第46练 多变量表达式范围-消元法

第46练 多变量表达式的范围——消元法

一、基础知识：

1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域 2、常见消元的方法：

（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：

① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）

② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例如选择t为主元，且有

xft,axb，则t除了满足自身的范围外，还要满足aftb（即解不等式）

（2）换元：常见的换元有两种：

①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可

yxyyx，通过换元转为一元表达式，常见的如,yx等，例如在u中，可变形为uyxyx1xy1t设t，则将问题转化为求u的值域问题

x1t1注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围 ②三角换元：已知条件为关于x,y的二次等式时，可联想到三角公式，从而将x,y的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有： 平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：x2y21xcos,0,2

ysinxacosx2y2推广：221,0,2

ybsinab平方差：联想到正割（

1sin） 与正切（tan）的平方差为1，则有coscos太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209

第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

1xseccos22xy1,0,2，

ytansincosaxasecx2y2cos1,0,2 推广：22abybtanbsincos注：若x,y有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若x,y的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围 3、消元后一元表达式的范围求法：

（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域 （2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（ab2ab等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值。 （3）三角函数：

① 形如asinbcos的形式：则可利用公式转化为Asin的形式解得值域（或最值）

② 形如fsin：则可通过换元tsin将其转化为传统函数进行求解 ③ 形如：

sina，可联想到此式为点cos,sin和定点a,b连线的斜率，其中

cosbcos,sin为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围

二、典型例题：

xy2a1例1：设实数a,x,y满足2，则xy的取值范围是__________ 22xya2a3思路：考虑xy可用xy,xy进行表示，进而得到关于a的函数，再利用不等式组中

22xy,x2y2天然成立的大小关系确定a的范围，再求出函数值域即可

解：xy11122xyx2y22a1a22a3=3a26a4 222太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209

第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

由xy2a1222xya2a3及xy2x2y2（*）可得：2a12a22a3，

22解得：222a2 22xy111321133a112,2 24242小炼有话说：（*）为均值不等式的变形：

xy2x2y2x2y22xy22 xy2xy222x2例2：已知函数fxe,gxlnx1，对任意的aR，存在b0,，使得22fagb，则ba的最小值为（ ）

1 C. 2ln2 D. 2ln2 2b1a思路：由已知fagb，可得：eln，考虑进行代入消元，但所给等式中无

222A. 2e1 B. e论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量

m作为桥梁，分别表示a,b，进而将ba变为关于m的表达式再求最值。

eamalnm解：令fagbm b11 mlnmb2e222ba2ehm2e'm12lnm，设hm2em12lnmm0

m121'1'可得h0且hm为增函数 m211m0,,h'm0 m,,h'm0

2211hm在0,单调递减，在,单调递增

221baminhmminh2ln2

2太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209

第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

答案：D

例3：设正实数x,y,z满足x3xy4yz0，则当最大值为 思路：首先要通过再求最值即可。

解：x3xy4yz0zx3xy4y ①

222222z取得最小值时，x2yz的xyz取得最小值，得到x,y,z之间的关系，然后将所求表达式进行消元，xyzx23xy4y2x4yx4y323 xyxyyxyx等号成立条件为：

2x4yx24y2x2y，代入到①可得： yxz2y32yy4y22y2

x2y,z2y2 x2yz2y2y2y22y22y2y122

2x2yz的最大值为2

例4：已知a0,b0,c0，且ab1,abc4，则abbcac的最大值为（ ） A. 122 B.

2223 C. 3 D. 4

222思路：所求表达式为1cab，考虑消元，由已知可得ab4c，从而

aba2b22ab6c2，达到消元效果，所求表达式为fc1c6c2，进而将问题转化为求函数的最值。先确定c的取值范围，由4cab2ab2可得

2c22，即0c2，所以fc1c26c21c239，所以当c22222时，fcmaxf2122 答案：A

小炼有话说：（1）本题处理的关键在于选择c作为核心变量，这是因为在条件中可得到

ab,a2b2，从而ab可用c表示，使得消元变得可能

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第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

（2）在处理fc1c2226c2的最值时，也许会想到均值不等式：

c26c2c6c3，但看一下等号成立条件：c26c2c3并不满足

2c0,2，故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得

最值。

例5：已知a,bR,2ab1，则2ab3的最大值为________

222acos22解：2ab1 设,0,2 2bsin2ab322cossin322cossin3

3cos3，其中tan12 22可知当cos1时，2ab3max3333

答案：33 例6：若实数x,y满足条件xy1，则

2212y的取值范围是_________ 2xxx2y21思路一：考虑所求式子中2可变为，所以原式变形为：2xxyyx2y22yyy，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为t21xxx2xxx2x,y与0,0连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即

t1,1，则ftt22t1t122,2

思路二：本题也可以考虑利用三角换元。设x21sin,ytan，从而原式转化为：coscos2cos22tancos1sin22sinsin12，由sin1,1可知sin12的范围为2,2

答案：2,2

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2第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

例7：已知函数fxlnxx2ax有两个极值点m,n，且m,1，则fmfn的取值范围是________

1212x2ax1解：fx2xa

xx'm,n为方程2x2ax10的两个根

11a1 mna2mn2m n22m2mmfmfnlnmm2amlnnn2anlnm2n2amn

nmm2222 lnmn2mnmnlnmn

nn1122代入 n可得：fmfnln2mm 22m4mmn设tm

211m,1 t,1

2422t1111设gtln2tt g't120 24tt4t4t1gt在,1单调递减

43311t,1 gtg1,gln2,ln2

4444即fmfnln233,ln2 44答案：ln233,ln2 4422例8：对于c0，当非零实数a,b满足4a2ab4bc0且使2ab最大时，

345的最小值是________ abc思路：首先要寻找当2ab最大时，a,b,c之间的关系，以便于求多元表达式的范围 从方程4a2ab4bc0入手，向2ab靠拢进行变形，在利用取得最大值时a,b,c太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209

22第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

的关系对所求

2345进行消元求最值。 abc2解：由4a2ab4bc0可得：

c4a22ab4b24a24abb23b26ab2ab3bb2a

2ab3b2ab2ab222232b2ab 222b2ab2ab 2b2ab24332ab5222ab2b2ab2ab2ab

224822522abc（等号成立条件：2b2ab3b2a 88c8c 最大值是，从而可得： 552ab3b2a3ab解得：2 8c8c22ab2abc10b2553453451211411222 abc3bb10b22b2b2b2b2b22345的最小值为2 abcaxbx例9：已知函数fxe，其中a,bR且a0

x答案：

（1）若a2,b1，求函数fx的极值

（2）已知gxax1efx，设gx为gx的导函数，若存在x1使得

x'bgxg'x0成立，求的取值范围

a解：（1）由已知可得：fx2x1x1e2ex xx1x1x11x2x2x1xfx2e2e22ee 2xxxxx'太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209

第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

令f'x0，即解不等式2x2x102x1x10 解得：x1或x1 2fx的单调区间为：

x ,1  1,0  10, 21, 2 f'x  fx 1fx的极大值为f1 fx的极小值为

e（2）由已知可得：gxax1eax1f4e 2bxe xb1g'xaxexa2ex

xxbb1gxg'x0ax1exaexaxexa2ex0

xxx即2ax2bb3a0 xx2a2x3x2b2x1

2bx2x32x33x2 a2x12x12x33x2设hx

2x16xhx'26x2x122x33x22x1'22x4x26x32x12

可得当x1,时，hx0恒成立

hx在1,单调递增

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第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

bhxh11，即1,

a例10：已知函数fxlnxaxb，其中a,bR （1）求fx的单调区间

（2）若a1,b0,2，且存在实数k，使得对任意实数x1,e，恒有

fxkxxlnx1成立，求kb的最大值

解：（1）f'x11ax axx'当a,0时，1ax0 f当a0,时，fx在0,（2）

x0 fx在0,单调递增



11,单调递增，单调递减

aa思路：恒成立的不等式为：lnxxbkxxlnx1，即kb1lnxlnx1，

xminx设gxfxlnxb1'，可得：gx，从而通过讨论fx的符号确lnx1xxx定gx的单调性，进而求出gx的最小值（含b的表达式），进而将kb放缩成单变量表达式，求出kb的最大值

解：恒成立的不等式为：lnxxbkxxlnx1

b1b1lnxlnxklnx1klnx1  xxxxminlnxb1 lnx1xx1lnx1b11lnxxb1lnxxbg'x

x2xx2x2x2设gx'即gxfxx2

由（1）可得：fx在1,e单调递减

fxmaxf1b1 fxminfeb1e

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第六章 第46练 多变量表达式的范围——消元法 不等式

① 若f1b10b0,1

则fxf10 g'x0即gx在1,e上单调递增

kgxming1b kb0

② 若feb1e0即e1b2

则fxfe0 g'x0即gx在1,e上单调递减

kgxmingekbb2 eb22212111b1b，而1b1e12e0 eeeeeeeef10x01,e,fx00 ③ 当b1,e1时，fe0gx在1,x0单调递减，在x0,e上单调递增 kgxmingx0fx0x0lnx011lnx0 x0x0fx0lnx0x0b0

kblnx011b2lnx0x0 x0x021211hx2lnxx h'x2110

xxxxhx单调递减 kbh10

综上所述：kb的最大值为0

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