匀速圆周运动学案

匀速圆周运动 适用学科 适用区域 知识点 物理 安徽 线速度、角速度的物理意义 线速度、角速度、周期之间的关系 匀速圆周运动是变速运动 适用年级 课时时长（分钟） 高一 60 学习目标 1、了解物体做圆周运动的特征 2、理解线速度、角速度和周期的概念，知道它们是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量，会用它们的公式进行计算。 3、理解线速度、角速度、周期之间的关系：vr2r T学习重点 学习难点 线速度、角速度和周期的概念以及它们之间的联系。 匀速圆周运动是变速曲线运动的理解。 学习过程 一、复习预习

1、平抛运动定义：

2、平抛运动的特点和性质：

3、平抛运动的规律：① 水平方向上做匀速直线运动；

② 竖直方向上做自由落体运动。

（1）、平抛运动物体的位置

任意一点的位置坐标: 水平方向x = v0 t 竖直方向:y任意时间t内的位移大小:

1gt2 2122sxy(v0t)(gt)2222

位移方向:tanygt x2v0g2x 22 v0（2）、平抛运动的轨迹

平抛运动的轨迹是一条抛物线 y（3）、平抛运动的速度

个性化学案

平抛运动水平方向做匀速直线运动 Vx=V0 平抛运动竖直方向做竖直落体运动 Vy=gt 平抛运动物体的速度

速度的大小： vv02vy2v02

vygt速度方向:

(gt)2v022gh

二、知识讲解

tanv0v01、 线速度（比较物体在一段时间内通过的圆弧的长短）

定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度。 单位：m/s（s是弧长，非位移）。

物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.

教师提出问题：我们曾经用速度这个概念来描述物体作直线运动时的快慢， 线速度与描述直线运动的速度有何异同？ 给出以下思考方向： （1）线速度的瞬时性 （2）线速度的方向

（3）匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？ 问题的答案解释：

（1）当选取的时间Δt很小很小时（趋近零），弧长Δl就等于物体在t时刻的位移，定义式中的v，就是直线运动中学过的瞬时速度了。 （2）方向：在圆周各点的切线上 （3）“匀速圆周运动”中的“匀速”指的速度的大小不变，即速率不变；而“匀速直线运动”的“匀速”指的速度不变是大小方向都不变，二者并不相同。

［结论］匀速圆周运动是一种变速运动.是线速度大小不变方向时刻改变的运动。 2、角速度（比较物体转过一圈所用时间的多少） 经过对线速度的学习，让学生先试着归纳以下问题： （1）角速度的物理意义 （2）角速度的定义 （3）角速度的定义式

学生归纳后老师引导给出标准的定义：

（1）物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢.

（2）定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过∆Ө的角度跟所用时间Δt的比值，就是质点运动的角速度； （3）定义式：ω= ∆Ө/∆t 单位：弧度每秒(rad/s) 角速度的单位：（弧度制与角度制）

（让学生对弧度制和角度制之间的关系进行推导）

国际单位弧度制：圆心角∆Ө的大小可以用弧长和半径的比值来描述，这个比值是没有单位的，为了描述问题的方便，我们“给”这个比值一个单位，这就是弧度。弧度不是通常意义上的单位，计算时，不能将弧度带到算式中。

个性化学案

老师提出问题：有人说，匀速圆周运动是线速度不变的运动，也是角速度不变的运动，这两种说法正确吗？为什么？

答案：第一句话是错误的，因为线速度是矢量，匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，后一句话是正确的，因为角速度是标量，没有方向，因此角速度是不变的。 3、周期和转速

周期：物体沿圆周运动，它绕圆周运动一周的时间叫做它的周期T。

单位：秒s

转速：物体沿圆周运动，它在单位时间内绕圆周运动的圈数叫做它的转速n。

单位：r/s

周期与转速之间的关系：n=1/T

4、线速度、角速度、周期之间的关系

既然线速度、角速度、周期都是用来描述匀速圆周运动快慢的物理量，那么他们之间有什么样的关系呢？

（出示课本P28“讨论与交流”，学生自己思考。） （1）线速度与周期关系：由vs2r得v（做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通tT过的弧长为2r。）

指出：上式表明，只有当半径相同时，周期小的线速度大，当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。 （2）角速度与周期关系：由t得2（做匀速圆周运动的物体，在一个周期内转T过的角度为2。）

引导学生结合以上两点得出： （3）线速度与角速度关系：vr

引导学生讨论得出：

1）当v一定时，与r成反比 2）当一定时及v与r成正比 3）当r一定时，v与成正比 （4）考虑到转速则有：2n,v2nr

强调：式中各物理量单位的统一。 5、实际应用 1、地球上的物体随着地球一起饶地轴自转。地球上不同纬度的物体的线速度的大小一样吗？角速度呢？ 2、

常见传动从动装置a、皮带传动b、齿轮传动－线速度相等－线速度相等c、自行车c钢条上离圆心不同远近的质点－角速度相等 个性化学案

1.同轴多轮转动：除转轴外各点角速度相同

2.皮带传动：轮与皮带之间不打滑，轮边缘和皮带上各点线速度相等，同一轮上各点的角速度相等。

3.齿轮传动：接触点处线速度大小、方向都相同，轮缘上各点线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相等。

考点1：线速度的理解

1、物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢的物理量，线速度是物体做匀速圆周运动的瞬时速度。

2、定义：质点做圆周运动通过的弧长Δl和所用时间Δt的比值叫做线速度。 3、定义式：v =Δs/Δt。单位：m/s（s是弧长，不是位移） 4、瞬时性：当选取的时间Δt很小很小时（趋近零），弧长Δl就等于物体在t时刻的位移，定义式中的v，就是直线运动中学过的瞬时速度了。

5、方向：线速度的方向在圆周各点的切线方向上。 注意：“匀速圆周运动”中的“匀速”指的速度的大小不变，即速率不变；而“匀速直线运动”的“匀速”指的速度不变是大小方向都不变，二者并不相同。

结论：线速度是矢量，它既有大小，也有方向。

6、匀速圆周运动是一种非匀速运动，因为线速度的方向在时刻改变。

考点2：角速度的理解

1、物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢。

2、定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过Δθ的角度跟所用时间Δt的比值，就是质点运动的角速度。

3、大小ω=Δθ/Δt

4、单位：弧度每秒（rad／s）

考点3：线速度、角速度、周期频率关系

（1）线速度、角速度、周期频率关系

线速度与周期关系：由v=s/t得v=2πr/T 角速度与周期关系：由ω=θ/tω=2π/T

由上述得：线速度与角速度关系： v=rω考虑到转速则有： ω=2πn。V=2πnr （2）关于Ｖ＝ωr的讨论：

当ω一定时：V与r成正比 当V一定时： ω与r成反比 当r一定时： V与ω成正比

三、例题精析

【例题1】：如图所示的传动装置中，a、b两轮同轴转动．a、b、c三轮的半径大小的关

系是ra=rc=2rb．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比分别为多少？

个性化学案

【答案】：2∶2∶1、2∶1∶1

【解析】：由于皮带不打滑，因此，b、c两轮边缘线速度大小相等，设vb=vc=v．

由v=ωr得两轮角速度大小的关系 ωb∶ωc=rc∶rb=2∶1．

因a、b两轮同轴转动，角速度相等，即ωa=ωb，所以a、b、c三轮角速度之比 ωa∶ωb∶ωc=2∶2∶1． 因a轮边缘的线速度 va=ωara=2ωbrb=2vb，

所以a、b、c三轮边缘线速度之比 va∶vb∶vc=2∶1∶1．

【例题2】：物体做匀速圆周运动时，关于受力情况，以下说法中正确的是( )

A．必须受到恒力的作用 B．物体所受合力必须等于零 C．物体所受合力大小可能变化

D．物体所受合力大小不变，方向不断改变

【答案】：D

【解析】：当物体所受合力等于零时，物体将保持静止或匀速直线运动．当物体受到恒力

时，物体将做匀变速运动．物体做匀速圆周运动时，所受合外力大小不变，方向始终沿着半径方向(或垂直于速度方向)。

【例题3】：小球做匀速圆周运动，半径为R，向心加速度为a，则( )

A．小球的角速度ω＝

R aR aC．小球在时间t内通过的位移s＝aRt

aD．小球的转速n＝2π

RB．小球的运动周期T＝2π

【答案】：B

【解析】：由a＝ω2R得，小球的角速度ω＝

确；由a＝ωR＝(2πn)R得，n＝2

2

a2πR，A错；由T＝得，T＝2π，B正Rωaa1a，D错；因无法确定小球在t时刻所2＝

4πR2πR处的位置，故无法计算小球在时间t内通过的位移，C错．

个性化学案

四、课堂运用

【基础】

1、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( ) A．它们的方向都是沿半径指向地心

B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴 C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小

解析：如图所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝

22

R0cosφ，其向心加速度为a＝ωr＝ωR0cos φ.由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误． 答案：BD

2、关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )

v2

A．由a＝可知，a与r成反比

r2

B．由a＝ωr可知，a与r成正比 C．由v＝ωr可知，ω与r成反比 D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比

解析：选D.物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论． 答案：D

3、甲、乙两名溜冰运动员，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面对面各拉着弹簧秤的一端做圆周运动的溜冰表演，如图2－2－8所示．两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N．下列判断中正确的是( )

图2－2－8

A．两个的线速度相同，约为40 m/s B．两人的角速度相同，为6 rad/s C．两人的运动半径相同，都是0.45 m

D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m

解析：两名运动员绕同一点转动，所以角速度相等，他们做圆周运动的向心力是由弹簧弹力

22

提供的，所以向心力也相等，由F＝m甲ωr甲＝m乙ωr乙，又由r甲＋r乙＝0.9 m，联立得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m．把半径大小代回向心力公式可得ω＝0.6 rad/s. 答案：D

4、如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速

个性化学案

圆周运动，若男运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7 m/s，求：

（1）女运动员做圆周运动的角速度; （2）女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径.

解析：根据男运动员的转速为30 r/min可知，女运动员的转速也是30 r/min，换算成角速度为：30 r/min=0.5 r/s=π rad/s；在女运动员绕着男运动员做圆周运动的过程中，根据公式v=ωr，可以得到： r=

v4.7m/s=1.5 m.

rad/s答案：（1）π rad/s （2）1.5 m

5、半径为10 cm的转轮，每秒转5圈，则该转轮的周期T为___________，在转轮的边沿某点A的角速度为___________，线速度为___________. 解析：根据题意，转轮每秒钟转5圈，则转一圈需要的时间为转轮的角速度为：ω=

1 s=0.2 s；据公式可知，522=10π rad/s，也即转轮上某点A的角速度，A点的线速度T0.2的大小为：va=ωr=10π×0.1 m/s=π m/s=3.14 m/s. 答案：0.2 s 10π rad/s 3.14 m/s

【巩固】

1、静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是（ ） A.它们的运动周期都是相同的 B.它们的线速度都是相同的 C.它们的线速度大小都是相同的 D.它们的角速度是不同的

解析：如图所示，地球绕自转轴转动时，所有地球上各点的周期及角速度都是相同的.地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同.

个性化学案

答案：A

2、一台准确走时的钟表上的时针、分针和秒针上的角速度之比ω1∶ω2∶ω3=___________；如果三针长度分别为L1、L2、L3且L1∶L2∶L3=1∶1.5∶1.5，那么三针尖端的线速度之比 v1∶v2∶v3=___________.

解析：钟表上三针的转动情况是，时针转一圈用时12 h，即它的周期为T1＝12 h.分针转一圈用时1 h，即它的周期为T2=1 h.秒针转一圈用时1 min，即它的周期为T3==

1 h.因为ω602，所以ω1∶ω2∶ω3=1∶12∶720；又因为v=ωL，则ω1∶ω2∶ω3=1∶12∶720, Tv1∶v2∶v3=1∶18∶1 080. 答案：1∶12∶720 1∶18∶1 080

3、如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮的半径关系是ra=rc=2rb.若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比分别为___________和___________.

解析：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等. 即va=vb①

由v=ωr得ωc∶ωb=rb∶ra=1∶2②

B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相同，即ωb=ωc③ 由v=ωr得vb∶vc=rb∶rc=1∶2.④ 由②③得ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2. 由①④得va∶vb∶vc=1∶1∶2. 答案：1∶2∶2 1∶1∶2

4、如图所示为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别装在一个迅速转动的轴上，两盘平行.若圆盘以3 600 r/min的转速旋转，子弹沿垂直圆盘方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距1 m，两盘上被子弹穿过的半径夹角为15°，则子弹的速度大小为___________m/s.

个性化学案

解析：子弹两次穿过圆盘经过的时间t=1，2，3，„) 把φ=

L，在这段时间内圆盘转过的角度φ+2kπ=ωt(k=0，v1801440答案： (k=0，1，2，3，„)

124k×15代入计算得v=

1440 m/s，(k=0，1，2，3，„).

124k5、一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h.当雨伞以角速度ω旋转时，雨点自伞的边缘甩出，在地面上形成一圆圈，则此圆圈的半径为多少?

解析：由题意知，雨点在伞边缘的速度大小v=rω，雨点离开伞时,沿伞边缘的切线飞出，且飞出后做平抛运动.设其水平位移为s，则雨点落地圆半径R与伞半径r，以及s的关系如图所示，则由平抛运动知识可得雨点飞行时间：t=得：

2h，s=vt=rωg2h由图中关系，可g

2h21 R=rsrg222h21 答案：R=rg【拔高】

1、如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角.当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（ ）

A.600 r/min B.900 r/min C.1 200 r/min D.3 000 r/min 解析：风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T灯内，风扇

个性化学案

转过的角度是120°的整数倍，即

11圈的整数倍.T灯= s. 3301r3风扇的最小转速nmin==10 r/s=600 r/min 1s30故满足题意的可能转速n=knmin(k=1，2，3，„).匀速圆周运动是一种周期性的运动，分析此类问题，关键是抓住周期性这一特点，得出可能的多解通式. 答案：ACD

2、如图所示，当屏幕上出现一辆匀速奔跑的汽车时，观众如果注意车辆的辐条，往往会产生奇怪的感觉.设车轮上有八根对称分布的完全相同的辐条，电视画面每隔则下列说法正确的是（ ）

1 s更换一帧，30

1 s内，每根辐条恰好转过45°，则观众觉得车轮是不动的 301B.若在 s内，每根辐条恰好转过360°，则观众觉得车轮是不动的

301C.若在 s内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是倒转的

301D.若在 s内，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的

301解析：若 s内辐条正好转过45°角，则辐条转到与它相邻的那根辐条位置，因而这时

30A.若在

若更换一帧，则会使观众看到好像车轮不动一样，因为每根辐条相同，观众区分不开辐条的变化；同理，在

11 s内，若辐条转360°，观众也会认为车轮不动，因而A、B正确.若 303011 s内，辐条向前转过5°，所以观众会觉得车轮向前转动；若s内，3030s内，辐条转过365°，则每根辐条在下一帧时出现在它转动方向前5°的位置，因而这时观众会认为在这

辐条转过355°时，则每根辐条在下一帧时，出现在与它转动方向相反的离它原位置的5°处，因此，观众会觉得车轮在倒转，所以C错误，D正确，故选A、B、D.对于这类与生活相关联的题目，我们应该认真体会.另外，错觉方面的知识(即视觉就近原则)，是解决本题的关键.因而对于研究性题目，应开放式联想，充分应用各种知识和经验，从而解决问题. 答案：ABD

个性化学案

3、如图所示为一实验中利用光脉冲测量车速和行程的装置示意图，A为光源，B为光电接收器，A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮.车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验单位时间内显示的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是___________；车速度的表达式v＝___________；行程的表达式 s=___________.

解析：因为B在单位时间内接到的脉冲数为n，每个间隙转动的时间t=齿，则有P个间隙,周期T=Pt=

1，设一周有P个n2RnP2R,据v=，可得v=，所以要求车速必须测量出车

PnTN轮的半径R和齿轮数P.当脉冲总数为N时，则经过的时间t总=Nt=，所以行程s=vt总

n2RN=.本题是匀速圆周运动的规律在实际生活中的应用，根据脉冲信号的次数确定车轮

P的周期是解决问题的关键.根据要求的结论确定还要测定的其他物理量，实际上也是开放思维的体现，也是本题能力考查的方面. 答案：车轮的半径R和齿轮数P

2Rn2RN

PP4、如图所示，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕其中心轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO、bO夹角为φ，求子弹的速度为多大？

解析：由图可知子弹穿过纸圆筒的时间内，纸圆筒转过的角度θ=π-φ，则子弹穿过圆筒的时间t=

；由于子弹在这段时间内的位移大小等于圆筒的直径d，所以子弹的速度大小v=

dd. t答案：v=

d

 个性化学案

5、观察自行车的主要传动部件，了解自行车是怎样用链条传动来驱动后轮前进的，如图所示，其中右下图是链条传动的示意图，两个齿轮俗称“牙盘”.试分析并讨论：

(1)同一齿轮上各点的线速度、角速度是否相同?

(2)两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同?角速度是否相同?转速是否相同?

(3)两个齿轮的转速与齿轮的直径有什么关系?你能推导出两齿轮的转速n1、n2与齿轮的直径d1、d2的关系吗?

解析：（1）同一齿轮上各点绕同一轴转动，因而各点的角速度相同；但同一齿轮上各点，因到转轴的距离不相同，由v=ωr知，其线速度不同.

（2）自行车前进时，链条不会脱离齿轮打滑，因而两个齿轮边缘的线速度相同，角速度与半径成反比.角速度ω和转速n存在关系：ω=2πn，两齿轮角速度不同，转速当然也不同. （3）因两齿轮边缘线速度相同，而线速度和角速度的关系是：v=ωr,ω=2πn，故2πn1r1=2πn2r2，即n1d1=n2d2，转速与直径成反比.

答案：（1）角速度相同，线速度不同；（2）线速度相同，角速度与转速不同；（3）成反比

课程小结

1．匀速圆周运动是一种变速曲线运动。

2．描述匀速圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度、周期、转速等。

3．线速度、角速度、周期、转速之间的关系

2r2nrT22nTv

vr