论文 (16)

随着科学技术和社会的发展，人类在解决工农业生产、工程技术、科学研究和各种社会活动中的各种各样的实际问题时，有必要也有可能要考虑其中随机因素的影响。客观世界里大量存在由随机因素支配和影响的现象，而概率论就是研究随机现象的数量规律的学科。

近20年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在各种领域得到了广泛的应用，几乎成为所有的科学工作者工程师、法律工作者、医务人员、企业家以及彩票爱好者们手中的基本工具，这是一个不争的事实。事实上，现在人们不再问：“是这样吗?”而是问“这件事发生的概率有多大？”

我们也可以通过概率论来处理很多问题，下面就是一个非常典型的应用概率论在医疗方面处理问题的例子。

例1: 一项血液化验有95%的把握将患有某种疾病的患者诊断出来，但是，这项化验用于健康人也会有1%的“伪阳性”结果（也即，如果一个健康人接受这项化验，则化验结果误诊此人患有该疾病的概率为0.01）。如果该疾病的患者事实上仅占人口的0.5%,若某人化验结果为阳性，问此人确实患有该疾病的概率为多大？

解：以D表示“接受化验结果的这个人患该疾病”这一事件，E表示“其化验结果为阳性”这一事件，所求概率P(D/E)为： P(D/E)==

P(DE)P(E/D)P(D)= P(E/D)P(D)P(E/非D)P(非D)P(E)0.950.005950.323 =

0.950.0050.010.995294因此，在验血结果为阳性的人当中，真正患该疾病只有32%。对

于这一结果，许多学生感到非常吃惊（因为验血似乎是个好办法，他们总认为这个数值应该高得多），因此，有必要给出第二个解法。与前一个解法相比，第二个方法尽管不严密，但却更直观。

由于事实上患该疾病的人占的人口比例为0.5%，平均的算，接受化验的每200个人中应该有一个患者，而这项化验只能保证疾病的患者被诊断为患病的概率为患病的概率0.95，因此平均的说，每200个接受化验者能保证有0.95个被诊断出，并且此人真的患病。但丛另一个方面来说，其余199个健康人中这项化验会错误的诊断出1990.01个人患该病，因此每当诊断出0.95个病人时（平均的说）总有1990.01个健康人误诊为患病。于是，当化验结果确定某人患该病时，正确诊断所占的比例为:

0.95950.323

0.951990.01294公式（3.1）:P(B)P(Ai)P(B/Ai)就是著名的全概率公式。利用

i1它还可以导出贝叶斯公式:

由于P(AiB)P(B)P(Ai/B)P(Ai)P(B/Ai)， 故P(Ai/B)P(Ai)P(B/Ai)，

P(B)P(Ai)P(B/Ai)再利用全概率公式即得：P(Ai/B)P(Ai)P(B/Ai)i1。

这就是著名的贝叶斯公式，或者说逆概公式。

根据附加信息可加，还可对某事件的概率进行修正。下面的例子就是贝叶斯工作的一个小小的应用。

例：假设某药剂师考虑如下诊断方案：如果我有80%的可能确定

病人确实有此病，那么我会建议手术；而如果我并不确定，那么我会推荐做进一步的检查，该检查是昂贵的，也是痛苦的。现在，开始我仅仅有60%的把握认为琼斯患有此疾病，因此我推荐做了A项检查，该检查对于确有此病的患者给出阳性结果，而对于健康人却不会给出阳性结果。经检查琼斯的结果是阳性后，正当我建议手术时，琼斯给了我另一个信息，他患有糖尿病。这个信息带来麻烦。尽管它并不影响我一开始认为他患有此病的60%的把握，但是却影响了检查项目A的效果。因为虽然该检查项目对健康人给不出阳性，但是对于患有糖尿病却不患有此病的人来说，确有 30%的可能给出阳性结果。那么我现在该如何做呢？是做进一步检查，还是立即手术？

解：为了决定是否建议手术，医生首先要计算在检查项目A为阳性结果的情况下，琼斯患有此病的概率。令D表示“琼斯患此病”这一事件，E表示“项目A为阳性结果”这一事件，那么所求条件概率P(D/E)为： P(D/E)=

0.61P(DE)P(E/D)P(D)0.833 = =

10.60.30.4P(E/D)P(D)P(E/非D)P(非D)P(E)注意到我们以琼斯是否患有此病的概率为条件计算了项目A为阳性结果的概率，并且利用了如下事实：因为琼斯患有此糖尿病，已知其不患上述疾病的条件下项目A为 阳性结果的条件概率P(E/非D)等于0.3，因此，医生现在有80%的把握确定琼斯患有此病，所以应该建议手术。当然，这只是个比较简单的例子，但是如果那个医生缺乏基础的概率论知识，他就很可能非常为难，可见学习概率论是对我们解决实际问题很有好处的。