昌平区2018-2019学年第一学期高一年级期末数学试题(修订)(1)

数学试卷 2019.1

本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知集合A{1,0,2}，B{0,2,3},那么AUB等于

A. {1,0,2,3} B．{1,0,2} C．{0,2,3} D．{0,2}

2. 已知角α的终边经过点P，那么sin的值为（3,-4）A. 

3.sin210的值为



4433B.C.D.

3 5 4 5

A.

1133B.C.D. 2 2 2 2

4. 已知向量a(1,2),b(2,1m), 且a b，那么实数m的值为 A．

2 B．1

C．2 D．4

5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)上为减函数的为 A. y

6. 已知a40.51x B. ycosx C . y2 D. y|x|1 x,blog0.54,c0.54,那么a，b，c的大小关系为

A．bca B．cba

C．bac D．cab

1

7. 如果二次函数yx22mx(m2)有两个不同的零点，那么m的取值范围为 A. (2, 1) B.(1, 2) C. (,1)

(2,  D. (,2)(1, )

)的图象 3A. 向左平行移动个单位 B. 向左平行移动个单位

36C. 向右平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位

368. 为了得到函数ysin2x的图象，只需将函数ysin(2x

9. 如图，在66的方格中，已知向量a,b,c的起点和终点均在 格点，且满足向量axbyc(x,yR)，那么xy

A．2 B．0

C． 1 D．2

10. 某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100C，水温y(C)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度

b

c

a

1y(C)与时间t(min)近似满足函数的关系式为 y802（a,b为常数）, 通常这种热饮在40C时，口感最佳 .

某天室温为20C时，冲泡热饮的部分数据如图所示.

ta10yb10060那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用， 最少需要的时间为

A. 35min B. 30min C. 25min D. 20min

2

20

O515t

第二部分（非选择题

二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.

11. 已知集合A{xx2}，B{x0x4}, 则A

12. log284= __________.（用数字作答）

13.已知向量a,b,|a|1,|b|1，向量a与b的夹角为60, 那么(2a+b)(ab) __________.

14.已知函数f(x)2sin(x)12共100分）

B__________.

(其中0，||的图象如图所示，那么函数 __________,

） 2y2__________.

15. 已知函数f(x)在(2,2)上存在零点，且满足f(2)f(2)0,则函数f(x)的一个解析式 为 __________.（只需写出一个即可）

16. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2axa2，其中aR． （I）当a1时，f(1)__________；

（II）若f(x)的值域是R，则a的取值范围为__________.

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2Oπ125π6x-2三、解答题（共5个小题，共70分） 17. (本小题满分14分)

已知是第二象限角，且tan(（Ⅰ）求tan的值； （Ⅱ）求cos2的值．

18.（本小题满分14分）

已知函数f(x)cosxsinxcosx （I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）求函数f(x)的单调递减区间；

21)． 471. 2(III) 求函数f(x)在区间0,2 上的最小值．

19. (本小题满分14分)

已知函数f(x)lg(1x)lg(1x). （I）求函数的f(x)定义域；

（II）判断函数f(x)的奇偶性，并用定义证明你的结论； （III）若函数f(x)0，求实数x的取值范围.

4

20.（本小题满分14分）

为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下： 表1 t 0 0 10 2700 20 5200 30 7500 g(t) 11000 8000 f(t) O 40 60 t 图1 小明阅读“经典名著”的阅读量f(t)（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如表1所示；阅读“古诗词”的阅读量g(t)（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系. （I）请分别写出函数f(t)和g(t)的解析式； （II）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？

21. (本小题满分14分）

已知函数f(x)的定义域为D，对于给定的k(kN*)，若存在[a,b]D，使得函数f(x)满足：

① 函数f(x)在[a,b]上是单调函数；

② 函数f(x)在[a,b]上的值域是[ka,kb]，则称[a,b]是函数f(x)的k级“理想区间”.

(I) 判断函数f1(x)x2，f2(x)sinx是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）

(II) 证明：函数f(x)ex存在3级“理想区间”；（ e2.71828(III)设函数g(x)）

4x，x[0,1]，若函数g(x)存在k级“理想区间”，求k的值. 2x1

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昌平区2018－2019学年第一学期高一年级期末质量抽测

数学试卷参考答案及评分标准 2019.1

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)

题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 A 7 C 8 B 9 B 10 C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 11. {x|2x4} 12. 5 13. 14. 21 2;3 15. f(x)x1 （不是唯一解）

2 16 . 2 ;(,2][2,) （注：第14，16题第一问3分，第二问2分）.

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17. (本小题满分14分)

解：（Ⅰ）由tan(

（Ⅱ）由（I）可得，sin

所以 cos2cossin

18. (本小题满分14分)

221tan14)，解得tan. ……………7分 41tan7343,cos. 557. …………………………14分 251cos2x11sin2x22211cos2xsin2x22

解：(I)f(x) 

2sin(2x) ………………4分 242. ………………6分 26

所以 函数f(x)的最小正周期是

（II）由题意知 2k2x2k,k242,故 kxk88

Z ,所以函数f(x)单调递减区间为 [k（Ⅲ） 因为0x

所以当

,k],kZ. ………………10分 882x,444

1,即x时，f(x)min ………………14分 4422 .

,2

所以2x

19.（本小题满分14分）

1x0,x1,解：（I）由 解得

1x0,x1.所以 1x1, 故函数f(x)的定义域是(1,1). ………………4分

（II）函数f(x)是奇函数. ………………5分

证明：由（I）知定义域关于原点对称. ………………6分 因为 f(x)lg(1(x))lg(1(x))

(lg(1x)lg(1x))f(x)，

所以 函数f(x)是奇函数. …………………………9分

( Ⅲ ) 由f(x)0可得 lg(1x)lg(1x) . …………………………10分

1x1得 1x1x， …………………………12分

0x1 . …………………………14分

解得

20.（本小题满分14分）

解：（I）f(t)t2280t , g(t)

7

200t(0t40). ………………6分

150t2000(40t60)（II）设小明对“经典名著”的阅读时间为t(0t60)，则对“古诗词”的阅读时间为60t.

………………7分 ① 当060t40，即20t60时，

h(t)f(t)g(t)t2280t200(60t)

t280t12000

(t40)213600

所以当 t40时，h(t)有最大值13600． ………………10分 ① 当4060t60，即0t20时，

h(t)f(t)g(t)t2280t150(60t)2000

t2130t11000

因为h(t)的对称轴方程为t65， 所以 当0t20时，h(t)是增函数，

所以 当t20时，h(t)有最大值为13200. ………………13分 因为 13600>13200，

所以 阅读总字数h(t)的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟． ………………14分

21. (本小题满分14分）

解：(I) 函数f1(x)x2存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；f2(x)sinx不存在1级“理想区间”. ………………4分

(II)设函数f(x)ex存在3级“理想区间”，则存在区间[a,b]，使f(x)的值域是[3a,3b]. 因为函数f(x)ex在R上单调递增，

ae3a,所以b，即方程ex3x有两个不等实根.

e3b设h(x)ex3x，

可知，h(0)e03010，h(1)e1310，h(2)e2320，

8

由零点存在定理知，存在x1(0,1)，x2(1,2)，使h(x1)0，h(x2)0.

设ax1，bx2，所以方程组有解，即函数f(x)ex存在3级“理想区间”. …………9分 (III)法一：

若函数g(x)存在k级“理想区间”，则存在区间[a,b]，函数g(x)的值域是[ka,kb]. 因为g(x)4x，任取 x1,x2[0,1]，且x1x2， x21有g(x1)g(x2)4x14x24(x1x2)(1x1x2)， x121x221(x121)(x221)因为0x1x21，所以x1x20,1x1x20， 所以 g(x1)g(x2)0，即g(x1)g(x2)， 所以 函数g(x)4x在[0,1]上为单调递增函数. ………………12分 x21所以 g(a)ka,4xkx在[0,1]上有两个不等实根. ，于是方程2x1g(b)kb即x[kx2k4]0在[0,1]上有两个不等实根.

显然 x0是方程的一个解，所以 kx2k40在(0,1]至少有一个实根. （1）当k4时，x1x20，不合题意，舍； （2）当k4时，方程无实根，舍； （3）0k4时，x14k4k,x2(舍), kk所以 x14k1，解出k2. k*所以 2k4，又因为kN，所以k2 或k3. ………………14分

法二：因为g(x)4x，任取 x1,x2[0,1]，且x1x2， x21有g(x1)g(x2)4x14x24(x1x2)(1x1x2)， x121x221(x121)(x221)因为0x1x21，所以x1x20,1x1x20， 所以 g(x1)g(x2)0，即g(x1)g(x2)，

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所以 函数g(x)4x在[0,1]上为单调递增函数. ………………12分 x21若函数g(x)存在k级“理想区间”，则存在区间[a,b]，函数g(x)的值域是[ka,kb].

4aka(1)a21则 

4bkb(2)b21（i）当a0时，（1）式成立 因为a0，所以b0，所以

4k. 2b1因为[a,b][0,1]，所以0ab1.

22所以 0b1，即 0b1，得 1b12，于是

1121 2b1故24*4kN. 又因为，所以k2或k3. 2b1当k2时，b1；当k3时，b3. 3所以 [a,b][0,1]或[a,b][0,（ii）当a0时，（1）式化为因为a0， b0，所以

3]满足题意，故k2或k3. 34k（3）， 2a14k（4） b214422所以2，所以ab，即ab与题意不符合。 2a1b1综上，k2或k3. ………………14分

【其它正确解法相应给分】

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