构造直角三角形解题

韩玉海

http://

在解某些数学问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，1、求线段长

［例1］在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，AB=2，CD=1。求解：延长AD、BC交于F，得Rt△ABF和Rt△CDF，且∠F=30°。

巧妙地将题目解出。下面举例说明。

BC和AD的长。

在Rt△ABF中，由AB=2，∠F=30° 得AF=2AB=4

BFAF2AB2422223

同理可得CF=2，DF=3

∴BC=BF－CF=232，AD=AF－DF=4－3。 2、求角的度数

［例2］如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D在AC的延长线上，

AB=6CD。求∠CBD。

解：作AE⊥BC于E，连DE，在Rt△ABE中

AB2AE，BE=AE，在Rt△AEC中，AC2CE 所以AE3CE。则AB=23CE6CE

而AB=6CD，故CE=CD ∠1=∠2=

1∠ACB=30° 2 又∠EAC=30°，所以DE=AE=BE

1 所以∠CBD=∠3=∠1=15°

2 3、证线段倍分 ［例3］如图，∠B=90°，∠1=∠2=60°，∠C=45°，求证：CD＋BD=AB。 证明：把△ABD绕AD翻转到△AB'D的位置，则B'D=BD，AB'=AB，∠B'=∠B=90o，∠2=∠3。

由∠1＋∠2＋∠3=180°，知C、D、B'三点共线，故△AB'C为等腰直角三角形，从而有：CD＋B'D=AB'，∴CD＋BD=AB。 4、证不等 ［例4］如图，在△ABC中，BC>AC，AD、BE为高， 求证：BC＋AD>AC＋BE。

证明：由题意，在BC上取一点A'，使A'C=AC，作A'D'⊥AC于D'，A'F⊥BE于F，则四边形EFA'D'为矩形，得A'D'=FE 又有Rt△A'D'C≌Rt△ADC，于是A'D'=AD ∴BA'=BC－A'C=BC－AC BF=BE－FE=BE－A'D'=BE－AD 在Rt△A'BF中，BA'>BF，即BC－AC>BE－AD ∴BC＋AD>AC＋BE. 5、解三角问题 ［例5］求cot22.5°的值。 解：构造如图所示的Rt△ABC，则

cot22.5°=

BC2121 AC1

6、解代数问题

［例6］若a>3，求证：a1a3aa2。 证明：作出如图所示的Rt△ABC，由BD＋AD>AB，得

a2(a1a3)a ∴a1a3aa2

7、求最值

［例7］若m、n、p为正实数，且m2n2p20，求：

p的最小值。 mn

解：构造如图所示的直角三角形，易知CD≤AE，即mn2p

p2 mn2p2故的最小值为

2mn∴

［例8］求x21(4x)24的最小值。

解：构造如图所示的Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、

PD在直线L上，则所求最小值转化为“在直线L上求一点P，使PA＋PB的值最小”，取A点关于L的对称点A'，则有：

原式=PA＋PB≥A'B32425 故x21(4x)24的最小值是5。