一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，2，3}，B＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ） A．{﹣2，﹣1}
2+𝑖
B．{﹣1，2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，3}
2．复数𝑧=𝑖，则在复平面内z对应的点的坐标是（ ） A．（1，﹣2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2）
D．（﹣1，2）
3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．
7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4311 4869 则选出来的第5个个体的编号为（ ） A．07
B．02
3
545C．11 D．04
4．已知角α的终边经过点𝑃(，−)，则cosα﹣sinα的值为（ ） A．
51
B．−
75C． 5
7
D．− 155．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3𝜋，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）
A．
16√33
B．
3
4
C． 3
8
D．
163
6．四位爸爸A、B、C、D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是（ ） A．
31
B．
2
1
C． 9
5
D． 3
2
7．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公
第1页（共19页）
园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．𝑦=|𝑥|√4−𝑥2 B．𝑦=𝑥√4−𝑥2 𝜋3C．𝑦=√−𝑥2+2|𝑥| D．𝑦=√−𝑥2+2𝑥 12
8．将函数f（x）＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝﹣1（x1≠x2），则|A． 3𝜋
𝑥1+𝑥22
|的最小值为（ ）
D． 6𝜋
B．
2𝜋3
C．
𝜋
12
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线l、m，平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A．若l∥m，则必有α∥β C．若l⊥β，则必有α⊥β
B．若l⊥m，则必有α⊥β D．若α∥β，则必有l∥β
10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格． 等级 成绩 人数 60 3 A组 65 2 70 3 75 5 B组 80 4 85 2 C组 90 1 下列结论正确的是（ ） A．这20人数学成绩的众数75 C．这20人数学成绩的平均数为75
B．A组8位同学数学成绩的方差为
754
D．这20人数学成绩的25%分位数为65
→
→
→
→
11．若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且𝐵𝐶=𝑎，𝐶𝐴=𝑏，则下列结论正确的是（ ）
1→→A．𝐴𝐷=−2𝑎−𝑏
→
1→
B．𝐵𝐸=𝑎+2𝑏
→
→
第2页（共19页）
C．𝐶𝐹=−𝑎+𝑏
→
1→21→2D．𝐸𝐹=𝑎
→
1→212．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，P，M，N分别是AB，CC1，DD1，AD，CD的中点，则（ ）
A．EF∥平面PMN
B．直线PM与EF所成的角是
3𝜋
C．点E到平面PMN的距离是
2√3 3
D．存在过点E，F且与平面PMN平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若𝑐𝑜𝑠𝛼=−，则cos2α＝ ．
𝑥3，𝑥≤0
14．已知函数𝑓(𝑥)={，则f（100）＝ ．
𝑙𝑔𝑥，𝑥＞0
15．若向量𝑎=(√3，3)，𝑏=(−2，0)，则𝑎在𝑏上的投影向量为 ．
𝑥𝑥2𝑥3𝑥3𝑥5𝑥7
16．英国数学家泰勒发现了如下公式：𝑒=1+1!+2!+3!+⋯，𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑥−3!+5!−7!+⋯，cosx＝
𝑥
→
→
→
→
351−
𝑥2𝑥4𝑥6
+−+⋯，其中n!＝1×2×3×⋯×n．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出ex、sinx2!4!6!和cosx的值也就越精确，则cos1的近似值为 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥在区间(3，1)内有 个零点．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数𝑓(𝑥−)为奇函数；②当𝑥=时，f（x）＝2；③的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑)(0＜𝜑＜2)，_____． （1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．
𝜋
𝜋
3𝜋62𝜋3
1
2
是函数f（x）
第3页（共19页）
18．（12分）在△ABC中，𝑐𝑜𝑠𝐵=，c＝8，b＝7． （1）求sinC；
（2）若角C为钝角，求△ABC的周长．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝CC1＝2．
（1）证明：直线CM⊥平面AA1B1B；
（2）求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小．
1
2
20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图． （1）求图中a的值；
（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）
第4页（共19页）
21．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC＝2，BE＝CE=√2． （1）若平面CDE∩平面ABE＝l，证明：AB∥l；
（2）若面EBC⊥面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的侧面积．
22．（12分）已知函数y＝φ（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是φ（a+x）+φ（a﹣x）＝2b．给定函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑥+1及其图象的对称中心为（﹣1，c）． （1）求c的值；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；
（3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围．
6
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2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，2，3}，B＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ） A．{﹣2，﹣1}
B．{﹣1，2}
C．{﹣2，﹣1，2}
D．{﹣2，﹣1，3}
解：由B＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，A＝{﹣2，﹣1，2，3}，所以A∩B＝{﹣1，2}， 故选：B．
2．复数𝑧=𝑖，则在复平面内z对应的点的坐标是（ ） A．（1，﹣2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2）
D．（﹣1，2）
2+𝑖
2+𝑖(2+𝑖)⋅(−𝑖)−2𝑖−𝑖2解：𝑧====1−2𝑖，故复平面内z对应的点的坐标为（1，﹣2）．
𝑖𝑖⋅(−𝑖)1故选：A．
3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．
7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4311 4869 则选出来的第5个个体的编号为（ ） A．07
B．02
C．11
D．04
解：由题意知：选取的6个个体编号依次为08，02，14，07，11，04， ∴选出来的第5个个体的编号为11． 故选：C．
4．已知角α的终边经过点𝑃(5，−5)，则cosα﹣sinα的值为（ ） A．
51
7
B．−5
35453
4
C． 5
7
D．−5 1
解：由题意可知：𝑐𝑜𝑠𝛼=，𝑠𝑖𝑛𝛼=−， 所以𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼=5+5=5， 故选：C．
5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各
第6页（共19页）
347
截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3𝜋，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）
A．
16√33
B．
3
4
C． 3
8
D．
√22+22+22
163
解：因为正方体的棱长为2，所以正方体外接球半径为𝑟=所以正方体外接球的体积为𝜋𝑟3=
34
43
3
2=√3，
𝜋×(√3)=4√3𝜋，
又因为这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3𝜋， 所以这个“牟合方盖”的体积为故选：D．
6．四位爸爸A、B、C、D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是（ ） A．
31
4√3𝜋16
×4=． 3√3𝜋3
B．
2
1
C． 9
5
D． 3
2
解：设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d， 则交谈组合有9种情况，分别为：
（Ab，Ba，Cd，Dc），（Ab，Bd，Ca，Dc），（Ab，Bc，Cd，Da），（Ac，Ba，Cd，Db），（Ac，Bd，Ca，Db），（Ac，Bd，Cd，Da），（Ad，Ba，Cb，Dc），（Ad，Bc，Ca，Db），（Ad，Bc，Cd，Da）， A的小孩与D交谈包含的不同组合有3种，分别为：（Ab，Bc，Cd，Da），（Ac，Bd，Cd，Da），（Ad，Bc，Cd，Da），
∴A的小孩与D交谈的概率是P=故选：A．
7．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
31
=． 93第7页（共19页）
A．𝑦=|𝑥|√4−𝑥2 B．𝑦=𝑥√4−𝑥2 C．𝑦=√−𝑥2+2|𝑥| D．𝑦=√−𝑥2+2𝑥 𝑥2+4−𝑥22
)=2（当且仅当x2＝4﹣x2，即𝑥=±√22解：对于A，∵𝑦=|𝑥|√4−𝑥2=√𝑥2(4−𝑥2)≤√(时取等号），
∴𝑦=|𝑥|√4−𝑥2在（﹣2，2）上的最大值为2，与图象不符，A错误； 对于B，当x∈（﹣2，0）时，𝑦=𝑥√4−𝑥2＜0，与图象不符，B错误； 对于C，∵𝑦=√−𝑥2+2|𝑥|=√−(|𝑥|−1)2+1，∴当x＝±1时，ymax＝1； 又𝑦=√−𝑥2+2|𝑥|过点（﹣2，0），（2，0），（0，0）；
由﹣x2+2|x|≥0得：|x|（|x|﹣2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即函数定义域为[﹣2，2]； 又√−(−𝑥)2+2|−𝑥|=√−𝑥2+2|𝑥|，
∴𝑦=√−𝑥2+2|𝑥|为定义在[﹣2，2]上的偶函数，图象关于y轴对称；
当x∈[0，2]时，𝑦=√−𝑥2+2𝑥=√−(𝑥−1)2+1，则函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减；
综上所述：𝑦=√−𝑥2+2|𝑥|与图象相符，C正确；
对于D，由﹣x2+2x≥0得：0≤x≤2，∴𝑦=√−𝑥2+2𝑥不存在x∈（﹣2，0）部分的图象，D错误． 故选：C．
8．将函数f（x）＝sin（x+3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y
2
𝜋
1
＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝﹣1（x1≠x2），则|A． 3𝜋
𝑥1+𝑥22
|的最小值为（ ）
D． 612𝜋
B．
2𝜋3
𝜋
3C．
𝜋
12
解：将函数f（x）＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍， 纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）＝sin（2x+3）的图象， 故g（x）的周期为π，且g（x）的最大值为1，最小值为﹣1， 若g（x1）•g（x2）＝﹣1（x1≠x2），
所以 g（x1）和 g（x2）是函数g（x）的最大值和最小值，
第8页（共19页）
𝜋
令2x+3=kπ，k∈Z，则x=2−6，k∈Z， 所以
|𝑥1+𝑥2|
2
𝜋𝑘𝜋𝜋
|＝|
𝑘𝜋22
−|，k∈Z，
6
𝜋
当k＝0时，故选：D．
|𝑥1+𝑥2|
|取得最小值为．
6
𝜋
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线l、m，平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A．若l∥m，则必有α∥β C．若l⊥β，则必有α⊥β
解：对于A，平面α，β可能相交，A错误， 对于B，平面α，β可能平行或斜交，B错误． 对于C，因为l⊂α且l⊥β，则必有α⊥β，C正确． 对于D，因为α∥β，则必有l∥β，D正确， 故选：CD．
10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格． 等级 成绩 人数 60 3 A组 65 2 70 3 75 5 B组 80 4 85 2 C组 90 1 B．若l⊥m，则必有α⊥β D．若α∥β，则必有l∥β
下列结论正确的是（ ） A．这20人数学成绩的众数75 C．这20人数学成绩的平均数为75
B．A组8位同学数学成绩的方差为
754
D．这20人数学成绩的25%分位数为65
解：对于A，∵20人中，75分出现的次数最多，∴这20人数学成绩的众数为75，A正确； 对于B，A组8位同学数学成绩的平均数为𝑥𝐴=
3
2
3
323
×60+×65+×70=65， 88875
2
∴方差𝑠𝐴=8×(60−65)2+8×(65−65)2+8×(70−65)2=4，B正确；
对于C，这20人数学成绩的平均数𝑥=20×60+20×65+20×70+20×75+20×80+20×85+
1295×90=，C错误； 204323542
第9页（共19页）
对于D，∵20×25%＝5，∴这20人数学成绩的25%分位数为故选：AB．
65+702
=67.5，D错误．
11．若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且𝐵𝐶=𝑎，𝐶𝐴=𝑏，则下列结论正确的是（ ）
A．𝐴𝐷=−2𝑎−𝑏
1→1→
C．𝐶𝐹=−2𝑎+2𝑏
→→
→
→
→→
1→
→
B．𝐵𝐸=𝑎+2𝑏 D．𝐸𝐹=2𝑎
→
→
→
→
1→
1→
解：∵𝐵𝐶=𝑎，𝐶𝐴=𝑏，
→1→1→
∴𝐴𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷=−𝐶𝐴+𝐶𝐵=−𝑏−𝑎，故选项A正确，
22→
→
→
→
→
→
→
𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐴=𝑎+𝑏，故选项B正确，
→1→1→→1→1→
𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐶𝐵=−𝑏−𝑎，𝐶𝐹=𝐶𝐴+𝐴𝐹=𝐶𝐴+𝐴𝐵=𝑏+(−𝑏−𝑎)=−𝑎+𝑏，故选项C正确，
2222→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→→→
1
2→
→
1→21→1→
𝐸𝐹=2𝐶𝐵=−2𝑎，故选项D错误．
→
故选：ABC．
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，P，M，N分别是AB，CC1，DD1，AD，CD的中点，则（ ）
A．EF∥平面PMN
B．直线PM与EF所成的角是
3𝜋
C．点E到平面PMN的距离是
2√3 3
D．存在过点E，F且与平面PMN平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 解：对于A，取BC中点G，连接EG，FG，AC，BC1，AD1，
第10页（共19页）
∵F，G，P，M分别为CC1，BC，DD1，AD中点，∴FG∥BC1，PM∥AD1， 又AD1∥BC1，∴PM∥FG，
∵PM⊂平面PMN，FG⊄平面PMN，∴FG∥平面PMN；
∵E，G，M，N分别为AB，BC，AD，CD中点，∴EG∥AC，MN∥AC，∴EG∥MN， ∵MN⊂平面PMN，EG⊄平面PMN，∴EG∥平面PMN； ∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PMN， ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PMN，A正确； 对于B，取BC中点G，连接EG，FG，CE，
由A知：FG∥PM，
∴直线PM与EF所成的角即为直线FG与EF所成角，即∠EFG（或其补角）， ∵𝐸𝐺=𝐹𝐺=√12+12=√2，𝐸𝐹=√𝐶𝐸2+𝐶𝐹2=√12+22+12=√6，
√3𝐸𝐹2+𝐹𝐺−𝐸𝐺6+2−2𝜋∴𝑐𝑜𝑠∠𝐸𝐹𝐺===，∴∠𝐸𝐹𝐺=，
2𝐸𝐹⋅𝐹𝐺262√6×√2𝜋
22
即直线PM与EF所成的角为，B错误；
6
对于C，连接PE，ME，NE，
∵𝑆△𝐸𝑀𝑁=2𝑆▱𝐴𝐸𝑁𝐷=2×2×1=1，PD＝1，∴𝑉𝑃−𝐸𝑀𝑁=3𝑆△𝐸𝑀𝑁⋅𝑃𝐷=3； ∵𝑀𝑃=𝑀𝑁=𝑁𝑃=√12+12=√2，∴𝑆△𝑃𝑀𝑁=设点E到平面PMN的距离为d， 则𝑉𝐸−𝑃𝑀𝑁=𝑉𝑃−𝐸𝑀𝑁=𝑆△𝑃𝑀𝑁⋅𝑑=
13√31111
1𝜋√3×√2×√2𝑠𝑖𝑛=， 2326𝑑=，解得：𝑑=
132√3，C正确； 3对于D，取BC中点G，由A知：平面EFG∥平面PMN，则平面EFG即为平面α， 可作出截面如下图阴影部分所示，其中点H，Q，S分别为AA1，A1D1，C1D1中点，
第11页（共19页）
∵𝐸𝐻=𝐸𝐺=𝐹𝐺=𝐹𝑆=𝑄𝑆=𝑄𝐻=√2，𝐸𝐹=√6，
∴六边形EGFSQH是边长为√2的正六边形，又∠𝐸𝐺𝐹=𝜋−2∠𝐸𝐹𝐺=3， ∴六边形EGFSQH的面积𝑆=2𝑆△𝐸𝐹𝐺+𝑆▱𝐸𝐻𝐹𝑆=√2×√2𝑠𝑖𝑛即平面α截该正方体得到的截面面积为3√3，D正确． 故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若𝑐𝑜𝑠𝛼=−，则cos2α＝ −
3357
． 253
7
2𝜋
+√2×√6=3√3， 32𝜋
解：∵𝑐𝑜𝑠𝛼=−5，∴cos2α=2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1=2×(−5)2−1=−25． 故答案为：−25．
𝑥3，𝑥≤0
14．已知函数𝑓(𝑥)={，则f（100）＝ 2 ．
𝑙𝑔𝑥，𝑥＞0解：∵100＞0，∴f（100）＝lg100＝2lg10＝2． 故答案为：2．
15．若向量𝑎=(√3，3)，𝑏=(−2，0)，则𝑎在𝑏上的投影向量为 (√3，0) ． 解：因为𝑎=(√3，3)，𝑏=(−2，0)， 所以𝑎⋅𝑏=−2√3，|𝑏|2=4 故所求向量为：|𝑎|𝑐𝑜𝑠〈𝑎，𝑏〉故答案为：(√3，0)．
𝑥𝑥2𝑥3𝑥3𝑥5𝑥7
16．英国数学家泰勒发现了如下公式：𝑒=1+1!+2!+3!+⋯，𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑥−3!+5!−7!+⋯，cosx＝
𝑥
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
7
→
|𝑏|
→𝑏
=|𝑎|⋅
→
→→→→𝑎⋅𝑏
→
|𝑎||𝑏||𝑏|
⋅
→𝑏
→→
=
𝑎⋅𝑏
→
2⋅𝑏=
→
|𝑏|
−2√3(−2，0)=(√3，0)． 41−
𝑥2𝑥4𝑥6
+−+⋯，其中n!＝1×2×3×⋯×n．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出ex、sinx2!4!6!和cosx的值也就越精确，则cos1的近似值为 0.54 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数
第12页（共19页）
𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−在区间(，1)内有 0 个零点．
解：cos1≈1−2!+4!−6!=1−2+24−720=24−720≈0.54， 由于函数𝑦=𝑒𝑥，𝑦=−在(，1)单调递增， 所以𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥在(3，1)单调递增， 由于f（）=𝑒3，
32
2
1𝑥23111111131
1𝑥2312
所以𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−＞0在(，1)恒成立， 故𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−在区间(，1)内无零点． 故答案为：0.54；0．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数𝑓(𝑥−3)为奇函数；②当𝑥=6时，f（x）＝2；③的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜑)(0＜𝜑＜2)，_____． （1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间． 解：（1）若选①因为f（x）＝2sin（x+φ），
所以𝑓(𝑥−3)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥−3+𝜑)，又函数𝑓(𝑥−3)为奇函数， 则−3+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，结合0＜𝜑＜2，则有𝜑=3， 所以𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+)． 若选②𝑓()=2𝑠𝑖𝑛(+𝜑)=2， ∴𝑠𝑖𝑛(+𝜑)=1，则+𝜑=2𝑘𝜋+
6
𝜋
6𝜋
𝜋2
𝜋6𝜋6𝜋3𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋3
1𝑥231𝑥23是函数f（x）
，𝑘∈𝑍，
则𝜑=2𝑘𝜋+3，𝑘∈𝑍， 又0＜𝜑＜2， 则k＝0时，𝜑=3； 所以𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+3)．
𝜋𝜋
𝜋
𝜋
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若选③𝑓(∴
2𝜋3
2𝜋2𝜋
)=2𝑠𝑖𝑛(+𝜑)=0， 33+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
2𝜋
+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍， 3𝜋2𝜋3∴𝜑=−
又0＜𝜑＜，则k＝1时，𝜑=， 所以𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+3)． （2）令−+2𝑘𝜋≤𝑥+
5𝜋
𝜋
𝜋2𝜋𝜋
≤+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍， 32𝜋
得−6+2𝑘𝜋≤𝑥≤6+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
所以𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+3)的单调递增区间为[−6+2𝑘𝜋，6+2𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍， 又x∈[0，2π]时，令k＝0，得0≤𝑥≤6，令k＝1，得≤𝑥≤2𝜋，
6所以函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为[0，]和[18．（12分）在△ABC中，𝑐𝑜𝑠𝐵=，c＝8，b＝7． （1）求sinC；
（2）若角C为钝角，求△ABC的周长． 解：（1）∵B∈（0，π），𝑐𝑜𝑠𝐵=， ∴𝑠𝑖𝑛𝐵=√1−𝑐𝑜𝑠2𝐵=2，
𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵8×4√3由正弦定理得：𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏=72=7；
√3𝜋5𝜋𝜋
𝜋
7𝜋
𝜋67𝜋
，2𝜋]． 61212√3（2）∵C为钝角，
∴𝑐𝑜𝑠𝐶=−√1−𝑠𝑖𝑛2𝐶=−，
由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+49+2a＝64，即a2+2a﹣15＝0， 解得：a＝﹣5（舍）或a＝3，
∴△ABC的周长为a+b+c＝3+7+8＝18．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝CC1＝2．
（1）证明：直线CM⊥平面AA1B1B；
（2）求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小．
1
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（1）证明：因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC， 所以A1A⊥CM，
因为M是AB的中点，AC＝CB， 所以CM⊥AB，
又因为A1A，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A， 所以直线CM⊥平面AA1B1B； （2）解：连接A1C，
由（1）知，直线CM⊥平面AA1B1B，
所以∠CA1M即直线A1C与平面AA1B1B所成角，
因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以A1A⊥AC， 又因为AC＝CC1＝2，
所以在正方形AA1C1C中，𝐴1𝐶=2√2，
因为∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝2， 所以CM⊥AB，∠𝐵𝐴𝐶=， 所以𝐶𝑀=√2，
因为CM⊥平面AA1B1B，A1M⊂平面AA1B1B， 所以CM⊥A1M，
在直角三角形△A1CM中，𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐴1𝑀=𝐴𝐶==，
2√221
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𝜋
4𝐶𝑀√21
又因为0＜∠𝐶𝐴1𝑀＜，所以∠𝐶𝐴1𝑀=， 即直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小为；
6𝜋
𝜋2𝜋620．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图． （1）求图中a的值；
（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）
解：（1）∵（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1， ∴a＝0.03；
（2）∵原始分在[60，70）和[70，80）的频率之比为0.015：0.03＝1：2，
∴抽取的6人中，原始分在[60，70）的人数为6×3=2，记为A，B；原始分在[70，80）的人数为6×3=4，记为a，b，c，d；
则从6人中抽取2人所有可能的结果有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共15个基本事件， 其中抽取的2人原始分均在[70，80）的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6个基本事件，
1
2
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∴2人均在[70，80）的概率𝑝=
62=； 155（3）由题意知：C，D，E等级排名占比为35%+13%+2%＝50%，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）， ∵（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，（0.010+0.015+0.015+0.03）×10＝0.7， ∴中位数位于[70，80）之间，设中位数为x，则0.4+（x﹣70）×0.03＝0.5， 解得x≈73，
∴原始分不少于73分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）．
21．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC＝2，BE＝CE=√2． （1）若平面CDE∩平面ABE＝l，证明：AB∥l；
（2）若面EBC⊥面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的侧面积．
解：（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD， 因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， 所以AB∥平面CDE，
因为AB⊂平面ABE，平面CDE∩平面ABE＝l， 所以AB∥l；
（2）因为平面EBC⊥平面ABCD，交线为BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面BCE，同理可得CD⊥平面BCE， 因为BE⊂平面BCE，所以AB⊥BE，同理可得CD⊥CE， 因为𝐵𝐸=𝐶𝐸=√2，所以𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝑆△𝐶𝐷𝐸=2×2×√2=√2， 又BE2+CE2＝BC2，由勾股定理逆定理得BE⊥CE， 故𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝐵𝐸⋅𝐶𝐸=1，
由勾股定理得𝐴𝐸=𝐷𝐸=√22+(√2)2=√6， 又AD＝2，
取AD中点F，连接EF，则EF⊥AD，故𝐸𝐹=√𝐴𝐸2−𝐴𝐹2=√5， 所以𝑆△𝐴𝐷𝐸=2𝐴𝐷⋅𝐸𝐹=√5，
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1
1
21
四棱锥E﹣ABCD的侧面积为2√2+1+√5．
22．（12分）已知函数y＝φ（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是φ（a+x）+φ（a﹣x）＝2b．给定函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑥+1及其图象的对称中心为（﹣1，c）． （1）求c的值；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；
（3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围． 解：（1）由于f（x）的图象的对称中心为（﹣1，c）， 则f（﹣1+x）+f（﹣1﹣x）＝2c，
即(𝑥−1)−𝑥−1+1+(−𝑥−1)−−𝑥−1+1=2𝑐， 整理得﹣2＝2c，解得：c＝﹣1， 故f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1）； （2）函数f（x）在（0，+∞）递增；
12设0＜x1＜x2，则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=𝑥1−𝑥+1−𝑥2+𝑥+1=(𝑥1−𝑥2)+(𝑥+1)(𝑥=(𝑥1−𝑥2)[1+
1221+1)6
66
666(𝑥−𝑥)
6
]，
(𝑥2+1)(𝑥1+1)由于0＜x1＜x2， 所以x1﹣x2＜0，
6(𝑥2+1)(𝑥1+1)
＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0⇒f（x1）＜f（x2）， 故函数f（x）在（0，+∞）递增；
（3）由已知，g（x）的值域为f（x）值域的子集，
由（2）知f（x）在[1，5]上递增，且f（1）＝﹣2，f（5）＝4，故f（x）的值域为[﹣2，4]， 于是原问题转化为g（x）在[0，2]上的值域A⊆[﹣2，4]， 当
𝑚2
≤0即m≤0时，g（x）在[0，1]递增，
注意到g（x）＝x2﹣mx+m的图象恒过对称中心（1，1）， 可知g（x）在（1，2]上亦单调递增，
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故g（x）在[0，2]递增，又g（0）＝m，g（2）＝2﹣g（0）＝2﹣m，故A＝[m，2﹣m]， 所以[m，2﹣m]⊆[﹣2，4]，∴m≥﹣2且2﹣m≤4，解得﹣2≤m≤0， 当0＜2＜1即0＜m＜2时，g（x）在(0，2)递减，在(2，1）递增，
又g（x）过对称中心（1，1），故g（x）在(1，2−2)递增，在(2−2，2]递减， 故此时A＝[min{g（2），𝑔(2)}，max{g（0），𝑔(2−2)}]，
𝑔(2)=2−𝑔(0)=2−𝑚≥−2𝑔(0)=𝑚≤4欲使A⊆[﹣2，4]，只需{𝑚且{， 𝑚2𝑚𝑚𝑚2
𝑔(2)=−4+𝑚≥−2𝑔(2−2)=2−𝑔(2)=4−𝑚+2≤4解不等式得：2−2√3≤𝑚≤4，又0＜m＜2，此时0＜m＜2， 当
𝑚2
𝑚
𝑚𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
≥1即m≥2时，g（x）在[0，1]递减，在（1，2]上递减，
由对称性知g（x）在[0，2]上递减，于是A＝[2﹣m，m]， 2−𝑚≥−2
则[2﹣m，m]⊆[﹣2，4]，故{，解得：2≤m≤4，
𝑚≤4综上：实数m的取值范围是[﹣2，4]．
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