学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. (笛卡尔爱心曲线)B. (蝴蝶曲线)
C. (费马螺线曲线)D. (科赫曲线)
2. 下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是( )A. (𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2C. 𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎−𝑏)2B. 𝑥2−2𝑥+5=𝑥(𝑥−2)+5D. 𝑥2+1=𝑥(𝑥+𝑥)13. 在平面直角坐标系内，将点𝐴(1,2)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后所得点的坐标是( )
A. (3,1)B. (3,3)C. (2,−1)D. (−1,3)
4. 若𝑎>𝑏，则下列不等式中，错误的是( )A. 3𝑎>3𝑏
B. −3<−3𝑎𝑏C. 4𝑎−3>4𝑏−3D. 𝑎𝑐2>𝑏𝑐25. 一元一次不等式组3−𝑥≥1的解集在数轴上表示正确的是( )A.
B.
{𝑥+5≥2
C. D.
6. 某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证
利润率不低于10%，则至多可以打折．( )
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A. 6折B. 7折C. 8折D. 9折
7. 如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在方格线的格点上，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝑃顺时
针方向旋转90°，得到△𝐴′𝐵′𝐶′，则点𝑃的坐标为( )
A. (0,4)B. (1,1)C. (1,2)D. (2,1)
8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=40°，将△𝐴𝐵𝐶绕着点𝐴顺时针
旋转后，得到△𝐴𝐵′𝐶′，点𝐶′在𝐵𝐶上，且𝐴𝐵′//𝐵𝐶，则∠𝐶的度数为( )
A. 80°B. 70°C. 60°D. 40°
19. 如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，分别以𝐴，𝐶为圆心，以大于2𝐴𝐶
的长为半径作弧，两弧相交于𝑀，𝑁两点，作直线𝑀𝑁分别交𝐴𝐷，𝐵𝐶于点𝐸，𝐹，连接𝐴𝐹，若𝐵𝐹=3，𝐴𝐸=5，以下结论错误的是( )
A. 𝐴𝐹=𝐶𝐹B. ∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐶C. 𝐴𝐵=4D. 𝐴𝐶=2𝐴𝐵
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10. 对于任意实数𝑝、𝑞，定义一种运算：𝑝@𝑞=𝑝+𝑞−𝑝𝑞，如：2@3=2+3−2×3，请根
2@𝑥>0
据以上定义解决问题：若关于𝑥的不等式组𝑥@3≤𝑚有2个整数解，则𝑚的取值范围为是( )
{A. 3≤𝑚<5B. 3<𝑚≤5C. 3≤𝑚≤5D. 3<𝑚<5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：2𝑎2−𝑎𝑏=______．
12. 若点𝐴(6−2𝑥,𝑥−5)在平面直角坐标系的第二象限内，则𝑥的取值范围是 ．13. 一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象如图所示，则不等式𝑘𝑥+𝑏<0的解集
为______．
14. 如图，∠𝐶=90°，将直角△𝐴𝐵𝐶沿着射线𝐵𝐶方向平
移5𝑐𝑚，得△𝐴′𝐵′𝐶′，若𝐵𝐶=3𝑐𝑚，𝐴𝐶=4𝑐𝑚，则阴影部分的周长为______．
点𝐸在∠𝐵𝑂𝐴的平分线上，𝐸𝐶⊥𝑂𝐵，垂足为𝐶，点𝐹15. 如图，
在𝑂𝐴上，若∠𝐴𝐹𝐸=30°，𝐸𝐶=2，则𝐸𝐹=______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(−3,0)，𝐵(0,4)，将𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑂顺着𝑥轴无滑动的滚
动.第一次滚动到①的位置，点𝐴的对应点记作点𝐴1；第二次滚动到②的位置，点𝐴1的对应点记作点𝐴2；第三次滚动到③的位置，点𝐴2的对应点记作点𝐴3；…；依次进行下去，发现点𝐴(
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−3,0)，𝐴1(0,3)，𝐴2(9,0)，…，则点𝐴2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
因式分解
(1)𝑚2−10𝑚+25；(2)𝑎3𝑏−𝑎𝑏．
18. (本小题8.0分)
(1)解不等式并写出最小整数解：5𝑥+15>𝑥−1；−3(𝑥−2)≥4−𝑥①
(2)解不等式组：1+4𝑥>𝑥−1②．
3{19. (本小题6.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，直线𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，若∠𝐴=40°，求∠𝐷𝐵𝐶的度数．
20. (本小题6.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐸、𝐹，求证：𝐷𝐸=𝐷𝐹．
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21. (本小题6.0分)
如图，已知直线𝑙1：𝑦1=𝑥+𝑏经过点𝐴(−5,0).交𝑦轴于点𝐵，直线𝑙2：𝑦2=−2𝑥−4与直线𝑙1：𝑦1=𝑥+𝑏交于点𝐶，交𝑦轴于点𝐷.求点𝐶的坐标并结合图象，直接写出𝑦1>𝑦2时𝑥的取值范围．
22. (本小题8.0分)
如图，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(1,1)，𝐵(4,2)，𝐶(3,4)．
(1)作出将△𝐴𝐵𝐶向左平移4个单位，向上平移1个单位后得到的图形△𝐴1𝐵1𝐶1；(2)作出△𝐴𝐵𝐶关于原点(0,0)成中心对称的图形△𝐴2𝐵2𝐶2；
(3)若将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转90°，则点𝐶的对应点𝐶3的坐标是______ (无需作图)；并计算出在旋转过程中，点𝐶运动到𝐶3的运动轨迹长度．
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23. (本小题10.0分)
为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4𝑆店准备购进𝐴型和𝐵型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
成本价(万元/辆)𝐴型𝐵型
1628
售价(万元/辆)
16.829.4
(1)为了保证该4𝑆店购进的𝐴型电动汽车不少于𝐵型电动汽车的3倍，则𝐴型车至少购买多少辆？(2)在(1)的条件下，若这20辆电动汽车全部售出，为使4𝑆店销售的利润最大，购进𝐴型电动汽车多少辆？最大利润是多少？
24. (本小题10.0分)
阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“𝑚2−𝑚𝑛+2𝑚−2𝑛”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为𝑚2−𝑚𝑛+2𝑚−2𝑛=(𝑚2−𝑚𝑛)+(2𝑚−2𝑛)=𝑚(𝑚−𝑛)+2(𝑚−𝑛)=(𝑚−𝑛)(𝑚+2).“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：𝑎3−3𝑎2−6𝑎+18；
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(2)已知𝑚+𝑛=5，𝑚−𝑛=1，求𝑚2−𝑛2+2𝑚−2𝑛的值；
(3)△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2+𝑎𝑏+𝑐2−𝑏𝑐=2𝑎𝑐，判断△𝐴𝐵𝐶的形状并说明理由．
25. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵：𝑦=𝑥+𝑏与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵，直线𝐵𝐶：𝑦=−𝑥+1与𝑥轴交于点𝐶，与𝑦轴交于点𝐵．(1)求𝑏的值和点𝐴坐标；
(2)将线段𝐴𝐵向右平移𝑚个单位(𝑚>0)得到线段𝐴′𝐵′，连接𝐴′𝐶，𝐵′𝐶，若△𝐴′𝐵′𝐶是等腰三角形，求𝑚的值；
(3)点𝑃为𝑦轴上一动点，连接𝐴𝑃，若∠𝑃𝐴𝐵=45°，直接写出点𝑃坐标．
1226. (本小题12.0分)
【提出问题】
如图1，等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点𝐷为𝐴𝐶上一点，将线段𝐵𝐷绕点𝐷逆时针旋转90°至𝐷𝐸，连接𝐴𝐸，𝐵𝐸，探究𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐴𝐸之间的数量关系．【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点𝐷作𝐴𝐶的垂线与𝐴𝐵相交于点𝐹(如图2)，通过证明△𝐷𝐴𝐸≌△𝐷𝐹𝐵，最终探究出𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐴𝐸之间的数量关系．(1)根据小明的思路，补全△𝐷𝐴𝐸≌△𝐷𝐹𝐵的证明过程；(2)直接写出𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐴𝐸之间的数量关系：______ ；【拓展思考】
(3)如图3，延长𝐸𝐴、𝐵𝐶相交于点𝑀，点𝑁是𝐵𝐸的中点，若𝑀，𝐷，𝑁三点共线时，求线段𝐴𝐷
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的长度．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：𝐷．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、𝑥2−2𝑥+5=𝑥(𝑥−2)+5，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；C、𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎−𝑏)2是因式分解，故本选项符合题意；
D、𝑥2+1=𝑥(𝑥+)，右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．故选：𝐶．
根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．
1𝑥3.【答案】𝐶
【解析】解：将点𝐴(1,2)先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得点的坐标是(1+1,2−3)，即(2,−1)，故选：𝐶．
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根据平移的法则即可得出平移后所得点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化中的平移，根据根据平移的法则解答是解题的关键．
4.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、在不等式𝑎>𝑏的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3𝑎>3𝑏，故本选项正确；B、在不等式𝑎>𝑏的两边同时除以−3，不等号方向改变，即−3<−，故本选项正确；C、在不等式𝑎>𝑏的两边同时先乘以4、再减去3，不等式仍成立，4𝑎−3>4𝑏−3，故本选项正确；D、当𝑐=0时，该不等式不成立，故本选项错误．故选：𝐷．
根据不等式的性质进行一一判断．
主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱，不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
𝑎𝑏35.【答案】𝐶
【解析】解：∵第一个不等式的解集为：𝑥≥−3；第二个不等式的解集为：𝑥≤2；∴不等式组的解集为：−3≤𝑥≤2．∴在数轴上表示不等式组的解集为：
∴𝐴、𝐵、𝐷选项不符合题意，𝐶选项符合题意；故选：𝐶．
先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式
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组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
6.【答案】𝐵
【解析】解：设打𝑥折，根据题意可得：1100×10−700≥700×10%，解得：𝑥≥7，故至多可以打7折．故选：𝐵．
直接利用打折是在原价的基础上降价，利润是进价的百分比，进而得出不等式求出答案．此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
𝑥7.【答案】𝐶
【解析】解：由图知，旋转中心𝑃的坐标为(1,2)，
故选：𝐶．
选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点𝑃．
本题主要考查坐标与图形的变化−旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
8.【答案】𝐵
【解析】解：由旋转的性质：𝐴𝐶=𝐴𝐶′，∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐵′，∠𝐵′=∠𝐵=40°，∵点𝐶′在𝐵𝐶上，∴∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐶，∴∠𝐵′𝐶′𝐶=2∠𝐶，
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∵𝐴𝐵′//𝐵𝐶，∠𝐵′=40°，∴∠𝐵′𝐶′𝐶=180°−40°=140°，即：2∠𝐶=140°，∴∠𝐶=70°，故选：𝐵．
首先根据旋转的性质确定∠𝐵′=∠𝐵=40°，∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐵′，以及∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐶，∠𝐵′𝐶′𝐶=2∠𝐶，再结合平行线的性质∠𝐵′𝐶′𝐶=140°，即可求出结论．
本题考查旋转的性质，平行线的性质等，熟练运用旋转的性质推出∠𝐵′=∠𝐵，∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐵′，以及∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐶，是解答本题的关键．
9.【答案】𝐷
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐴，根据作图过程可知：𝑀𝑁是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐹=𝐶𝐹，故A选项正确，不符合题意；∴∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐹𝐶𝐴，
∴∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐶，故B选项正确，不符合题意；
∵𝑀𝑁是𝐴𝐶的垂直平分线，∴∠𝐹𝑂𝐴=∠𝐸𝑂𝐶=90°，𝐴𝑂=𝐶𝑂，在△𝐶𝐹𝑂和△𝐴𝐸𝑂中，
{∠𝐹𝐶𝑂=∠𝐸𝐴𝑂𝐶𝑂=𝐴𝑂，∠𝐶𝑂𝐹=∠𝐴𝑂𝐸
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∴△𝐶𝐹𝑂≌△𝐴𝐸𝑂(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐴𝐸=𝐶𝐹，
∴𝐴𝐹=𝐶𝐹=𝐴𝐸=5，∵𝐵𝐹=3，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，根据勾股定理，得
𝐴𝐵= 𝐴𝐹2−𝐵𝐹2=4，故C选项正确，不符合题意；∵𝐵𝐶=𝐵𝐹+𝐹𝐶=3+5=8，
∴𝐵𝐶=2𝐴𝐵，故D选项错误，符合题意，故选：𝐷．
根据作图过程可得，𝑀𝑁是𝐴𝐶的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明△𝐶𝐹𝑂≌△𝐴𝐸𝑂，可得𝐴𝐹=𝐶𝐹=𝐴𝐸=5，再根据勾股定理可得𝐴𝐵的长，进而可以解决问题．
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
10.【答案】𝐴
2@𝑥>0
【解析】解：∵𝑥@3≤𝑚，2+𝑥−2𝑥>0①∴𝑥+3−3𝑥≤𝑚②，解不等式①得：𝑥<2，解不等式②得：𝑥≥−
𝑚−3，2𝑚−3≤𝑥<2，2{{∴不等式组的解集是：−
∵不等式组有2个整数解，∴−1<−
𝑚−3≤0，2解得：3≤𝑚<5．故选：𝐴．
先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于𝑚的不等式组，求出𝑚的范围即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于𝑚的不等式组是解此题的关键．
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11.【答案】𝑎(2𝑎−𝑏)
【解析】解：2𝑎2−𝑎𝑏=𝑎(2𝑎−𝑏)．故答案为：𝑎(2𝑎−𝑏)．
直接提取公因式𝑎，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】𝑥>5
【解析】解：∵点𝐴(6−2𝑥,𝑥−5)在第二象限，6−2𝑥<0∴𝑥−5>0，解得：𝑥>5．故答案为：𝑥>5．
根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于𝑥的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点．
{13.【答案】𝑥<1
【解析】解：∵𝑦=𝑘𝑥+𝑏，𝑘𝑥+𝑏<0 ∴𝑦<0，
由图象可知：𝑥<1 故答案为：𝑥<1
根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确理解一次函数与一元一次不等式的关系，本题属于基础题型．
14.【答案】16𝑐𝑚
【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2= 42+32=5(𝑐𝑚)，∵𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=5𝑐𝑚，
∴𝐶𝐵′=𝐵𝐵′−𝐵𝐶=5−3=2(𝑐𝑚)，
∴阴影部分的周长=𝐴𝐶+𝐶𝐵′+𝐴′𝐵′+𝐴𝐴′=4+2+5+5=16(𝑐𝑚)．
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故答案为：16𝑐𝑚．
利用勾股定理求出𝐴𝐵，再利用平移变换的性质，可得结论．
本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
15.【答案】4
【解析】解：如图，作𝐸𝐺⊥𝐴𝑂于点𝐺，∵点𝐸在∠𝐵𝑂𝐴的平分线上，𝐸𝐶⊥𝑂𝐵，𝐸𝐶=2，∴𝐸𝐺=𝐸𝐶=2，∵∠𝐴𝐹𝐸=30°，
∴𝐸𝐹=2𝐸𝐺=2×2=4，故答案为：4．
作𝐸𝐺⊥𝐴𝑂于点𝐺，根据角平分线的性质求得𝐸𝐺的长，然后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得𝐸𝐺的长，难度不大．
16.【答案】(8088,3)
【解析】解：∵𝐴(−3,0)，𝐵(0,4)，∴𝐴𝐵=5，
由题意得：三角形滚动3次为一个周期，向右移动12，∵2023÷3=674……1，
674×12+3=8088+3=8091，−3+8091=8088，
∴点𝐴2023的坐标为(8088,3)，故答案为：(8088,3)．
根据图形的变化，找到规律，再计算求解．
本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
17.【答案】解：(1)𝑚2−10𝑚+25=(𝑚−5)2；
(2)𝑎3𝑏−𝑎𝑏
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=𝑎𝑏(𝑎2−1) =𝑎𝑏(𝑎+1)(𝑎−1)．
【解析】(1)利用完全平方公式分解；(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)5𝑥+15>𝑥−1，
4𝑥>−16，𝑥>−4．
∴不等式的最小整数解为−3．(2)由不等式①得，−3𝑥+6≥4−𝑥，解得𝑥≤1，
由不等式②得，1+4𝑥>3𝑥−3，解得𝑥>−4，
∴不等式组的解集为−4<𝑥≤1．
【解析】(1)通过移项，合并同类项，系数化1求出不等式的解集，进而可得出最小整数解．(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，正确掌握一元一次不等式的解法解答此题的关键．
19.【答案】解：∵∠𝐴=40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=70°，∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，∴∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐴=40°，
∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐵𝐴=70°−40°=30°．
【解析】根据等腰三角形的性质可得∠𝐴𝐵𝐶的度数，根据线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐷=𝐵𝐷，进一步可得∠𝐷𝐵𝐴的度数，再根据∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐵𝐴求解即可．
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本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20.【答案】证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐶，
又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐹𝐷=90°，∵点𝐷为𝐵𝐶中点，∴𝐷𝐵=𝐷𝐶，
∠𝐵=∠𝐶
∴在△𝐷𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹中∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐹𝐷，
𝐷𝐵=𝐷𝐶∴△𝐷𝐵𝐸≌𝐷𝐶𝐹(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐷𝐸=𝐷𝐹．
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠𝐵=∠𝐶．根据等腰三角形的性质得出∠𝐵=∠𝐶，根据全等三角形的判定和性质得出𝐷𝐸=𝐷𝐹即可；
{21.【答案】解：把𝐴(−5,0)代入𝑦1=𝑥+𝑏，得−5+𝑏=0，
解得𝑏=5，
∴直线𝑙1：𝑦1=𝑥+5，
𝑦=𝑥+5𝑥=−3由𝑦=−2𝑥−4，解得𝑦=2，∴𝐶(−3,2)，
所以由图象知，𝑦1>𝑦2时𝑥的取值范围是𝑥>−3．
【解析】利用待定系数法求得直线𝑙1的解析式，然后利用两直线相交求得点𝐶的坐标，最后结合图形直接得到答案．
本题考查了两天直线相交问题，一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出直线与坐标轴的交点坐标是解答本题的关键．
{{22.【答案】(4,−1)
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【解析】解：(1)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求．
(2)如图，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求．(3)由题意可得，点𝐶3的坐标是(4,−1)．
故答案为：(4,−1)．
由勾股定理得，𝐴𝐶= 22+32=
13，∴在旋转过程中，点𝐶运动到𝐶3的运
90𝜋× 13 13=𝜋．动轨迹长度为
1802(1)根据平移的性质作图即可．(2)根据中心对称的性质作图即可．
(3)由旋转的性质可得答案；利用勾股定理求出𝐴𝐶的长，再根据弧长公式计算即可．
本题考查作图−平移变换、旋转变换、中心对称、勾股定理、弧长公式，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设该4𝑆店购进𝐴型电动汽车𝑥辆，则购进𝐵型电动汽车(20−𝑥)辆，
根据题意得：𝑥≥3(20−𝑥)，解得：𝑥≥15，∴𝑥的最小值为15．答：𝐴型车至少购买15辆；
(2)设这20辆电动汽车全部售出后4𝑆店获得的总利润为𝑦万元，根据题意得：𝑦=(16.8−16)𝑥+(29.4−28)(20−𝑥)，即𝑦=−0.6𝑥+28．∵𝑘=−0.6<0，∴𝑦随𝑥的增大而减小，又∵𝑥≥15，且𝑥为正整数，
∴当𝑥=15时，𝑦取得最大值，最大值=−0.6×15+28=19．
答：当购进𝐴型电动汽车15辆时，4𝑆店销售的利润最大，最大利润是19万元．
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【解析】(1)设该4𝑆店购进𝐴型电动汽车𝑥辆，则购进𝐵型电动汽车(20−𝑥)辆，根据该4𝑆店购进的𝐴型电动汽车不少于𝐵型电动汽车的3倍，可得出关于𝑥的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
(2)设这20辆电动汽车全部售出后4𝑆店获得的总利润为𝑦万元，利用总利润=每辆电动汽车的销售利润×销售数量，可得出𝑦关于𝑥的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)根据各数量之间的关系，找出𝑦关于𝑥的函数关系式．
24.【答案】解：(1)𝑎3−3𝑎2−6𝑎+18
=𝑎2(𝑎−3)−6(𝑎−3) =(𝑎−3)(𝑎2−6)；(2)𝑚2−𝑛2−2𝑛+2𝑚 =(𝑚2−𝑛2)−(2𝑛−2𝑚) =(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)−2(𝑛−𝑚) =(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)+2(𝑚−𝑛) =(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛+2)，∵𝑚+𝑛=5，𝑚−𝑛=1，∴原式=1×(5+2)=7；
(3)△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，理由如下：∵𝑎2+𝑎𝑏+𝑐2−𝑏𝑐=2𝑎𝑐，∴𝑎2−2𝑎𝑐+𝑐2+(𝑎𝑏−𝑏𝑐)=0，∴(𝑎−𝑐)2+𝑏(𝑎−𝑐)=0，∴(𝑎−𝑐)(𝑎−𝑐+𝑏)=0，
∵𝑎−𝑐+𝑏>0，∴𝑎−𝑐=0，即𝑎=𝑐，∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
【解析】(1)首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；(2)首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
(3)先将原式变形为𝑎2−2𝑎𝑐+𝑐2+(𝑎𝑏−𝑏𝑐)=0，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到(𝑎−𝑐)2+𝑏(𝑎−𝑐)=0，再提取一次公因式即可判断．
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此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解是解题关键．
25.【答案】解：(1)当𝑥=0时，𝑦=−𝑥+1=1，
∴点𝐵坐标为(0,1)，
∵直线𝐴𝐵：𝑦=𝑥+𝑏与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵，∴𝑏=1，
∴直线𝐴𝐵解析式为𝑦=𝑥+1，当𝑦=𝑥+1=0时，𝑥=−2，∴点𝐴坐标为(−2,0)；
(2)当𝑦=−𝑥+1=0时，𝑥=1，∴点𝐶坐标为(1,0)，
将线段𝐴𝐵向右平移𝑚个单位(𝑚>0)得到线段𝐴′𝐵′，则𝐴′坐标为(−2+𝑚,0)，点𝐵′坐标为(𝑚,1)，
∴𝐴′𝐵′2=(−2+𝑚−𝑚)2+(0−1)2=5，𝐴′𝐶2=(−2+𝑚−1)2=(𝑚−3)2，𝐵′𝐶2=(𝑚−1)2+(1−0)2，
△𝐴′𝐵′𝐶是等腰三角形，分情况讨论：①𝐴′𝐵′=𝐴′𝐶，可得(𝑚−3)2=5，
解得𝑚=3+ 5或𝑚=3− 5；②𝐴′𝐵′=𝐵′𝐶，
可得(𝑚−1)2+(1−0)2=5，解得𝑚=3(舍去)或𝑚=−1(舍去)，③𝐴′𝐶=𝐵′𝐶，
可得(𝑚−1)2+(1−0)2=(𝑚−3)2，解得𝑚=，综上所述，𝑚=3+ 5或𝑚=3− 5或；(3)分情况讨论：
①过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，且𝐵𝐷=𝐴𝐵，连接𝐴𝐷交𝑦轴于点𝑃，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝑦轴于点𝐻，如图所示：
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则△𝐴𝐵𝐷是等腰直角三角形，∴∠𝑃𝐴𝐵=45°，
∵点𝐴(−2,0)，点𝐵(0,1)，∴𝑂𝐴=2，𝑂𝐵=1，∵∠𝐷𝐻𝐵=90°，∴∠𝐻𝐷𝐵+∠𝐻𝐵𝐷=90°，∵∠𝐴𝐵𝐷=90°，∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐻𝐵𝐷=90°，∴∠𝐻𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝑂，在△𝐴𝐵𝑂和△𝐵𝐷𝐻中，
{∠𝐷𝐻𝐵=∠𝐴𝑂𝐵∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐻𝐷𝐵，𝐴𝐵=𝐷𝐵
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐵𝐷𝐻(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐵𝐻=𝐴𝑂=2，𝐷𝐻=𝑂𝐵=1，∴点𝐷坐标为(−1,3)，
设直线𝐴𝐷的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘,𝑏为常数，𝑘≠0)，代入点𝐴(−2,0)，点𝐷(−1,3)，
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−2𝑘+𝑏=0得−𝑘+𝑏=3，𝑘=3解得𝑏=6，
∴直线𝐴𝐷的解析式为𝑦=3𝑥+6，∴点𝑃坐标为(0,6)；
②过点𝐵作𝐵𝑀⊥𝐴𝐵，且𝐵𝑀=𝐴𝐵，连接𝐴𝑀交𝑦轴于点𝑃，过点𝑀作𝑀𝑁⊥𝑦轴于点𝑁，如图所示：
{{
则△𝐴𝐵𝑀是等腰直角三角形，∴∠𝑃𝐴𝐵=45°，∵∠𝐴𝐵𝑀=90°，∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝑁𝐵𝑀=90°，∵∠𝐵𝑁𝑀=90°，
∴∠𝑁𝐵𝑀+∠𝑁𝑀𝐵=90°，∴∠𝑁𝑀𝐵=∠𝐴𝐵𝑂，在△𝐴𝐵𝑂和△𝐵𝑀𝑁中，
{∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑁𝑀∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐵𝑀𝑁，𝐴𝐵=𝐵𝑀
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐵𝑀𝑁(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐵𝑁=𝐴𝑂=2，𝑁𝑀=𝑂𝐵=1，∴点𝑀坐标为(1,−1)，
设直线𝐴𝑀的解析式为𝑦=𝑎𝑥+𝑐(𝑎,𝑐为常数，𝑎≠0)，代入点𝐴(−2,0)，点𝑀(1,−1)，−2𝑎+𝑐=0得𝑎+𝑐=−1，
{第22页，共25页
𝑎=−13解得𝑐=−2，
3{∴直线𝐴𝑀的解析式为𝑦=−𝑥−，∴点𝑃坐标为(0,−)，
综上所述，满足条件的点𝑃坐标为(0,6)或(0,−).
【解析】(1)先求出点𝐵的坐标，即可确定𝑏的值，再令𝑦=𝑥+1=0时，即可确定点𝐴坐标；(2)根据平移的性质，可知点𝐴′和点𝐵′坐标，△𝐴′𝐵′𝐶是等腰三角形，分情况讨论：①𝐴′𝐵′=𝐴′𝐶，②𝐴′𝐵′=𝐵′𝐶，③𝐴′𝐶=𝐵′𝐶，分别列方程求解即可；
(3)分情况讨论：①过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，且𝐵𝐷=𝐴𝐵，连接𝐴𝐷交𝑦轴于点𝑃，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝑦轴于点𝐻，则△𝐴𝐵𝐷是等腰直角三角形，∠𝑃𝐴𝐵=45°，证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐵𝐷𝐻(𝐴𝐴𝑆)，根据全等三角形的性质进一步可得点𝐷坐标为(−1,3)，再利用待定系数法求直线𝐴𝐷的解析式，进一步可得点𝑃坐标；②过点𝐵作𝐵𝑀⊥𝐴𝐵，且𝐵𝑀=𝐴𝐵，连接𝐴𝑀交𝑦轴于点𝑃，过点𝑀作𝑀𝑁⊥𝑦轴于点𝑁，则△𝐴𝐵𝑀是等腰直角三角形，∠𝑃𝐴𝐵=45°，先证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐵𝑀𝑁(𝐴𝐴𝑆)，根据全等三角形的性质进一步可得点𝑀坐标，再利用待定系数法求直线𝐴𝑀的解析式，从而可得点𝑃坐标．
本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，本题综合性较强，计算量较大．
122323132326.【答案】𝐴𝐵−𝐴𝐸= 2𝐴𝐷
【解析】(1)证明：如图2中，过点𝐷作𝐴𝐶的垂线与𝐴𝐵相交于点𝐹．
∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，∠𝐶=90°，∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=45°，∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
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∴∠𝐴𝐷𝐹=90°，∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐹𝐴=45°，∴𝐷𝐴=𝐷𝐹，
∵∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐸𝐷𝐵=90°，∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹𝐷𝐵，在△𝐴𝐷𝐸和△𝐹𝐷𝐵中，
{𝐷𝐴=𝐷𝐹
∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐹𝐷𝐵，𝐷𝐸=𝐷𝐵
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐵(𝑆𝐴𝑆)，
(2)结论：𝐴𝐵−𝐴𝐸= 2𝐴𝐷．理由：∵△𝐴𝐷𝐹是等腰直角三角形，∴𝐴𝐹= 2𝐴𝐷，∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐵，∴𝐴𝐸=𝐹𝐵，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐹=𝐴𝐹= 2𝐴𝐷．故答案为：𝐴𝐵−𝐴𝐸= 2𝐴𝐷；
(3)如图3中，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻．
如图2中，由(1)可知△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐵(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐹𝐵=135°，如图3中，∵∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=45°，
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∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝑀=90°，∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐴𝐵𝑀=45°，∵𝐷𝐸=𝐷𝐵，𝐸𝑁=𝐵𝑁，∴𝐷𝑁⊥𝐵𝐸，
∵𝑀，𝐷，𝑁三点共线，∴𝑀𝑁垂直平分线段𝐸𝐵，∴𝑀𝐸=𝑀𝐵，∴∠𝐷𝑀𝐶=∠𝐷𝑀𝐻，∵𝐷𝐻⊥𝐴𝑀，𝐷𝐶⊥𝑀𝐶，∴𝐷𝐶=𝐷𝐻，
设𝐴𝐷=𝑚，则𝐴𝐻=𝐷𝐻=𝐷𝐶=∴𝑚+
2𝑚，22𝑚=2，2∴𝑚=2− 2，∴𝐴𝐷=2− 2．(1)如图2中，过点𝐷作𝐴𝐶的垂线与𝐴𝐵相交于点𝐹，根据𝑆𝐴𝑆证明三角形全等即可；(2)利用全等三角形的性质证明即可；
(3)过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻.证明𝐷𝐻=𝐷𝐶，设𝐴𝐷=𝑚，构建方程求解．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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