用解析法对蝴蝶定理再推广

定理：已知AB是垂直于圆锥曲线对称轴的任意一弦,O为AB上任意一点,过O作两弦CD、EF,连CF、DE分别交AB于点P、Q,则

1PO1QO1AO1BO

证明:仅对椭圆给出证明,以O为原点,直线AB为x轴建立直角坐标糸,如图1,设椭圆方程为

(xm)a22(yn)b221(ab0) CXE直线CD方程为：ykx,直线EF方程为 1yk2x,A(x,0),B(x,0),C(x1,y1),D(x2,y2), ABykx,消E(x3,y3),F(x4,y4).由b(xm)a(yn)ab1222222APFODQ图1BY去y得:(b2a2k12)x22(b2ma2k1n)xb2m2a2n2a2b20 222(bmak1n)222222x1x2222x1x2bmanabbak1 ① 22222222x1x22(bmak1n)xxbmanab12222bak1222222x3x4bmanab同理得 ② 22x3x42(bmak2n)设P(p,0),Q(q,0),则由C、P、F三点共线知

x1px4pk1xk2x1P(kk)xx12kx11kx21,

444同理由D、Q、E共线得: q(k1k2)x2x3k1x2k2x3

又

1PO1QO1p1q2pqpqx1x4(k1x2k1x3)x2x3(k1x1k2x4)(k1k2)x1x2x3x42

由①②得：

(bmak2n)x3x42x3x42(bmak1n)x1x22x1x2

化简整理得：anx1x4(k1x2k1x3)x2x3(k1x1k2x4)bmx2x3(x4x1)x1x4(x2x3)

2故

1PO1QO2bmxx(xx)xx(xx) 2an(kk)xxxx2341142312123422bm1111xx2x3x4 221an(k1k2)x1x2x3x4an(k1k2)x1x2x3x4bmbm22an(k1k2)bmanabab222an(k1k2)2222222ab2bmbmanabbn 222222222 ③

而 xAmbn,xBm1AO1BO1xA1xBxAxBxAxB1BO2mb2222222bmanab ④

由③④得：

1PO1QO1AO 证毕。在圆、双曲线、抛物线中类似可证。

注：当O为AB中点，圆锥曲线为圆时,此性质即为著名的蝴蝶定理。

参考文献:

（1） 周春荔.蝴蝶定理.数学通报.2004(1)

（2） 蒋祝权.蝴蝶定理的一个推广.中学数学2001(5)

（3） 陆逢波.圆的重要定理在椭圆上的推广.数学通讯2004(3)