2020年高考数学一轮复习第四章第3节【平面向量的数量积与平面向量应用举例】教学案及考题练

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例

[考纲传真]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角→→已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a与b的夹角是90°时，a与b垂直，记作a⊥b，当a与b的夹角为0°时，a∥b，且a与b同向，当a与b的夹角为180°时，a∥b，且a与b反向．2．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影；|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积投影几何意义3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论模数量积夹角a⊥b|a·b|与|a||b|的关系[常用结论]1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；几何表示|a|＝a·aa·b＝|a||b|cosθa·bcosθ＝|a||b|a·b＝0|a·b|≤|a||b|坐标表示2

|a|＝x21＋y1

a·b＝x1x2＋y1y2cosθ＝x1x2＋y1y2

222x21＋y1·x2＋y2

x1x2＋y1y2＝0|x1x2＋y1y2|222≤x21＋y1·x2＋y2

1/8

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)→→(1)在△ABC中，向量AB与BC的夹角为∠B.())()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．((4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.[答案](1)×(2)√(3)×(4)×()(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为(A．－4Aπ6[cosθ＝a·b－633＝＝－，|a||b|2×62B．4C.327D．－327))[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A.]π32π35π63．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为(A.DB.C.D.5π又0≤θ≤π，则θ＝，故选D.]64．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.2[由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，解得m＝2.]5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]平面向量数量积的运算1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()2/8

A．4BB．3C．2D．0[因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B.]()→→→2．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为A．－C322B．－35C.322D．35→→→[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为→→AB·CD1532→→→|AB|cos〈AB，CD〉＝→＝＝，故选C.]252|CD|3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，→→使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B[58B.18C.14D.118→→→如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，→1→→1→1→3→且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，2244→1→3→所以AF＝AB＋AC.24→→→又BC＝AC－AB，1→3→→→→→AB＋AC则AF·BC＝2·(AC－AB)41→→1→23→23→→＝AB·AC－AB＋AC－AC·AB22443→21→21→→＝AC－AB－AC·AB.424→→又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，→→31111故AF·BC＝－－×1×1×＝.42428故选B.]3/8

[规律方法]平面向量数量积的三种运算方法1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a·b＝x1x2＋y1y2.3利用数量积的几何意义求解.平面向量数量积的应用►考法1求向量的模→→π【例1】(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，AC＝2a－6→6b，D为BC中点，则|AD|等于()A．2A．4(1)A(2)DB．4B．2C．6C.2D．8)D．1(2)(2019·广州模拟)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b|等于(→1→→1→[(1)因为AD＝(AB＋AC)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋22π→3－2×2××cos＋432

b)＝4×＝4，则|AD|＝2.6(2)由|a－2b|＝2，得(a－2b)2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4，即|a|2－4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4，即|b|2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故选D.]►考法2【例2】A.3π499－，32∪2求向量的夹角(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为(B.π4C.π3D.2π3)(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．(1)C(2)－∞，－[(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0，∴5a2＋6a·b－8b2＝0.又|a|＝|b|＝1，1∴a·b＝，2a·b1∴cosθ＝＝.|a||b|2π又θ∈[0，π]，∴θ＝，故选C.3(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－6－6＜0，所4/8

99以k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b22与c反向．综上，k的取值范围为►考法3【例3】－∞，－99－，3.]2∪2平面向量的垂直问题(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．→→→→→→→→→(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．(1)－5(2)712[(1)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.→→→→→→→→(2)由AP⊥BC得AP·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，→→→→∴(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，即－3(λ－1)－9λ＋4＝0.解得λ＝7.]12[规律方法]平面向量数量积求解问题的策略1求两向量的夹角：，要注意θ∈[0，π].2两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．(1)23(2)33[(1)法一：|a＋2b|＝a＋2b2

＝a2＋4a·b＋4b2

＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|→＝|OC|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.5/8

(2)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|3e1－e2|＝3e1－e22

＝3e21－23e1·e2＋e2

2＝3－0＋1＝2.同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos60°＝3e1－e2·e1＋λe2|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋3λ－1e1·e2－λe2

2

21＋λ2＝3－λ121＋λ2＝2，解得λ＝33.]平面向量与三角函数的综合【例4】(2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解](1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.π因为x∈[0，π]，所以x＋π，7π6∈66，从而－1≤cosx＋π6≤32.于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；6/8

π5π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－23.66[规律方法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等.π220，，－在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22.2，n＝(sinx，cosx)，x∈(1)若m⊥n，求tanx的值；π(2)若m与n的夹角为，求x的值．3[解]22，－(1)因为m＝22，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.22sinx－cosx＝0，22所以m·n＝0，即所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.π1(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，32πx－2211即sinx－cosx＝，所以sin4＝，2222ππππ因为0＜x＜，所以－＜x－＜，2444ππ5π所以x－＝，即x＝.46121331→→，，1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝22，BC＝22，则∠ABC＝(A．30°B．45°C．60°D．120°)1331→→→→→→→→，，333A[因为BA＝22，BC＝22，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA||BC|cos∠ABC＝44231×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]22．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(A．－1CB．0C．1D．2[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，)从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.7/8

法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5A[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.7[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.]8/8