2012年考研数学强化阶段考研攻略之高等数学题型(八)

万学海文

定积分在几何上的应用每年都要考察，包括平面图形的面积，旋转体的体积等等。这部分题的重点是掌握各种几何量求解的公式，也可记住定积分应用的本质工具微元法（元素法）．这部分在考研出题时往往和一些其它的概念联合出些综合题目，万学海文数学钻石卡考研辅导专家在此就为大家详细的讲解一下一元函数积分学的应用和多元函数微分法，希望同学们引起重视。 一、一元函数积分学 1平面图形的面积

（1）直角坐标系下面积的计算公式

X型区域：由直线xa ,xb ,yf(x),yg(x)所围成的图形 (见图6-1)

的面积为 Sbaf(x)g(x)dx,

Y型区域：由直线y ,y ,x(y),x(y)所围成的图形 (见图

6-2)的面积为 S(y)(y)dy.

y y=f(x) y  x(y) x(y)y=g(x) o x  b o 2 x a 1

（2）极坐标系下面积的求解公式由曲线rr1(),rr2()()所围成平面图形(见图3)的面积为

S12r22()r12()d. y rr2()

2旋转体体积的求解

（1）由连续曲线

yf(x)、直线xa、xbo 2 rr()1 与x轴围成的平面图形绕x轴

6-3 x 旋转一周而成的旋转体体积(如图4)为Vbaf(x)dx.

（2）由连续曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体体积为Vba2xf(x)dx.

下面通过两道例题将此知识点灵活运用

【例1】 曲线ysinx(0x)与x轴所围成的图形的面积为A，将曲线ysinx沿x轴正向移动k ,使其将A平分，求k.

【解析】由ysinx及ysin(xk)联立得两曲线交点的横坐标为x2k2

依题意得20k2sinxdx2kk2sin(xk)dx120sinxdx1

解得2sink21，解得k3

【例2】 设抛物线yax2bxc过原点,当0x1时,y0,又已知该抛物线与

x轴及直线x1所围图形的面积为

13,试确定a,b,c使此图形绕x轴旋转一周而

成的旋转体的体积V最小.

【解析】由题知曲线过点(0,0),得c0,即yax2bx.

如图所示,从xxdx的面积dSydx,所以

S1013122ydx(axbx)dxaxbx

023011 a3b2,

b21322a3由题知

a3,即b.

当yax2bx绕x轴旋转一周, 旋转体积

22a2x5abx4b2x3aabb222Vydx(axbx)dx)(002305235111,

a24(1a)2a(1a)b用a代入消去b,得V,

5273dVda275(4a1),

令其等于0得唯一驻点a小, 这时b3254,

dVda在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最

,故所求函数yax2bxc54x232x.

二、多元函数微分法

方法提示： 1．直接求偏导 2．复合函数求偏导

zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，则复合之后z是x,y的函数，则

zxfu(u,v)uxfv(u,v)vx，

zyfu(u,v)uyfv(u,v)vy．

3．隐函数求偏导 ① 一元隐函数

设F(x,y)0，且F(x,y)在(x0,y0)的邻域有定义，且F(x0,y0)0，若

FxdyFy(x0,y0)0，则存在yy(x)，且，其中Fx,Fy是二元函数F(x,y)对dxFyx,y的偏导数

② 二元隐函数

F(x,y,z)0，且F(x,y,z)在(x0,y0,z0)的邻域有定义，且F(x0,y0,z0)0，

FyFxz若Fz(x0,y0,z0)0，则存在zz(x,y)，且，其中Fx,Fy,Fz,xFzyFzz是三元函数F(x,y,z)对x,y,z的偏导数．

4．用全微分求偏导

利用一阶微分形式的不变性和全微分的运算法则及全微分与偏导的关系求偏导 例题解析：

【例】 z(xy)e22arctanyxarctanyx，求dz．

arctanyx【解析】 dzed(xy)(xy)d(e2222)

earctanyxarctany22x2xdx2ydy(xy)d(arctan)exy222xdx2ydy(xy)1yd()y2x1(x)yearctanyx2xdx2ydyx2xdyydxearctanxx2(2xy)dx(2yx)dy.............................................................

