博弈考题——精选推荐

芦晶，龙小雨，王之瑜，王思欣，魏姣文

1.在古诺模型中，两企业生产产品的边际成本不同，企业1的边际成本为C1，企业2的边际成本为C2，市场逆需求函数为P=a-bQ(b>0)。 求: 当2CiU1(q1,q2)=q1×[a-b(q1+q2)-c1]， U2(q1,q2) =q2×[a-b(q1+q2)-c2]。

设q*=(q1*，q2*)为博弈的纳什均衡，求q1*，q2*，就是求解连理方程组：

u1(q1,q2*)a2bq1bq2*c10

q1u2(q1*,q2)abq1*2bq2c20

q2由上述联立方程组可以解得

2bq1*ac1bq2*2bq2*ac2bq1*

再从上述方程组即可解出均衡产量

1

a2c1c2q13ba2c2c1

q2*3b产生博弈的纳什均衡为

a2c1c2a2c2c1q*(q1*,q2*)(,)。

3b3b

2

2.博弈G的双变量收益矩阵如图所示。求博弈G的混合战略纳什均衡。 参与者2

参与者1

解答：

A B C L 3,1 0,2 1,2 M 0,2 1,0 -1,3 R 1,0 2,1 0,1 由划线法可知，博弈G不存在纯战略纳什均衡。对于参与者1来说，战略C弱劣于战略A，首先可以提出战略C。剔除战略C后，对于参与者2来说，战略R弱劣于战略L，这时可以剔除战略R.

' 经过剔除战略C与R之后，在剩下的S1'={A,B}和S2={L,M}组成的22收益矩阵上，''设 p1(p,1p),0p1;；p2(q,1q),0q1;参与者1，2的期望收益函数分别是 '' v1(p1,p2)v1(p,q)3pq1(1p)(1q)1pq4pq

''v2(p1,p2)v2(p,q)1pq2p(1q)2(1p)q2p2q3pq

*v1(p,q)由 14q*0p解得 q*=1 /4

*v2(p,q)由 23p*0q解得p*=2/3

由此，得到参与者1在S1上的均衡混合战略为p1(p,1p*)(2/3,1/3),参与者2在S2上的均衡混合战略为p2(q,1q*)(1/4,3/4),再考虑到战略C与R先后被剔除，这表明参与者1随机选择战略C以及参与者2随机选择战略R的概率都应该是零。最后求得博弈G的混合战略纳什均衡为 顺便就可以计算出参与者1，2的均衡期望收益为

''*''*211331 343442123114** v2(p1,p2)122

3434343 v1(p1,p2)3**

3

3、一个长度为1的线性城市位于横坐标轴上，有两个商店位于城市两端，商店1在x=0处，商店2在x=1处，它们销售性能相同的产品，单位产品的成本为c。消费者在城市所在区间[0,1]上均匀分布，消费者承担每单位距离的交通成本为t.。假定消费者具有单位需要，而且消费者总以消费总成本（价格加上交通成本）的高低决定到那个商店购物，使用商品都觉得价超所值。现考虑两个商店同时选择自己产品售价。试求博弈纳什均衡。

解：该博弈的参与者为商店1还是商店2，参与者的站绿为价格，设商店1，2同时选择销售商品的价格分别为p1，p2，战略空间同为S1=S2=(C, )

设Di(p1，p2)为商店i=1,2的需求函数，如果住在x处的消费者在两个商店之间购物成本是无差异的，那么所有住在x左边的消费者都到商店1购物，而住在x右边的消费者都到商店2购物，也就有D1(p1，p2)=x (1) D2(p1，p2)=1-x (2)

p1+xt =p2+(1-x)*t (3)

由以上无差异等式（3），可解出xp2p1t （4）

2t分析上式，当p2p10（两个商店选择相同的价格时），有x=1/2,即两个商店平分市场需求；当p2p10，有x>1/2, 这时商店1拥有多于一半的消费者；p2p10时，则相反。 式（4）代入式（1）与式（2），这样就可以生成商店1.2的需求函数为

D1(p1，p2)=

p2p1t

2tpp2t D2(p1，p2)=12t由此可以构建商店1，2的利润函数为

u1(p1,p2)=(p1c)*

p2p1t

2tpp2tu2(p1,p2)=(p2c)*1

2t*****设p(p1,p2)是此博弈的纳什均衡，均衡价格p1,p2应为以下联合最优化问题的解：

*p2p1tmaxu1(p1,p)max(p1c)* p1s1cp12t*2*p1p2tmaxu2(p,p2)max(p2c)* p2s2cp22t*1利用微积分求极值的方法，均衡价格p1,p2应为以下联立方程组的解

** 4

**u1(p1,p2)p2ct2p10

p12t**u2(p1,p2)p1ct2p20

p22t也就有

**2p1p2ctp2pct*1*2

**由以上联立方程可解得p1p2ct

**由此可得霍特林价格竞争博弈的纳什均衡为p*(p1,p2)(ct,ct)进而还可以算出两**个商店的均衡利润为u1u2t/2

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