2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 7.1 复数的概念 教案 (2)

【新教材】7.1.1 数系的扩充和复数的概

念 教学设计（人教A版）

本节作为复数一章的开篇，主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数的相关概念、分类、相等条件，代数表示和几何意义.

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

课程目标

1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程． 2.理解复数的概念、表示法及相关概念． 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 数学学科素养

1.数学抽象：复数及相关概念； 2.逻辑推理：复数的分类； 3.数学运算：复数相等求参.

重点：复数的分类及复数相等的充要条件． 难点：复数的概念.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。

一、 情景导入

提问：1、N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

2．若给方程x210一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？实数a与i相乘、相加的结果应如何？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课

阅读课本68-69页，思考并完成以下问题

1、实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

2、复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究

1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 3．复数的分类

实数b＝0

z＝a＋bi(a，b∈R)非纯虚数a≠0

虚数b≠0

纯虚数a＝0

思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？

[提示]

四、典例分析、举一反三 题型一 复数的概念

例1下列命题中，正确命题的个数是 ( )

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；

④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根；

⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．

A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A

【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．

②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．

③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．

④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错． ⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．

⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A. 解题技巧（复数概念的理解）

(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．

(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．

(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． 跟踪训练一

1．下列命题正确的是________． ①复数－i＋1的虚部为－1.

②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2. ③任意两个复数都不能比较大小． 【答案】①．

【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误． 题型二 复数的分类

x2－x－6例2实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

x＋3

【答案】(1) x＝5时，z是实数．(2) x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

2x－2x－15＝0，

【解析】(1)当x满足即x＝5时，z是实数．

x＋3≠0，

2x－2x－15≠0，

(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．

x＋3≠0，

x2－x－6＝0，x＋3(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． x2－2x－15≠0，解题技巧： (复数分类的注意事项)

判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解． 跟踪训练二

1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．

2m＋2m＋1>0，m≠－1，

【解析】 (1)若z为实数，则2即 m＋3m＋2＝0，m＝－2或m＝－1，

解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．

2m＋2m＋1>0，m≠－1，

(2)若z是虚数，则2即

m＋3m＋2≠0，m≠－2且m≠－1，

解得m≠－2且m≠－1. ∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．

lgm2＋2m＋1＝0，m2＋2m＋1＝1，m＝0或m＝－2，

(3)若z为纯虚数，则2即2即

m＋3m＋2≠0，m＋3m＋2≠0，m≠－1且m≠－2.

解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数． 题型三 复数相等的充要条件

例3 根据下列条件，分别求实数x，y的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.

x＝2，x＝1，x＝－1，

【答案】 (1)或(2) 

y＝1y＝－1.

5

y＝4.

【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，

22x－y＝0，x＝1，x＝－1，

∴解得或 2xy＝2，y＝1y＝－1.

(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，

2x－1＝y，x＝，∴解得21＝－3－y，

5

y＝4.

解题技巧（复数相等问题的解题步骤）

复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解． 跟踪训练三

1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值． 【答案】1或2.

【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，

所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i. 由复数相等的充要条件得

22m－2m＝－1，m－2m＝0，或2 m2＋m－2＝0m＋m－2＝4，

解得m＝1或m＝2. 所以实数m的值是1或2. 五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.复数及其相关概念 例1 例2 例3 2.复数相等的充要条件 3.复数分类 七、作业

课本70页练习，73页习题7.1的1-3题.

本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.通过使学生体会数系的扩充是生产实践的需要，是数学学科自身发展的需要，从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类等.进而对本节课的知识掌握的更加牢固.