附录.拉氏变换和z变换表

附录A 拉普拉斯变换及反变换

附表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 2 微分定理 齐次性 叠加性 一般形式 L[L[af(t)]aF(s) L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s) df(t)]sF(s)f(0)dtd2f(t)L[]s2F(s)sf(0)f（0） 2dtndnf(t)nLsF(s)snkfndtk1k1df(t)f(k1)(t)dtk1(k1)(0)初始条件为零时 3 积分定理 一般形式 L[f(t)dt]L[2dnf(t)L[]snF(s) ndtF(s)[f(t)dt]t0ss2F(s)[f(t)dt]t0[f(t)(dt)]t0 f(t)(dt)]2ss2s共n个L[F(s)n1f(t)(dt)n]nnk1[sk1s共n个共k个f(t)(dt)]nt0初始条件为零时 4 延迟定理（或称t域平移定理） 5 衰减定理（或称s域平移定理） 6 终值定理 F(s)L[f(t)(dt)n]n sL[f(tT)1(tT)]eTsF(s) L[f(t)eat]F(sa) limf(t)limsF(s) ts07 初值定理 8 卷积定理 tlimf(t)limsF(s) t0sL[f1(t)f2()d]L[f1(t)f2(t)d]F1(s)F2(s) 00t2．常用函数的拉氏变换和z变换表

附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

序号 拉氏变换E(s) 1 2 1 时间函数e(t) δ(t) Z变换E(s) 1 z z11 Ts1e1 sT(t)(tnT) n03 4 1(t) z z11 s21 3st t2 2Tz (z1)22 Tz(z1)5 2(z1)3 6 1sn1 tn n!(1)nnzlim() naTa0n!azez zeaT7 1saeat teat 8 1 2(sa)a s(sa)TzeaT aT2(ze)9 1eat (1eaT)z (z1)(zeaT)zz zeaTzebT10 ba (sa)(sb)eatebt 11 12 s22 sint zsinT z22zcosT1z(zcosT) z22zcosT1s 22scost 13 (sa)22eatsint zeaTsinT z22zeaTcosTe2aTz2zeaTcosT 2aT2aTz2zecosTez za14 15 sa 22(sa)eatcost t/T1 s(1/T)lnaa 3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式，即

B(s)bmsmbm1sm1b1sb0 （nm） F(s)nn1A(s)ansan1sa1sa0式中，系数a0,a1,...,an1,an和b0,b1,,bm1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理

可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

（1）A(s)0无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即

ncicncc1c2F(s)i （F-1）

ss1ss2ssissni1ssi式中，s1,s2,,sn是特征方程A(s)＝0的根；ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下列两式计算：cilim(ssi)F(s) （F-2）

ssi或

ciB(s) （F-3）

A(s)ssi式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为

ncinstce f(t)LF(s)L＝ (F-4) ii1ssii111i（2）A(s)0有重根：设A(s)0有r重根s1，F(s)可写为

FsB(s) r(ss1)(ssr1)(ssn)=

cicncrcr1c1cr1 rr1(ss1)(ss1)(ss1)ssr1ssissn式中，s1为F(s)的r重根，sr1，…，sn为F(s)的nr个单根；其中，cr1，…，cn仍按式(F-2)或式(F-3)计算，cr，cr1，…，c1则按下式计算：

crlim(ss1)rF(s)

ss1cr1limssid[(ss1)rF(s)] ds

crj1d(j)lim(j)(ss1)rF(s) (F-5) j!ss1ds

1d(r1) c1lim(r1)(ss1)rF(s)

(r1)!ss1ds原函数f(t)为 f(t)L1F(s)

crcicncr1c1cr1L1 rr1(ss)ssssss(ss1)1r1in(ss1)ncr1r2crstr1ttc2tc1eciest （F-6）

(r2)!ir1(r1)!1i