双曲线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案

1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1PF22aF1F2（a为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。

当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（b2c2a2，其中|F1F2|=2c）

x2y2焦点在x轴上：221（a＞0，b＞0）

aby2x2焦点在y轴上：221（a＞0，b＞0）

ab - 1 - （1）如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。 a不一定大于b。

x2y2x2y21 （2）与双曲线221共焦点的双曲线系方程是2akb2kabx2y21(mn0) （3）双曲线方程也可设为：mn需要更多的高考数学复习资料

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或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线

22x0y0x2y2点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部221

abab22x0y0x2y2点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部221

abab22x0y0x2y2点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)上2-2=1

abab2、直线与双曲线 代数法：

x2y2设直线l:ykxm，双曲线221(a0,b0)联立解得

ab(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20 （1）m0时，bbk，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； aabbk，k，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；

aa（2）m0时，

k存在时，若b2a2k20，k b，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于a- 2 - 一点；

若b2a2k20，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)4a2b2(m2b2a2k2)

0时，m2b2a2k20，直线与双曲线相交于两点； 0时，m2b2a2k20，直线与双曲线相离，没有交点；

m2b20时mbak0，k直线与双曲线有一个交点；

a222222k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；

或m直线与双曲线相交于两点；a ma

3、过定点的直线与双曲线的位置关系：

x2y2设直线l:ykxm过定点P(x0,y0)，双曲线221(a0,b0)

ab（1）当点P(x0,y0)在双曲线内部时：

bbk，直线与双曲线两支各有一个交点； aabk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

abbk或k或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；

aa（2）当点P(x0,y0)在双曲线上时：

b2x0bk或k2，直线与双曲线只交于点P(x0,y0)；

aay0bbk直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； aab2x0b2x0bbk2（y00）或k2（y00）或k或k不存在，直线与双曲线在一

aaay0ay0支上有两个交点；

当y00时，kb或k不存在，直线与双曲线只交于点P(x0,y0)； abbk或k时直线与双曲线的一支有两个交点；

aabbk直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； aa（3）当点P(x0,y0)在双曲线外部时：

- 3 - 当P0,0时，

bbk，直线与双曲线两支各有一个交点； aabbk或k或k不存在，直线与双曲线没有交点；

aa当点m0时，

m2b2时，过点P(x0,y0)的直线与双曲线相切 k2a kb时，直线与双曲线只交于一点； a需要更多的高考数学复习资料

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或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网 四、双曲线与渐近线的关系

x2y2x2y2b1、若双曲线方程为221(a0,b0)渐近线方程：220yx

abaaby2x2y2x2a2、若双曲线方程为221（a＞0，b＞0）渐近线方程：220 yx

bababxyxyb3、若渐近线方程为yx0双曲线可设为22, 0。

abaab22x2y2x2y24、若双曲线与221有公共渐近线，则双曲线的方程可设为22（0，焦点在

ababx轴上，0，焦点在y轴上） 五、双曲线与切线方程

xxyyx2y21、双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021。

ababxxyyx2y22、过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021。

ababx2y23、双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2。

ab - 4 - 需要更多的高考数学复习资料

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六、双曲线的性质

标准方程（焦点在x轴） 双曲线 x2y221(a0,b0) 2ab标准方程（焦点在y轴） y2x221(a0,b0) 2ab第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。MMF1MF22a2aF1F2 P yy x yyx P F2x F1 F2 F1x定义 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当e1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e1）叫做双曲线的离心率。 P yy P xP x P yF2 yx F1 F2 F1x范围 xa，yR ya，xR - 5 - 对称轴 对称中心 x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 原点O(0,0) 焦点坐标 F1(c,0) F2(c,0) F1(0,c) F2(0,c) 焦点在实轴上，ca2b2；焦距：F1F22c 顶点坐标 离心率 （a,0） (a,0) e(0, a,) (0，a) c(e1)， c2a2b2， e越大则双曲线开口的开阔度越大 aa2cx y准线方程 a2c 22a准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c2a顶点到准线的距顶点A1（A2）到准线l1（l2）的距离为a c离 顶点A1（A2）到准线l2（l1）的距离为a2ca b2cc2a焦点到准线的距焦点F1（F2）到准线l1（l2）的距离为c 离 渐近线方程 共渐近线的双曲线系方程 焦点F1（F2）到准线l2（l1）的距离为ayb虚x () a实2cc xby (虚) a实x2y22k（k0） 2aby2x22k（k0） 2abx2y2双曲线221与直线ykxb的位置关系： abx2y21利用a2b2转化为一元二次方程用判别式确定。 直线和双曲线的ykxb位置 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB的弦长AB1k2(x1x2)24x1x2 通径：ABy2y1 过双曲线上一点的切线 x0xy0y21 或利用导数 2aby0yx0x21 或利用导数 2ab- 6 - 七、 弦长公式

1、若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标， 则

AB(x1x2)2(y1y2)2，ABk21x1x2k21x1x224x1x21k22， |a|若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB111yy11222kky1y24y1y2。

2b22、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长|AB|。

a3、若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝1k2y1y2。

4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 八、焦半径公式

x2y2双曲线221（a＞0，b＞0）上有一动点M(x0,y0)

ab当M(x0,y0)在左支上时|MF1|ex0a,|MF2|ex0a 当M(x0,y0)在右支上时|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

注：焦半径公式是关于x0的一次函数，具有单调性，当M(x0,y0)在左支端点时

|MF1|ca，|MF2|ca，当M(x0,y0)在左支端点时|MF1|ca，|MF2|ca 九、等轴双曲线

x2y221（a＞0，b＞0）当ab时称双曲线为等轴双曲线 2ab1。 ab； 2。离心率e2；

3。两渐近线互相垂直，分别为y=x； 4。等轴双曲线的方程x2y2，0；

5。 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线

- 7 - 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。 共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆； 它们的离心率的倒数的平方和等于1。

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精讲精练 x2y21的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3关【例】如图所示，F为双曲线C:916于y轴对称，则P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是（ ）

A．9 B．16 C．18 D．27 解： P1FP6FP2FP5FP3FP4F6，选C

y21上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，【例】设P为双曲线x122则△PF1F2的面积为 （ ）

A．63

B．12

C．123

D．24

解：a1,b12,c13,由|PF 又|PF1||PF2|2a2,② 1|:|PF2|3:2 ①

- 8 - 由①、②解得|PF1|6,|PF2|4.

|PF1|2|PF2|252,|F1F2|252,PF1F2为直角三角形，

SPF1F211|PF1||PF2|6412.故选B。 22【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

思路：时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． 解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.

y P O C A B x

设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，

PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

x2y2由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线221上，依题意得a=680, c=1020，

abb2c2a210202680253402x2y2故双曲线方程为2168053402

用y=－x代入上式，得x6805，∵|PB|>|PA|,

x6805,y6805,即P(6805,6805),故PO68010

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010m处.

22【例】已知双曲线x2y21的离心率e23，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是3.

ab32 - 9 - 求双曲线的方程； 解：∵（1）c2a33xy,原点到直线AB：1的距离dababa2b2ab3 c2b1,a2x3.. 故所求双曲线方程为 y21.

3【例】已知双曲线的渐近线方程是

为

yx2，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程

52222xy210x4y1，解：设双曲线方程为，当0时，化为42042510204，

y22x51，2当0时，化为1020， 44x2y2y2x211520205综上，双曲线方程为或

【例】已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程．

x2y2

解：设双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，

x2y2112－2＝1，ab

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：

x2y2222－2＝1，ab

y1－y2b2x1＋x2－12b24b2

两式作差得：＝＝＝2，

x1－x2a2y1＋y2－15a25a

－15－0

又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5.

－12－3x2y2

所以双曲线的标准方程是4－5＝1. 需要更多的高考数学复习资料

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- 10 - 答)

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y2x2【例】已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方

164程．

y2x2解： 法一：设双曲线方程为2－2=1.由题意易求c=25.

ab(32)24又双曲线过点（32，2），∴2－2=1. 又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.

aby2x2故所求双曲线的方程为－=1.

12822yxx2法二：设双曲线方程为－＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为

16k4k12y2－＝1.

8【例】已知双曲线的渐近线方程是yx，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程

2为 解：设双曲线方程为x24y2， 当0时，化为

x2y2y241，251020， 4y251，2当0时，化为1020， 44x2y2y2x21或1 综上，双曲线方程为520205【例】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C的方程；

(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围． x2y2

解析： (1)设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)．

由已知得a＝3，c＝2. 又a2＋b2＝c2，得b2＝1.

- 11 - x22

故双曲线C的方程为3－y＝1. y＝kx＋m

(2)联立x22

－y＝13

整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.

1－3k≠0

∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴， 22Δ＝12(m＋1－3k)＞01

可得m2＞3k2－1且k2≠3 ①

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)．

x1＋x26km3kmm则x1＋x2＝＝. 2，x0＝2，y0＝kx0＋m＝21－3k1－3k1－3k2m

＋11－3k21

由题意，AB⊥MN，∵kAB＝3km＝－k(k≠0，m≠0)． 整理得3k2＝4m＋1 ②

1－3k2将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.

11又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－4. ∴m的取值范围是－4，0∪(4，＋∞)．

【例】已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B点。

（1）求a的取值范围；（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值； （3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y值；若不存在，说明理由。

1x对称？若存在，请求出a的22

yax122解：（1）由2消去，得(3a)x2ax20（1） y23xy13a20依题意即6a6且a3（2）

02axx(3)1223a（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

xx2(4)123a2∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ OAOB ∴ x1x2y1y20

- 12 - 但y1y2a2x1x2a(x1x2)1 由（3）（4），x1x2∴ (a1)22a2xx， 123a23a223a2a2a3a210 解得a1且满足（2）

11x对称，则直线yax1与yx垂直 22（3）假设存在实数a，使A、B关于y∴ a11，即a2 直线l的方程为y2x1 2将a2代入（3）得x1x24 ∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为

y2213

但AB中点(2,3)不在直线y称。

11x上，即不存在实数a，使A、B关于直线yx对22【例】已知双曲线C的中心是原点，右焦点为FvA(32,0)的直线l的方向向量e(1,k)。

3，0，一条渐近线m:x+2y0,设过点

（1） 求双曲线C的方程；

（2） 若过原点的直线a//l，且a与l的距离为6，求K的值； （3） 证明：当k2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6. 2解：（1）设双曲线C的方程为x22y2(0) 需要更多的高考数学复习资料

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x23，解得2，双曲线C的方程为y21 22（2）直线l:kxy32k0，直线a:kxy0 由题意，得

|32k|1k26，解得k2 2（3）证明 方法一 设过原点且平行于l的直线b:kxy0

- 13 - 则直线l与b的距离d232|k|时，d6 又双曲线C的渐近线为,当k221kx2y0

 双曲线C的右支在直线b的右下方， 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6。

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6 方法二 假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为

6，则

|kx0y032k6(1)2 1k22(2)x02y02由（1）得y0kx032k61k2 设t32k61k2，

22k2122当k时，t32k61k0； t32k61k60

2223k1k2将y0kx0t代入（2）得(12k2)x04ktx02(t21)0

k2,t0， 12k20,4kt0,2(t21)0 方程(*)不存在正根，即假设不2成立，

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6

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x22

【例】设双曲线C：a2－y＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

5→→

(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA＝12PB，求a的值．

- 14 - x22

解： (1)将y＝1－x代入双曲线a2－y＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 ①

1－a≠0

所以4， 解得0＜a＜2，且a≠1，又双曲线的离心率 22

4a＋8a(1－a)＞01＋a2

e＝a＝16＋1，0＜a＜2且a≠1， ∴e＞a22且e≠2. 2

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．

5→55→

∵PA＝12PB，∴(x1，y1－1)＝12(x2，y2－1)．由此得x1＝12x2由于x1，x2都是方程①的两根，

222－2a1752a2a289222289且1－a≠0，∴a＝169，∴a

12x2＝1－a2，12x2＝－1－a2. 消去x2，得－1－a2＝60，∴

1717＝±. 由a＞0，得a＝

1313.

【例】已知倾斜角为45的直线l过点A(1,2)和点B，B在第一象限，|AB|32. (1) 求点B的坐标；

x2(2)若直线l与双曲线C:2y21(a0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为(4,1)，

a求a的值；

(3)对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB距离. 已知点P在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段AB的距离h关于t的函数关系式.

yx3解：(1) 直线AB方程为yx3，设点B(x,y)，由及x0，y0得x4，22(x1)(y2)18y1，

点B的坐标为(4,1) yx326a21xx4，（2）由x2得，设，则E(x,y),F(x,y)(1)x6x10021211221a2a2y1a2得a2 （3）(解法一)设线段AB上任意一点Q坐标为Q(x,x3)，|PQ|(tx)2(x3)2，

(t3)32)(1t4)， 记f(x)(tx)2(x3)22(xt222|t3|334时，即当1t， 1t5时，|PQ|minf(t2)2234，即当tt5时，231，即当tt1时，2f(x)在[1,4]上单调递减，∴|f(x)在[1,4]上单调递增，|PQ|minf(4)(t4)21；

PQ|minf(1)(t1)24 - 15 - (t1)24t1;|t3|1t5; 综上所述，h(t)2(t4)21t5.(解法二) 过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于A'(1,0)、B'(5,0)，

当点P在线段AB'上，即1t5时，由点到直线的距离公式得：|PQ|min|t3|2；

当点P的点在点A'的左边，t1时，|PQ|min|PA|当点P的点在点A'的右边，t5时，|PQ|min|PB|(t1)24t1;|t3|1t5; 综上所述，h(t)2(t4)21t5.(t1)24； (t4)21 x2y2

【例】设A，B分别为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程；

3

(2)已知直线y＝3x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标． 解：(1)由题意知a＝23，∴一条渐近线为y＝

b23

x.

|bc|x2y22

即bx－23y＝0.∴2＝3.∴b＝3∴双曲线的方程为12－3＝1.

b＋12(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程代入双曲线方程得x2－163x＋84＝0，

x043y0＝3，

3，y1＋y2＝12.∴x2

y200－123＝1.

则x1＋x2＝16

x0＝43，

∴ y＝3.0

∴t＝4，点D的坐标为(43，3)． 需要更多的高考数学复习资料

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- 16 - 方法回顾 1. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交。

2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。（内切：P在右支；外切：P

在左支）

x2y23. 若P0的双曲线的切线方程是0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过Pabx0xy0y21。 2abx2y24. 若P外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）

ab为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

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x0xy0y21。 2ab请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答)

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x2y25. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一

ab6. 点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2。

7. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连

结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF。 8. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。

x2y29. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中

ab点，则KOMKABb2x0b2x02，即KAB2。 ay0ay0x2y210. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

ab - 17 - x0xy0yx02y02222。 2abab

- 18 -