LMS自适应滤波算法原理与仿真

科技信息　高校理科研究　ＬＭＳ自适应滤波算法原理与仿寅　陕西理工学院物理系　井敏英　张超　赵娜　［摘要］在对自适应滤波器相关理论研究的基础上，重点研究了ＬＭＳ自适应滤波算法，并借用Ｍａ山ｂ仿真平台，给出了在一定信　噪比条件下，ＬＭＳ算法的滤波结果。通过分析仿真可以看出，ＬＭＳ算法计算量小，可以达到较好的滤波效果，容易实现，有很高的实　用价值。　［关键词］ＬＭＳ算法　自适应滤波０．引言　Ｍａｄａｂ仿真　式（１）司表不为：　滤波技术是信号处理中的一项基本方法和技术，尤其数字滤波技　ｙ（ｎ）＝ｘＴ（ｎ）ｗ（ｎ）＝ｗｌｒ（ｎ）ｘ（ｎ）　（３）　术使用广泛，数字滤波理论的研究及其产品的开发一直受到很多国家　的重视。滤波可分为经典滤波和现代滤波，经典滤波要求已知信号和噪　声的统计特性，如维纳滤波和卡尔曼滤波，现代滤波则不要求已知信号　和噪声的统计特性。自适应滤波属于现代滤波，它的研究始于２０世纪　５０年代末［１】，所谓自适应滤波就是当输入过程的统计特性未知时或统　计特性变化时，滤波器能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则　的要求。自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于平稳和非　平稳随机信号的检测和估计。自适应滤波器必须满足某种最佳准则要　求，不同的准则，可以产生不同的自适应算法，其中最常用的研究最多　的是在最小均方准则下的ＬＭＳ自适应滤波算法　。　１．自适应滤波器　自适应滤波器　由参数可调的数字滤波器（或称为自适应处理器）　和自适应算法两部分组成，如图１所示。参数可调的数字滤波器可以是　ＦＩＲ数字滤波器或者ＩＩＲ数字滤波器，也可以是格型数字滤波器。输入　信号ｘ（ｎ）通过参数可调数字滤波器后产生输出信号（或响应）ｙ（ｎ），将其与　参考信号（或称期望信号）ｄ（ｎ）进行比较，形成误差信号ｅ（ｎ）。ｅ（ｎ）有时还　要利用ｘ（ｎ）通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使ｅｆｎ）的　均方值最小。因此，实际上自适应滤波器是一种能够自动调整本身参数　的特殊维纳滤波器，在设计时不需要事先知道关于输入信号和噪声的　统计特性的知识，它能够在自己的工作过程中逐渐“了解”或估计出所　需的统计特性，并以此为依据自动调整自己的参数，以达到最佳滤波效　果。一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动　调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。　图１自适应滤波器原理图　图２自适应线性组合器原理图　ＦＩＲ结构的参数可调的数字滤波器由于具有非递归结构形式，它　的分析和实现比较简单，在大多数自适应信号处理系统中得到广泛应　用，此滤波器称之为自适应线性组合器。图２为自适应线性组合器的一　般形式。输入信号矢量ｘ（ｎ）的Ｌ＋１个元素，既可以通过在同一时刻ｎ对　Ｌ＋１个不同信号源取样得到，也可以通过对同一信号源在１５１以前Ｌ＋１　个时刻取样得到。前者称为多输入情况，后者称为单输入情况，这两种　情况下输入信号矢量都用ｘ（ｎ）表示。对于一组固定的权系数来说，线性　组合器的输出ｙ（ｎ）等于输入矢量ｘ（ｎ）的各元素的线性加权和。然而实际　上权系数是可调的，调整权系数的过程叫做自适应过程。在自适应过程　中，各个权系数不仅是误差信号ｅ（ｎ）的函数，而且还可能是输入信号ｘ㈤　的函数，因此，自适应线性组合器的输出就不再是输入信号的线性函　数。　输入信号和输出信号之间的关系式为　Ｌ　１　ｙ（ｎ）＝　ｗ　（ｎ）ｘ　（ｎ）　（１）　ｋ－－Ｏ　自适应线性组合器的Ｌ＋１个权系数构成一个权系数矢量，即权矢　量，用ｗ（ｎ）表示，则　ｗ（ｎ）＝［ｗ　ｎ）ｗ－（ｎ）…ｗＩ　ｎ）Ｉｌ　（２）　则　ｅ（ｎ）＝ｄ（ｎ）一ｙ（ｎ）＝ｄ（ｎ）一ｘ（ｎ）　１ｗ（ｎ）＝ｄ（ｎ）－ｗ（ｎ）Ｖｘ（ｎ）（４，　自适应线性组合器按照误差信号均方值最小的准则，即　￡（ｎ）＝Ｅ［ｅ　（ｎ）ｌ＝ｍｉｎ　（５）　来自动调整权矢量。　２．ＬＭＳ自适应算法原理　选择什么信号作为参考响应，要根据不同的应用要求来确定。在输　入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，自适应线性组合器的　均方误差性能曲面∈是权系数的二次函数，∈的函数图形是Ｌ＋２维空间　中一个中间下凹的超抛物面，有唯一的最低点靠　。但在许多实际应用　中，性能曲面的参数，甚至解析表达式都是未知的，因此，只能根据已知　的测量数据，采用某种算法自动地对性能曲面进行搜索，寻找最低点，　从而得到最佳权矢量。牛顿法和最陡下降法是搜索性能曲面的两种著　名方法。最陡下降法在工程上比较容易实现，有很大的实用价值。　最陡下降法是沿性能曲面最陡方向向下搜索曲面的最低点。曲面　的最陡下降方向是曲面的负梯度方向。这是一个迭代搜索过程。首先从　曲面上某个初始点（对应于初始权矢量ｗ（ｏ））出发，沿该点负梯度方向搜　索至第１点（对应的权矢量为ｗ０）），ｗ（１）等于初始值ｗ（Ｏ）／Ｊ￣上一个正比　于负梯度的增量。用类似的方法，一直搜索到Ｗ　应曲面最低点）为止。　最陡下降法迭代计算权矢量的公式为　ｗ（ｎ＋１）＝ｗ（ｎ）＋　（一　（ｎ））（６）　式中，　是控制搜索步长的参数称为自适应增益常数，或收敛参　数；　（ｎ）是曲面上各点的梯度。　最陡下降法每次迭代都需要知道性能曲面上某点的梯度值，而实　际上梯度只能根据观测数据进行估计。ＬＭＳ算法是一种很有用且很简　单的估计梯度的方法，这种算法自６０年代初提出以后很快得到广泛应　用，它的突出优点是计算量小、易于实现，且不要求脱线计算日。只要自　适应线性组合器每次迭代运算时都知道输入信号和参考响应，那么，选　用ＬＭＳ算法就很合适的。　ＬＭＳ算法的最核心思想是用平方误差代替均方误差。这样，　Ｖ（ｎ】一Ｖ（ｎ）＝－２ｅ（ｎ）ｘ（ｎ）　（７）　实际上，　（ｎ）只是单个平方误差序列的梯度，Ｖ（ｎ）是多个平方误差　序列统计平均的梯度，所以ＬＭＳ算法就是用前者作为后者的近似。将　式（７）代入式（６），得到ＬＭＳ算法的基本关系式　ｗ（ｎ＋１）＝ｗ（ｎ）一　（ｎ）＝ｗ（ｎ）＋２　ｅ（ｎ）ｘ（ｎ）　（８）　该式说明，ＬＭＳ算法实际上是在每次迭代中使用很粗略的梯度估　计值来代替精确值。不难预计，权系数的调整路径不可能准确地沿着理　想的最陡下降的路径，因而权系数的调整过程是有“噪声”的。ＬＭＳ算法　按照式（８）调整权系数时不需要进行平方运算和统计平均运算，因而实　现起来很简单。下一时刻权矢量ｗ（ｎ＋１）等于当前权矢量ｗ（．）；ｂｎ　ｔ￣－－个　修正量，该修正量等于误差信号ｅ（ｎ）的加权值，加权系数为２　（ｎ），它正　比于当前的输入信号。值得注意的是，对权矢量的所有分量来说，误差　信号ｅ（ｎ）是相同的，并且ＬＭＳ算法得到的权矢量的期望值与最陡下降　法得到的权矢量本身都服从相同的迭代计算规律，当收敛的必要条件　满足时，随着迭代次数趋进于无穷，权矢量的期望值将趋近于最佳权矢　量。　对于横向自适应滤波器来说，输入信号的自相关矩阵的迹可用输　入信号功率表示为　ｔ　Ｒ］：（Ｌ＋１）Ｅ［ｘ２（ｎ）］－－（Ｌ＋１）Ｐｉ　（９）　式中，Ｂ　是输入信号功率。因此，收敛的条件　（下转第１３４页）　一１３３—　科技信息　一高校理科研究　个新的高维宗弦定理及应用　安徽财经大学信息工程学院　殷红彩　［摘要］本文利用凸体几何的理论与方法，建立一个关于超平行体新的高维余弦定理，并应用它给出了阿波罗尼奥斯（Ａｐ０ｕｏｎｉｕｓ）定　理一种新的简单的证法。　［关键词］高雏余弦定理　阿波罗尼奥斯（Ａｐ０】ｌｏｎｉｕｓ）定理　１．一个新的高维余弦定理　近期文献［１，２１从不同角度得出单形的两个高维余弦定理，称之为高　维余弦定理１与高维余弦定理２，先给出这两个高维余弦定理。　第一余弦定理　设在由ｎ个共始点Ｐ。的线性无关的向量　ｐ　…，　Ｐｎ生成的ｎ维单形中，顶点Ｐｉ（ｉ：ｏ，ｌ，…，ｎ）所对的ｎ一１维面为￡，其ｎ～ｌ维　体积为Ｆ　￡，￡所夹的内角为＜ｉ，　，则　＝　其中／ｐｌ‘ｐＩ　ｐｌ　ｐ２　’‘‘　ｐＩ’ｐｎ＼　Ｇ　－她…，ｐｊ＝Ｉ・＼　　・ｐｌ　・　…　・　】表示向量ｐｂｐ＇ｚ，…ｄ）Ⅱ　・ｐ２…　ｐｎ・　７　Ｆ　－２　ＦｊＦｊｅｏｓ＜ｉ，ｊ＞　的Ｃｒａｍ矩阵，显然，就一个ｎ维超平行体而言’这样的表达式共有２　个。　证明该定理的证明是简单的，左边直接展开即可。　２．阿波罗尼奥斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ）定理的证明　为了证明阿波罗尼奥斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ）定理’先给出一个引理。　引理两个ｎ个线性无关的向量组，若其中只有一个向量互为反向　其中Ｉ＝Ｏ，１，２，…，ｎｏ　杨路，张景中在文献【　１中利用　中基本图形的度量方程建立了　中的第二余弦定理，即第二余弦定理目ｎ维欧氏空何　中由点集　量，其余ｎ—１个向量均相同，相同的向量用省略号标记，符号相反的向量　记为ｐ。，则二者Ｇｒａｍ矩阵的和为　ｌ　‘２　ｆＰ　ｌ　ｉ＝ｏ，１　２一，ｎ）生成的Ｉｌｔ维单形，单形的侧面记为￡｛　１一，ｎ），两个侧　面￡，￡的夹角记为Ｏｄｉ，ｊ＝Ｏ，ｌ，２，…，ｎ），则　Ｇ（－一，Ｐ　…）＋ｑ…冲　…）：２Ｇ（…，０，…）＋２　ｌ　Ｐ。ｉ　Ｅ。　其中Ｏ表示零向量，Ｅ。表示主对角线上第ｉ个元素为１其余元素全　为零的ｎ阶方阵。　证明由矩阵的加法可直接证明的。　阿波罗尼奥斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ）定理ｎ（ｎ≥２）维超平行体的所有体对角　线长的平方和等于其所有棱长的平方和。　证明由ｎ个线性无关的向量ｐｌ，ｐ　…，Ｐ　生成的ｎ维超平行体的　２　条体对角线向量可表示为：　ｐｌ十ｐ２＋…＋ｐ－＋…＋１９ｍ　ｐＩ十Ｉ　２十…十ｐ一十…－－ｐｎ￣…＇ｐｔ－ｐ￣一…一　一。～ｐｎ　枷　嵩　记Ｇｒａｍ（ｐｈ　…　ｐ３＝Ｐ＝ｆ・Ｉ　ｐ　・ｐ　ｌｐｌ＇Ｐｌ　ｐｌ＂Ｐ２…ｐｌ＂Ｐ　Ｉ　・　…　・　ｆ　・ｐ２…ｐｎ＂　Ｊ　其中Ｐ＝ｉｊ（ｉ　＝ｌ，２，…，ｒＯ为Ｐ中元素ｐ，・ｐｊ（ｉ，ｊ＝ｏ，Ｉ，２，…，ｎ）的代数余子式。　下面建立一个关于高维超平行体的余弦定理。　假设ｎ维超平行体由ｎ个线性无关的向量ｐｌ，ｐ：，…，Ｐ　生成，显然，这　个维超平行体有２“个顶点，２　条体对角线，ｎ２　条棱共分成ｎ组每组　２　条平行且相等。从每个顶点发出ｎ个线性无关的向量，且这２ｎ个顶　点中不同的顶点发出的ｎ个线性无关的向量要么相等要么互为相反的　向量，即ｎ个线性无关的向量ｐＩ，Ｐ　・，Ｐ。与一ｐ￣，－ｐ　，…，一ｐ　生成相同的超　由高维余弦定理３得它们长度平方和为ＩＰｌ＋ｐ２＋…＋ｐ＿＋…＋ｐｎ｝‘＋　ｆｐｔ＋ｐ２＋…　ｐ．＋…一ｐ　｝‘＋…＋ｆｐｌ－ｐ２－…一ｐｉ－＇＂－ｐ　｝‘＝（１，１，…，１）（Ｇ（ｐｌ，ｐ　…，　ｐ　Ｇ（ｐ一，　…，一　＋¨‘＋Ｇ（ｐ】，一ｐｚ，…，．ｐ　）（１　１一，１）　连续应用引理，上式等　于　，　＝，　（１，１，‘一，１）（２Ｇ（ｐｌ，ｐ　…，Ｐ，卜ｌ，０）＋２　ＩＰ　ｌ　Ｅ　＋２Ｇ（ｐｌ，ｐｂ‘一，一ｐ　ｔ，Ｏ）＋２　ｌＰ　Ｉ　平行体，每个向量Ｐ．前可带正负号，这样共有２“个不同的组合，恰好表示　从ｎ维超平行体２“个不同顶点发出的生成超平行体的一组向量，注意　到它们的代数和ｐ　＋ｐ　…呻．＋¨・　ｐ　表示该超平行体的一条体对角线向　量，共有２“种，注意到各Ｐ　符号完全相反的表达式表示的体对角线向量　是同一条但方向相反的体对角线，故ｎ维超平行体２　条不同的体对角　线向量可由生成该超平行体的ｎ个线性无关的向量来表示，则有下面的　定理：　高维余弦定理３由ｎ个线性无关的向量Ｐｌ，Ｐ　，…，Ｐ　生成的ｎ维超　平行体和向量组Ｐ　，Ｐ：，…，Ｐ　对应的超平行体的体对角线的长度平方为　ｆＰｌ　ｐ２＋…　ｐ　ｆ＝（Ｉ，１，…，ＯＧ（ｐｌ，ｐ２，…，ｐ　（１，１，…，１）　（１）　Ｅ　ｌ＋。‘‘＋Ｇ（ｐｌ，…，一ｐ￣２，ｐ　ｌ，ｐ　＋Ｇ【ｐ１，‘。。，～ｐ　，Ｐ　１，一ｐ　＋。‘‘＋Ｇ（ｐｌ，一ｐ２，…，一ｐ　）（１，１，　…，１　…－＝（１，１，・一，１）（２　ＩＰ．１　Ｅ。＋２　ｌＰ：ｌ‘Ｅｚ＋・・・＋２　ｌｐ　Ｉ‘Ｅ，　１，１，…，１）　＝２　（１Ｐ，Ｉ　＋ｌＰ　ｌ‘＋…＋１Ｐ　ｌ‘）　故定理得证。　显然，这种方法较文献（１】中的证法简单。　参考文献　［１］沈文选．单形论导引．长沙：湖南师范大学出版社，２０００，８６　［２］杨路，张景中．关于有限点集的一类几何不等式．数学学报，１９８０　（５）７４０－７４９　（上接第１３３页）可表示为：　０＜　＜【（Ｌ＋１）Ｐ，ｎ】　（１０）　这是工程上用起来很方便的公式，因为输入信号功率Ｐ　很容易根　据输入信号取样值来估计。　最后需要说明的是，前面所作的关于输入信号是平稳随机信号‘的　假设对于ＬＭＳ算法的收敛不是必需的。　３．ＬＭＳ自适应滤波算法仿真　借用ＭＡＴＬＡＢ软件编写程序对ＬＭＳ滤波算法进行仿真。参数可调　的数字滤波器为１　０ｏ阶的自适应线形组合器，假设有用信号和噪声都　具有高斯白噪声的特性，应用ＬＭＳ算法（满足式中收敛的条件）对其进　行自适应滤波，即在观测信号中提取有用信号。仿真结果如图３和图４。　由图知，ＬＭＳ滤波算法在一定信噪比条件下，具有较好的滤波效果，噪　声几乎被完全滤除。　４．结论　自适应滤波器的应用范围很广，主要可将其归纳为以下几个方面　：　自适应系统模拟和辨识；自适应逆滤波；白适应干扰抵消；自适应预测　等。ＬＭＳ算法由于其突出的优点，计算量小，易于实现而得到了广泛的　应用。因此，对ＬＭＳ自适应滤波算法的研究有重要的理论与现实意义。　参考文献　ｌ　１］Ｗｉｄｒｏｗ　Ｂ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［Ｍ　ｊ．Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ　Ｃｌｉｆｆ（Ｎｅｗ　Ｊｅｒｓｅｙ）：Ｐｒｅｎｔｉｃｅ—Ｈａｌｌ，１９８５　［２］吕振肃，熊景松．一种改进的变步长ＬＭＳ自适应算法［Ｉ］．信号处　理，２００８，１（２４）：１４４－１４６．　图３有用信号和观测　信号的比较　一图４有用信号和滤波后的　估计信号的比较　［３］姚天任，孙洪．现代数字信号处理［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版　社．１９９９．４５－１２２　１３４一