第I卷（选择题）
一、选择题1．在A．
ABC中，A、B、C所对的边分别是
B．
C．
a、b、c，已知a2
b
2
c
2
2ab，则C
（）
23
D．
34
a,b,c.已知条件p:
ab，条件
24
2．ABC,角A,B,C对应边分别为aq：b，则p是q成立的
cosA
cosB
( )
A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件
3．已知等比数列
an中，a2a106a6，等差数列bn中，b4b6a6，则数列bn的前9项和为（
A．9 B．27 C．54 D．72 4．已知数列{an}的前项n和S2
n
n
2n，则数列{
1a}的前项n和为（
）
nan
1
A．
nn3(2n3)
B．
2n3(2n3)
C．
n13(2n1)
D．
2n1
5．设若的最小值 (
)
A. 2 B. C. 4 D. 8
x2y
506．设实数
x,y满足约束条件
xy4
0，则z
x
2
y2
的最小值为
（）
3x
y10
0
A.
10 B.
10 C.
8 D.5
7．对于曲线C：
x2
y2
4
k
k1
1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②“1<<4”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件；③“曲线C表示双曲线”是“
<1或>4”的必要不充分条件；
④“曲线C表示焦点在轴上的椭圆”是“1<<
52
”的充要条件
其中真命题的个数为（）A.0个 B.1
个 C.2
个 D.3个
2
8．已知点M(3,0)，椭圆
x
4
y
2
1与直线y
k(x
3)交于点A,B，则ABM的周长为( )
）
A．4 B9．设椭圆
．8 C．12 D．16
x
2
y
2
62
1和双曲线
）
x
2
3
y
2
1的公共焦点为
F1、F2，P是两曲线的一个公共点，则
cosF1PF2等于（
A．
14
B．
13
C．
19
2
D．
35
B为抛物线的焦点，
P在抛物线上且满足
( )
10．点
A是抛物线
x
4y的对称轴与准线的交点，点
PA
A．
2
mPB，当m取最大值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
1 B
．
212
2
2
C．
51 D
．
512
11．设点F1，F2是双曲线x的面积是（
）
y
3
1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3PF14PF2，则PF1F2
A．53 B．315 C．45 D．210
x
12．设F1、F2分别为椭圆C1:2
a
们在第一象限内交于点（
92）
2
y2b
2
1(ab
0)与双曲线C2:
xa
2
yb
2
2121
1(a10,b1
0)的公共焦点,它
M,F1MF2
90,若椭圆的离心率
3,则双曲线Ce=2的离心率
4
e1的取值为
A. B.
322
C.
32
D.
54
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知正实数a，
b满足ab4，则
1a1
b
13
的最小值为 .
14．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足条件b则
2
c
2
a
2
bc
1，cosBcosC
18
，
ABC的周长为
2，an
1
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1为 .
16．已知F1为椭圆5x
2
2Sn1，则数列{an}的通项公式
9y
2
45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，
A(1,1)为椭圆内一点，则
|PF1||PA|的最小值______________
三、解答题17．在
ABC中,角
A、
B、C所对的边分别为
a、b、c.已知a
2acosAcosB2bsinA.
2
（1）求C；
（2）若
ABC的面积为
1534
，周长为
15，求c.
18．在公差不为零的等差数列an中，a1
1，且a2，a5，a14成等比数列．
（Ⅰ）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）令b1na，试比较数列
bn的前n项和Sn与1的大小．
nan1
19．已知函数
f(x)
ax
2
(b8)xa
ab,f(x)
0的解集为（-3,2）,
（1）求f(x)的解析式; （2）
x1时,y
f(x)21
x1的最大值;
（3）若不等式ax
2
kxb
0的解集为A,且(1,4)A,求实数k的取值范围.[
20．已知抛物线C：y2
=2p（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△
OMN的面积。
21．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝22，记动点P的轨迹为W
．⑴求W的方程；
⑵若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求数量积
OAOB
的最小值．
222．已知椭圆C:
xy2a
2
b
2
1(ab0)的离心率为
22
，椭圆C和抛物线
y
2
x交于M,N两点，且
直线
MN恰好通过椭圆C的右焦点．
（1）求椭圆
C的标准方程；
（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A,B两点，点P在椭圆上，且OA
2BP，
其中
O为坐标原点，求直线l的斜率．
高二数学参考答案
1．D 【解析】
试题分析：由余弦定理得cosC
a
2
b
2
c
2
2ab34
，又因为
a
2
b
2
c
2
2ab，所以
cosC
2ab2ab
22
，又C(0,)，所以C
，故选D．
考点：余弦定理．2．A 【解析】试题分析：由充要条件
考点：充分条件与必要条件3．B 【解析】试题分析：∵数列
acosA
bcosB
可得
sinAcosA
sinBcosB
tanAtanBABa
b，所以p是q成立的
an是等比数列，a2a10
bn是等差数列，
(b1b9)9
2
＝
a6，又a2a10
2
6a6
a＝6a6，，解得a6
26
6．
b4b6
6．∵数列
∴数列
bn的前9项和S9
(b4b6)92
692
＝27．故选B．
考点：等差数列，等比数列的性质4．A 【解析】
试题分析：数列{an}的前项n和Sn
nn1
2
2n，当n1时，a1S13，当n2时，
{an}的通项公式
12n3
，则数
an
为an
SnSn1
2
n2n1anan
1
n1
2
2，当2n1n1时，也适合，故数列
2n1，则数列{1
}即{
12n12n3
}，
12n12n3
11
22n1
列{
anan
}的前项n和Tn
1
11111
23557
...
111123
12n3
n3(2n3)
2n12n3
，选A
考点：数列的通项公式，裂项求和法5．C
【解析】由题意知所以
，即
，所以
，
。
当且仅当6．B 【解析】
，即时，取等号，所以最小值为4，选C.
试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线
zx
2
y表示区域内的点到原点距离的平x
2
2
3xy10垂直时zy取得最小值，所以
2
zmax＝
(
|30
3
2
010|1
2
)
2
10，故选B.
考点：简单的线性规划问题7．B 【解析】试题分析：①当
.
1＜＜4且≠
52
时，曲线表示椭圆，所以①错误；
. .
②“1<<4”是“曲线C表示椭圆”的必要不充分条件，所以②错误③“曲线C表示双曲线”是“
<1或>4”的充要条件，所以③错误
k1
④若曲线C表示焦点在轴上的椭圆，则
0
0，解得1k1
k
44k
k
52
，所以④正确
考点：圆锥曲线的共同特征8．B 【解析】
试题分析：由椭圆方程可知点
a
2
4,b
2
1c
2
3,c3，点M为又交点，直线yk(x3)过左焦
3,0，由椭圆定义可知ABM的周长为4a8
考点：椭圆定义及方程性质9．B 【解析】试题分析：不妨设
P是双曲线右支与椭圆交点，
F1、F2分别是左右焦点，则在椭圆中，由定义知
PF1+PF2F1F2
26，在双曲线中
PF1-PF2
181623
23，联立解得1
，故选B．3
PF1=
6+
3，PF2=6
3，
4,由余弦定理得cosF1PF2
考点：1．双曲线的定义；2．椭圆的定义．
【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义及简单几何性质，椭圆的定义及简单几何性质，涉及三角形中的余弦定理，属于中档题．解决问题时首先根据椭圆与双曲线的定义写出
PF1+PF2
26和
PF1-PF2
值即可．10．A 【解析】试题分析：过
23，解出PF1=6+3，PF2=6
3，F1F2
4后，运用余弦定理求夹角的余弦
P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|，则
PNPA
11
，，设PA的倾斜角为α，则sinα=
mm
PA与抛物线相切，
2
2
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线
2
设直线PA的方程为y=-1，代入=4y，可得=4（-1），即-4+4=0，∴△=16-16=0，∴=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为∴双曲线的离心率为
2
PA-PB=2（
，2-1）
22
21
21
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质11．B 【解析】试题分析：设
PF1m,PF2
6,m
n，因为3PF1
8，在
4PF2，则3m
4n，即m
43m
n，根据双曲线的定义n
2
2
可知
mn2，解得n
158
PF1F2中，由余弦定理
12
cosF1PF2
12
(2c)
2
78
2mn158
，所
以sinF1PF2
，所以
PF1F2的面积为SmnsinF1PF268315，故选B．
考点：双曲线的几何性质的应用．
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中涉及到双曲线的定义，三角形的余弦定理，三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据题设条件和双曲线的定义，列出方程组，求解用余弦定理求解12．B 【解析】
PF1,PF2的值，再利
cosF1PF2是解答的关键，试题有一定的运算量，属于中档试题．
试题分析：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|-|MF2|=2a，
所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a-a1．因为
F1MF2
90，
2
所以|MF2
2
2
1|+|MF2|＝4c，即a
2
a
22c2
，即
112
1
e
e2，因为e＝
321
4
，所以e31
2
．
考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质13．
12
【解析】试
题
分
析
ab4a1b38
111a1
b
3
8
a1b3
11a1b
3
1b3a1122
182
a1
b
3
8
2,当且仅当
a1b3即a
3,b
1时取等号
考点：基本不等式14．
25
【解析】试题分析：在ABC中，b
2
c2
a2
bc
1
所以cosA
b
2
c
2
a
2
bc12bc
2bc
2
所以A
3所以B
C
23
cos(BC)
cosBcosC
sinBsinC
12
因为cosBcosC
18所以sinBsinC38
设
R为ABC外接圆半径
bc4R2
sinBsinC
4R2
381R
63
所以a2RsinA263
sin
3
2
所以b2
c
2
2
1
因为
bc1
：
所以b所以
c5
2
.
ABC的周长为
5
考点：正弦定理；余弦定理15．an【解析】试题分析：a1
2,53
n2
n,n
12
2，an2Sn
1
1
2Sn
1
1，a22S115,当n2时，an2Sn
1
1，相减可得：
3为公比的等比数
an
1
anan
2Sn53
2an，an2，an
2,53
3an．∴数列{an}从第二项起是以
5为首项，以
列，
n2
，n
当
n1时，不满足.
n
n2
12
,n
考点：等比数列的通项公式
【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题. 16．6【解析】
试题分析：由椭圆5x
2
2
9y
2
2
45的方程化为
x
2
y
2
95
1
，可得F（2，0），F（0），∴122，
|AF2|
(12)
2
(10)2．如图所示．
∵
|PF1
|PF1
PA6PA
PF2|2a
6
PA|）6|AF2|6
2．
，∴
PA
PF2|6（|PF2
2．当且仅当三点P，A，F2共线
时取等号．∴
|PF1|的最小值为6
考点：椭圆的简单性质．17．（1）【解析】
；（2）7．
3
试题分析：（1）首先利用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得
cosB的值，从而求得角
c的值．
B的大小；（2）首先结合（1）利用三角形面积公式求得
ab的
关系式，然后根据余弦定理求得试题解析：（1）由正弦定理可得
sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsinA
2
…2分
＝2sinA(cosAcosB－sinBsinA)＝2sinAcos(A＋B)＝－2sinAcosC． 1 2π所以cosC＝－，故C＝．
23（2）由△ABC的面积为由余弦定理得解得c＝7．
2
2
…6分
153 4
2
得ab＝15，…8分
a＋b＋ab＝c，又c＝15－(a＋b)，
…12分
2、三角面积公式；3、两角和的正弦公式．
（1）给出三角形的边与角的关系解
考点：1、正弦定理与余弦定理；
【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理解三角形，主要有两种题型：三角形，解答时主要采取的手段是是“边化角”与“角化边”件解三角形，解答时注意选择正弦定理与余弦定理．18．（I）an【解析】
试题分析：（I）设数列
；（2）在一个具体的三角形中给出相关的条
2n1；（II）Sn
1．
an的公差为d，得a1
1anan
1
4d1
2
a1
d1
a1
13d，解得d2，即可求得数
Sn
nn1
，即可
列
an的通项公式；（II）由bn得bn
1
22n12n1
，利用裂项求和得到
得到结论．
试题解析：（I）设数列又a1（
an的公差为d（d
0，
0），则a12，故an
得
4d
2
a1
d
a113d，
5分
1，
II
d
2
2d
由
d
bn12n1
0，
1anan
1
d
2n1．……………………………
）
bn
12
12n12n1
12n1
nn1
111
22n12n1
知
Sn
12
1
13nn1
131
151n1
12n1
1
………………11分
所以Sn
...1………………………………………………………
12分
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．19．（1）【解析】
试题分析：（1）由二次不等式的解集可得到与之对应的二次方程的根，由根与系数的关系可求得
a,b值，
f(x)3x
2
3x18（2）3（3）k
215
从而确定函数解析式；（2）将函数式变形式性质求解最值；（3）首先求解集合等式求解其取值范围
y
3x
2
3x3
，设t
x1
x1，转化为用t表示，借助于不等
A，由(1,4)A可得到两集合边界值的大小关系，从而解关于的不
a
试题解析：（1）由题可知
0
00
f(3)f(2)
ab
5
3
则f(x)3x
2
3x18；f(x)
21
（2）由（1）y
3x
2
x11则t
0,y
3(t
3x3x1
1t1)
3
令tx1,x
1t
当且仅当t则
取等号，此时t1,则x0
y最大值为3；
ax
2
（3）由题可知，不等式即kx即k
kxb0在x(1,4)上恒成立，
3x3x5x
2
5在x5x在x
(1,4)上恒成立(1,4)上恒成立，5x
5x
153
又3x则k
23x215，当且仅当3x,即x(1,4)时有最小值215
215
考点：三个二次关系及基本不等式求最值20．（1）y=4（2）2【解析】
试题分析：（1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y=2p（p＞0），解得p即可得出；（2）F（1，0）．设MN
2
2
2
x1,y1，
x2,y2．直线l的方程为：y=-1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，
利用弦长公式可得
MN．利
用点到直线的距离公式可得：原点
O到直线MN的距离d．利用△OMN的面积S
2
2
12
MNd即可得出
试题解析：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线∴抛物线C的方程为：y=4．
（2）F（1，0）．设M（1，y1），N（2，y2）．直线l的方程为：y=﹣1．联立
2
C：y=2p（p＞0），可得（﹣2）=2p×1，解得p=2．
yy
2
x14x
，化为﹣6+1=0，∴1+2=6，12=1．
2
∴|MN|===8．原点O到直线MN的距离d=
12
．∴△OMN
的面积S=
12
MNd=
12
8
12
=22．
考点：抛物线的简单性质21．⑴
x
2
y
2
22
1x2⑵2
【解析】
试题分析：（1）利用双曲线的定义，可求本不等式，可求试题解析：(1)由
W的方程；（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，结合基
OAOB的最小值
PMPN22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长ac
2
2，
半焦距
c
2，故徐半轴长b
a
2
x
2，从而W的方程为
2
2
y2
2
1x2
x轴时，
AB方程为
(2) 方法一：分两种情况进行讨论，设A,B的坐标分别为
x1,y1,x2,y2，当AB
x1y
x2,y1kx
22
y2，从而OAOB
x1x2
y得
y1y2
x
21
y
21
2，当AB不与轴垂直时，设直线
m，与W的方程联立，消去
2
(1－)―2m―m―2＝0，故x1又
2
x2
2km1k
2
，
x1x2
2
(m2)
2
1k
2
2
12
＞0，∴－1＞0，OAOB＝12＋y1y2＝(1＋)12＋m(1＋2)＋m
2
k1＝22＝2(1
k－1
2
)＞2 2
k－1
综上所述，OAOB的最小值为2．
考点：轨迹方程，考查双曲线的定义，考查向量知识的运用
22．（1）【解析】
x
2
y
2
84
1；（2）
62
c试题分析：（1）由
a
方程中解得（2）知直线知(x1,y1)
2
知，可设a2
x
2
2,cy
2
2,b2，其中0，把M(c,c)，代入椭圆
2，故椭圆方程为
84
1
my12
2，设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，由已y1
y2，由于A,B,P均在椭圆x
2
l的斜率不为零，故可设直线
2(x0
x2,y0
y2)，从而x0
l方程为x
12x1
x2,y02y
2
8
上，故有：x1
2
2y
21
8,x
22
2y
22
8,(
12
x1x2)
2
2(
12
y1
y2)
2
8，三式结合化简得
x1x22y1y2
2
my
2和椭圆方程联立并结合韦达定理，即可求得
m的值
，把直线
l方程为x
ca
试题解析：（1）由
22
知，可设a2,ccb
2
2,b12
22
2
2，其中
0
由已知M(c,从而a
c)，代入椭圆中得：
2,cy
2
ca
22
1即1，解得
2
22,b
x
2
2，1
2(x0
2
故椭圆方程为
84
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，由已知(x1,y1)从而x0
21
21
x2,y02y
2
y2)8上，故有：
12
x18,x
x2,y0
22
12
y1
12
y2，由于A,B,P均在椭圆xx1
x2)
2(x2
2
x2y2y14
22
8,(2(
12
y1y2)
2
8
8
第三个式子变形为：
2(x122y1)2
2y2)
(x1x2
（*）
2y1y2)
将第一，二个式子带入得：分析知直线
x1x2
2y1y2
2
l的斜率不为零，故可设直线
2
l方程为x
y2
2
2
my4m
2，与椭圆联立得：,y1y2
4m
2
(m
2
2)y4my4
0，由韦达定理y12)(my2
y2)2
68mm
2
2
m22
将（*）变形为：(my1即(m
2
2)0
2y1y2
2)y1y22m(y1
将韦达定理带入上式得：
2
0，解得m
62
.
2
23
因为直线的斜率
k
1m
，故直线
l的斜率为
考点：椭圆标准方程；直线与椭圆的位置关系
【名师点睛】利用待定系数法即可求得椭圆的标准方程；解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．三角形面积公式的选用也是解题关键
.
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