 f ( x) 的最大值和最小值。
16（ 12 分）求过点 P(2,3) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 17（ 14 分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱 点D是 AB的中点。 （ 1）求证： AC
ABC A1B1C1 中，AC 3, AB 5,cos CAB
C1
3 5
，AA1
4,
BC1
B
A1
1
（ II ）求证： AC1 // 平面 CDB1 （ III ）求三棱锥
A1 B1CD 的体积。
C
B
A
D
18（ 14 分）求经过 A(0, 1) 和直线 x y 1相切，且圆心在直线 y 2x 上的圆的方程。
2
19(14 分 ) 对于函数 f ( x) = a - 2x + 1(a ? R) , （ 1）判断并证明函数的单调性；
（ 2）是否存在实数 a，使函数 f (x) 为奇函数？证明你的结论
20（ 14 分）已知函数
f ( x) 2(m 1)x2 4mx 2m 1
（ 1） 当 m 取何值时，函数的图象与 x 轴有两个零点； （ 2） 如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m 的值。
参考答案
一、选择题
CDABB
CBCCB
二、填空
11. 1,0,1
12.21
13. 4 y 5x 7
0
14.3
3
三、解答题
15. f ( x)
x2 4x 3 ( x 2)2 7
2 分
（ 1）对称轴 x 2 ，顶点坐标 (2,7)
4 分
（ 2） f ( x)
x2 4x
3 图象可由 y
x2 向右平移两个单位再向上平移
7 个单位可得。
6 分
（ 3 ） f (1) 6, f (4) 3, f (2)
7 ， 由 图 可 知 在 x
1, 4 ， 函 数 f ( x) 的最大值为
12 分
16.法一 :(截距式 )
当直线过原点时 ,过点 (2,3)3
分 )
的直线为 y
x ------------------------(5
2
当直线不过原点时
,设直线方程为 x
y 1 ( a 0 ),直线过点 (2,3) ,代入解得 a 5
a
a
所以直线方程为
x y 1
5 5
所以 P(2,3) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
y
3 x 和 x y 1 .
2 5
5
法二 (斜截式 )
依题意知直线显然存在斜率 , --------------------(2 分)
设直线方程为 y
kx b ,直线过点 P(2,3) ,代入方程有
3 2k b
①
直线在 x 轴和 y 轴的截距分别为 b
k和 b ,
b
依题意有 b
②
----6 分
k
k
3
由① ②解得
1
分
2 或k
b
5
10
0
b
所以直线的方程为
y3
x 和 y
x
5 ----------------------------12
分
2
17.证明（ 1）在
ABC 中，由余弦定理得 BC
4， ABC 为直角三角形， AC BC
又
CC1 面 ABC CC1 AC ， CC1 BC C
7，最小值为 3
AC 面BCC1 AC BC1 ----------6 分
（ 2） 连结 B1C 交 BC1 于点 E，则 E 为 BC1
的中点，连结 DE ，则在
ABC1 中， DE // AC1 ，又
面 CDB1 ，则 AC1 // 面 B1CD -----------------------------10 分
面ABC 知 ABC中过 C作AB垂足为 F ,由面 ABB CF A （ 3） 在 CF
DE
面ABB A
1 1
VA
V
C ADB
1
1
1
1
B CD
1 1
1 1
而SDAB
1
2
A1 B1
AA1
5 4
1
2
CF
10 又
VA
AC BC
AB
1
1
B CD 1
3
3 4 12 5 5
12
10 8
5
-----------------------------------------14
分
18.解 :因为圆心在直线 y 设圆的方程为 ( x
2x 上,设圆心坐标为 (a, 2a)
1 分 2 分
a)2 ( y 2a)2 r 2
圆经过点 A(0, 1) 和直线 x y 1相切
a2 (2 a 1)2
r 2 r
所以有
0
1 1 2
8 分
解得 r
2 , a 1 或 a
1 5
12 分
所以圆的方程为
(x 1)2
( y 2)2
2 或 ( x 1)2 ( y 2 )2
2
14 分
5
5
19、 (1)函数 f ( x) 为 R 上的增函数．证明如下：
函数 f ( x) 的定义域为 R ，对任意
2
x1 , x2 ? R ， 且 x1 < x2，有 f ( x1 ) - f ( x2 ) = (a - x
1
2
2 1
) - (a - x ) + 1 2 2 + 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
x 2
2
2 = x
-
2
x
=
2(2x - 2x)
x
x
1
.
4 分
2 + 1
22 1 + 1 (2 2 + 1)(2 +1)
因为 y =
2 x 是 R 上的增函数， x1 < x2 ，所以 2 x1 - 2
＜０，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
所以 f ( x1 ) - f (x2 ) ＜０即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ，函数 f ( x) 为 R 上的增函数 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
(2) 存在实数 a＝ 1，使函数 f ( x) 为奇函数． 证明如下：
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
当 a＝1 时， f ( x) = 1-
2
x
＝
2 x - 1
x
.
2 + 1
2- x - 1
2 + 1
1 - 2x 2x - 1
＝－ 2x + 1 ＝－ f (x) ，即 f (x) 为奇函数．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分
对任意 x ? R ， f (- x) =
2- x
＝ 1 + 2x +1
20.（ 1）函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个零点，即方程
2(m 1)x2 4mx
2m 1 0 有两个不相等的实根，
16m2 8(m 1)(2m 1) 0
2(m1)
得 m
1且 m
1
0
当 m
1时，函数 f (x) 的图象与 x 轴有两个零点。
------------4 分
3从而3
（ 2） m
1时，则 f (x)
4x 由
4x
3 0 得 x
0
4
函数的零点不在原点的右侧，帮 m
1
----------------6
分
当 m 时，有两种情况：
1
①原点的两侧各有一个，则
16m2 8(m 1)(2m 1)
0
x1x2
2m 1
2(m0
1)
解得1
-------------10
1 m
2
分
② 都在原点的右侧，则
16m2 8(m 1)(2m 1) 0
x1 x2
4m
2(m
1) 0
解得 m
2mx 1x21
2( m
1) 0
综1 ①②可得 m
( 1,
) 2
-------14 分
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