《勾股定理》拓展练习(含解
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16《勾股定理》拓展练习(含解析)
一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）
1．（4分）（1999?广西）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）
A．4
B． 5
C． 2
D．
2．（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（ ） A．直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 以上都不对
3．（4分）如图，过△ABC的顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（ ）
A．10 B． 14 C． 16 D． 24
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
4．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是 _________ °．
5．（5分）（1997?陕西）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 _________ °．
6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是 _________ cm．
2
7．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD等于 _________ ．
2
8．（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AEF= _________ cm．
2
9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB= _________ ．
10．（5分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，那么另一条直角边的长是 _________ ．
三、解答题（共4小题，满分53分）
11．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD+CD=2AD．
2
2
2
3
12．（13分）如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP=2PQ．
13．（14分）如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．
14．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF=BE+CF．
2
2
2
4
《第1章 勾股定理》2010年拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）
1．（4分）（1999?广西）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）
A．4
B． 5
C． 2
D．
考点： 解直角三角形． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可． 解答： 解：如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°．
在△CED中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边一半）， ∴BE=BC+CE=8，
在△AEB中，AE=2AB（30°锐角所对直角边等于斜边一半）
222222
∴AB+BE=AE，即AB+64=（2AB），3AB=64，
解得：AB=故选D．
．
点评： 本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行计算．
2．（4分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（ ） A．直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 以上都不对
考点： 三角形．
分析： 如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解． 解答： 解：如图：
（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形； （2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形． 所以三角形的形状不能确定． 故选D．
点评： 解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．
5
3．（4分）如图，过△ABC的顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于E、D两点，若AB=6，AC=8，则DE=（ ）
A．10 B． 14 C． 16 D． 24
考点： 勾股定理；平行四边形的性质．
分析： BE为∠ABC的角平分线，∠EBC=∠ABE，CD为∠ACB的角平分线，则∠ACD=∠DCB，因为BC∥DE，根据平行
线的性质，内错角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出DE的长度．
解答： 解：由分析得：∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；
根据平行线的性质得：∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED； 所以∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，则AD=AC，AB=AE； 所以DE=AD+AE=AB+AC=6+8=14；故选B．
点评： 本题考点：平行四边形的性质．两直线平行，则内错角相等．然后根据角度相等可得出△ADC和ABE为等
腰三角形．所以DE的长度等于AB和AC的和．
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
4．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是 75 °．
考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 专题： 计算题．
分析： 根据三角形内角和定理求出∠DCP=30°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD是
等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数．
解答：
解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；∵△PCD中，∠APC=60°， ∴∠DCP=30°，PC=2PD， ∵PC=2PB， ∴BP=PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°， ∵∠ABP=45°， ∴∠ABD=15°，
∵∠BAP=∠APC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°， ∴∠ABD=∠BAD=15°， ∴BD=AD，
∵∠DBP=45°﹣15°=30°，∠DCP=30°，
6
∴BD=DC，
∴△BDC是等腰三角形， ∵BD=AD， ∴AD=DC，
∵∠CDA=90°， ∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°， 故答案为：75．
点评： 此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识
点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．
5．（5分）（1997?陕西）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 135 °．
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 由已知可得AB=BC，从而可求得∠BAC的度数，再根据已知可求得AC：CD：DA=2：3：1，从而发现其符
合勾股定理的逆定理，即可得到∠ADC=90°，从而不难求得∠DAB的度数．
解答： 解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB：BC：AC=2：2：2=1：1：， ∴AC：CD：DA=2：3：1，
222
∵AC+AD=CD∴∠DAC=90°， ∴∠DAB=45°+90°=135°．
点评： 此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解及运用能力．
6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是 144 cm．
2
考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理．
分析： 连接AC，根据勾股定理可求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理得，△ADC也是直角三角形，分别求得
两个三角形的面积即可得到四边形ABCD的面积．
解答： 解：连接AC
∵AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90° ∴AC=10cm
∵CD=24cm，DA=26cm
222
∴AC+CD=AD∴∠ACD=90°
∴S△ABC=×6×8=24cm
2
7
S△ACD=×10×24=120cm
∴四边形ABCD的面积=24+120=144cm
2
2
点评： 此题主要考查学生对勾股定理逆定理及三角形面积的理解及运用能力．
7．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD等于 18 ．
2
考点： 勾股定理．
分析： 可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四
条线段的长度的数量关系，然后再代值计算．
解答： 解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；
由勾股定理得： 222222
PA=a+b，PC=c+d； 222222
PB=b+c，PD=a+d；
2222
因此：PA+PC=PB+PD，
22222
即：3+5=4+PD，解得，PD=18．
点评： 此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重
要．
8．（5分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则S△AEF=
cm．
2
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 由翻折的性质知D′F=DF，CE=AE，且CE=BC﹣BE，故由勾股定理求得BE的长，再证得△ABE≌△AD′F，
有AF=AD﹣FD，则S△AEF=AF?AB．
解答： 解：由题意知，D′F=DF，CE=AE，
222
在Rt△ABE中，AB+BE=AE，
8
AB+BE=（BC﹣BE），即3+BE=（4﹣BE）， 解得：BE=，
∵∠D′AF+∠EAF=∠EAF+∠BAE=90°， ∴∠D′AF=∠BAE
又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB ∴△D′AF≌△BAE ∴FD=D′F=BE= ∴AF=AD﹣FD=4﹣=∴S△AEF=AF?AB=×故本题答案为：
．
×3=
．
222222
点评： 本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理．
9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB= 13 ．
考点： 勾股定理．
分析： 过P做A1B1平行线，得到两个直角三角形，利用勾股定理解出AP和BP的长，再计算AP+PB． 解答： 解：方法一：如图：
∵AD=AA1﹣A1D=17﹣16=1； BC=B1B﹣B1C=20﹣16=4； 又∵∠A=∠B ∴tan∠A=tan∠B
∴∴CP=4DP ∴CP=∴AP=故AP+PB=
=13．
，DP=
．
，BP=
=
．
方法二：过p点作A1B1平行线，分别交AA1于D点，交BB1于F点，延长BP交AA1于c点，过C点作CG垂直于BB1于G点．
∵AA1，BB1分别垂直于A1B1∴AA1∥BB1又∵∠A=∠B， ∴∠A=∠ACP，
∴三角形ACP为等腰三角形，AP=CP ∴AP+BP=CP+PB=CB ∵FD∥A1B1，
∴FD垂直于AA1， ∴D为AC的中点
又∵PP1=16，AA1=17，BB1=20 ∴AD=DC=FG=1，BF=4
9
∴BG=BF+FG=4+1=5 ∴在直角三角形CGB中 CG=A1B1=12 BG=5 22222CB=CG+BG=12+5 ∴CB=13=AP+PB
点评： 考查了勾股定理和三角函数在直角三角形中的应用．
10．（5分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是3，那么另一条直角边的长是 4 ．
考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理，两边的平方和等于第三边的平方，设另一条直角边a，根据勾股定理可以得出斜边为
，根据边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合边长为整数，进而得出a的值．
解答： 解：设另一个直角边为a，
则根据勾股定理可以得出斜边为
由三角形的边长关系： 3+a＞，
∵边长为整数， ∴a=4，
即斜边为5．
即另一条直角边的长是4．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，属于比较简单的题目，需要熟练掌握．
三、解答题（共4小题，满分53分）
11．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD+CD=2AD．
2
2
2
，
考点： 勾股定理． 专题： 证明题．
分析： 作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者
22222222
之间的关系即可，由勾股定理可得出AD=AE+ED，AE=AB﹣BE=AC﹣CE，ED=BD﹣BE=CE﹣CD，代入求出三者之间的关系即可得证．
解答： 证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD﹣BE=CE﹣CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
10
∴BE=CE=BC，
由勾股定理可得： 222
AB+AC=BC， 22222
AE=AB﹣BE=AC﹣CE， 222
AD=AE+ED，
2222222222222
∴2AD=2AE+2ED=AB﹣BE+（BD﹣BE）+AC﹣CE+（CE﹣CD）=AB+AC+BD+CD﹣2BD×BE﹣2CD×CE =AB+AC+BD+CD﹣2×BC×BC
=BD+CD，
222
即：BD+CD=2AD．
点评： 本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出
BD、CD、AD三者之间的关系．
12．（13分）如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP=2PQ．
2
2
2
2
2
2
考点： 等边三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： （1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．
解答： 证明：（1）∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC=∠C=60°． ∵AB=AC，AE=CD， ∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA， ∴∠ABE=∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD=60°， ∴∠ABE+∠BAD=60°． ∴∠BPQ=60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°． ∴BP=2PQ．
点评： 此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力．
13．（14分）如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．
11
考点： 勾股定理的逆定理． 专题： 证明题．
分析： 由A作垂线交BC于H，设∠BAE=y，设BH=AH=CH=1，从而用正切函数表示出EH，HF，EF，BE，CF，再将
222
x=tany代入化简，根据勾股定理的逆定理可得到CF+BE=EF，从而可判定以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．
解答： 解：由A作垂线交BC于H．
设∠BAE=y，设BH=AH=CH=1．则
EH=tan（45﹣y）=HF=tany EF=EH+HF=BE=1﹣EH=CF=1﹣tany 令x=tany，则 EF=x+BE=
+tany
CF=1﹣x
CF+BE=（1﹣x）+（
2
2
2
）=（x+
2
）=EF．
22
故这三条线段可做成直角三角形．
点评： 此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的运用能力．
14．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF=BE+CF．
2
2
2
考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： 延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，由于DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE，可得出
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△EDF≌△GDF，所以EF=FG，同理证出BE=CG，所以要证明EF=BE+CF，只需证明FG=FC+CG即可．
解答： 证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
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∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点 ∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG ∴△BDE≌△CDG（SAS） ∴BE=CG，∠B=∠BCG ∴AB∥CG
∴∠GCA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90° 在Rt△FCG中，由勾股定理得： 222222222
FG=CF+CG=CF+BE∴EF=FG=BE+CF．
点评： 本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过
程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法．
13
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