平面向量复习(含练习)

知识清单

一、向量的有关概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法:

rrr⑴字母表示法:如a,b,c,L等.

uuuruuur⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.

uuur⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为

uuuruuurx,y,则x,y称为OA的坐标,记为OA=x,y.

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.

r3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量arrr与b相等,记为ab.

注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.

4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.

5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线

r上.规定:0与任一向量共线.

注:共线向量又称为平行向量.

7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义

①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.

其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.

刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2) OA+OB=OC 减法 uuuruuur则OAOB=(x1+x2,y1+y2) OBOA=AB uuuruuurOBOA=（x2-x1,y2-y1）  OA+AB=OB 实数与记a=(x,y) AB=λa 向量的λ∈R 乘积 则λa=(λx,λy) rrrrrrrr两个向ababcosa,b 记a(x1,y1),b(x2,y2) 量的数量积 则a·b=x1x2+y1y2 (二)运算律 rrrrrrrrrr加法：①abba(交换律); ②(ab)ca(bc)(结合律)

rrrrrrrrr(a)()a(ab)ab()aaa实数与向量的乘积：①; ②;③

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两个向量的数量积: ①a·b=b·a; ②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);③(a+b)·c=a·c+b·c

注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(a±b)2=a2abb (三)运算性质及重要结论

22uruur⑴平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一

rruruururuururuur向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2，称1e12e2为e1,e2的线性组合。

uruur①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底;

uruur②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和,并且这种分

解是唯一的.

ruruurruruur''这说明如果a1e12e2且a1e12e2,那么1122.

uruur③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本

定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件

符号语言：a//bab(b0)

rr坐标语言为：设非零向量ax1,y1,bx2,y2,则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，

x1x2即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当a与b同向时,λ>0；当a与by1y2异向时,λ<0。|λ|=

|a|,λ的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时，λ的符号与

|b|大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件

符号语言：abab0

rr坐标语言：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y20

⑷两个向量数量积的重要性质： ①a|a| 即 |a|222a(求线段的长度);

②abab0(垂直的判断);

rrab③cosrr (求角度)。

ab以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.

rrrr注:①两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcos(其中a,b),这个数的大小与

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两个向量的长度及其夹角的余弦有关.

rrr ②bcos叫做向量b在a方向上的投影（如图）.

rrrrr数量积的几何意义是数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影的积.

uuuur(x2x1,y2y1), ③如果P1(x1,y1),P2(x2,y2),则PP12=

uuuur(x2x1)2(y2y1)2,这就是平面内两点间的距离公式. ∴PP12课前预习

1．在

YuuuruuuruuurABCD中，BCCDBA

2.平面内三点A(0,3),B(3,3),C(x,1),若AB∥BC，则x的值为

3. 设a，b， c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： ①(a·b)c(c·a)b=0

 ②|a|-|b|<|ab|

③(b·c)a(c·a)b不与c垂直 ④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2- 4b|2中， 真命题是

4. △OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(a|a||b|bt∈R，则点P在 上 )，

rrrr5.已知ax,3,b2,4,ab,则实数x=_______.

rrrrrrrr6.已知ab2,8,ab6,4,则a_(-2,-6)____, b_(4,-2)_____,a与b的夹角的余弦值是_____.

uuuruuuruuuruuur7．在△OAB中,OA(2cos,2sin), OB(5cos,5sin),若OAOB5,则

SOAB= .；

8. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD坐标。

典型例题

一、平面向量的实际背景与基本概念

 B A uuur例1.如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与DA

C O F

的模相等的向量以及方向相同的向量。

D E 二、平面向量的线性运算

uuuruuur例2.如图，在平行四边形ABCD中，ABa ，ADb ， uuuruuurD C 你能用a，b表示向量 AC，DB吗？ A B

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uuuruuur变式1：如图，在五边形ABCDE中，ABa ，BCb ， D uuuruuuruuuuuurrCDc ，EAd ，试用a ，b ， c ， d表示向量CE和DE. E C

A B

变式2：已知OA=a，OB=b, OC=c,OD=d, 且四边形ABCD为平行四边形， 则a－b+c－d=

变式3：在四边形ABCD中，若ABCD，则此四边形是

变式4：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的 条件

uuurr1uuu2变式5：在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、

b不共线，则四边形ABCD为 uuuruuur例3．如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OAa + b，OBa + 2b， uuurOCa + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

b uuuruuuruuura

变式1：已知OAa + 2b，OB2a + 4b，OC3a + 6b

(其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线．

uuuruuur变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且OAa + b，OB(m2)a + 2b，uuurOC(n1)a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．

例4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求

uuuruuur证：EFHG

变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

D uuuruuuruuur求证：ABDC2EF. C E F

A B

三、平面向量的基本定理及坐标表示

例5.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ．3

变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为

变式2：已知a(1,2)，bx,1，当a+2b与2a－b共线时，x值为

变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与AB2AC方向相反的单位向量是

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变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？

例6.设点P是线段P，y1，x2，y2． 1P2上的一点，P1、P2的坐标分别为x1(1) 当点P是线段P 1P2上的中点时，求点P的坐标； (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求P的坐标

uuur1uuuur变式1：已知两点M3,2，N5,5，MPMN，则P点坐标是

2

uuur变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若OA＝a， uuuruuuruuurOB＝b，则OP＝ ，OQ＝ (用a、b表示)

b a O B Q P A

四、平面向量的数量积

例7.已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为60，求 (a + 2b)·(a3b) ．

rrrrrrrr变式1：已知a3,b4,aba2b23,那么a与b夹角为



变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b）·a =

变式3：在△ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，S△ABC=3，则AB·AC等于

变式4：设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

例8.已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + kb 与akb互相垂直？

变式1：已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与kab互相垂直，则k的值为

变式2：已知|a|＝1，|b| ＝2且（a－b）⊥a，则a与b夹角的大小为 ．

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例9.已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．

变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是

变式2：已知向量a(1,1)，b(2,3)，若ka2b与a垂直，则实数k= 变式3：若非零向量a,b互相垂直，则下列各式中一定成立的是

A．abab

B．|ab||ab|

（ ）

C．(ab)(ab)0 D．(ab)20 变式4：已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x）， c＝（2，y）且a∥b，ac．求|b－c|的值．

例10.已知A (1，2)，B (2，3)，C (2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明．

uuuruuuruuuruuur变式1：O是ABC所在的平面内的一点，且满足OBOCOCOA0，则

ABC 一定为

变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的

变式3：已知ABBCAB0，则△ABC一定是

变式4：四边形ABCD中，AB(6,1),BC(x,y),CD(2,3) （1）若BC//DA，试求x与y满足的关系式；

（2）满足（1）的同时又有ACBD，求x,y的值及四边形ABCD的面积。

2

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