欲穷千里目 更上一层楼——例谈高等数学思想在高考中的体现

２Ｏ１０年第３期　中学数学教学　３１　欲穷千里目　更上一层楼　——例谈高等数学思想在高考中的体现　浙江省象山中学　杨冬梅　（邮编：３１５７００）　近年来，高考试卷中带有高等数学背景的试　题越来越多．这些试题精心设计、新颖独特，对学　生思维的抽象性、逻辑性，以及学生理解力、自学　能力都提出了更高的要求，为高考压轴试题的命　制提供了新的背景和思路．这主要源于两个因　素：一是高考题要考查学生的创新学习的能力，　这就需要有一个比较公平又有区分度的知识背　景，而高等数学的一些问题可以通过初等数学的　方法和手段解决，是考查学生高等数学学习潜能　的良好素材；二是随着高考命题改革的逐步深　入，自主命题的省市越来越多，命题组成员中有　较多的大学老师，他们在命题时受自身研究背景　的影响，因此一些具有高等数学倾向的问题逐步　走进高考．笔者就最近几年高考常出现的几个典　型背景与同行分享．　１　高等数学背景　１．１　群论中的“群、域”——闪亮登场　高等数学中对于数域的定义是：设Ｃ是由一　些复数组成的集合，其中包括０与１，如果Ｃ中任　意两个数的和、差、积、商（除数不为０）仍是Ｃ中　的数，则称Ｃ为一个数域．　以群、域及一些运算规则为背景的高考试题　是目前的新亮点，多以信息题的形式出现，例如　２００６年辽宁高考卷第５题、２００６年广东高考卷第　１０题、２００６年四川高考卷第１６题、２００８年福建高　考卷第１６题、２００９年浙江高考卷第ｌＯ题等，此类　题目的背景对所有的考生来说都是公平的、新颖　的，解答没有现成的套路和招式，需要学生自主　学习新的定义，从题目给出的信息提取所需知　识，再按题目要求，运用整合得到的知识去分析　问题，才能顺利的解答这些题目．下面以２００９年　浙江高考题为例．　例１（２００９年浙江卷）对于正实数ａ，记Ｍｏ　为满足下述条件的函数，（ｚ）构成的集合：ＶＸ　、　２∈Ｒ且　２＞ｚ１，一口（ｚ２一ｚ１）＜ｆ（ｘ２）一　ｆ（ｘ　）＜口（　。一　），下列结论中正确的　是（　）　Ａ．若厂（ｚ）Ｅ　Ｍｏ　，ｇ（ｚ）Ｅ　Ｍｏ　，贝０　’（　）・　ｇ（－ｚ）Ｅ　Ｍｏ　Ｂ．若厂（　）∈Ｍ　，ｇ（　）∈ｍｏ。，且ｇ（　）≠　ｒ，～、　０，则　∈Ｍ　ｇ　ｚ　０　Ｃ．若－厂（ｚ）Ｅ　，ｇ（　）∈ｍｏ。，则　’（　）＋　ｇ（　）Ｅ　Ｍｏ．＋ａ２　Ｄ．若ｆ（ｘ）Ｅ　Ｍｏ　，ｇ（　）∈　，且口ｌ＞ａｚ，　贝０＿厂（　）一ｇ（ｚ）Ｅ　ｍｏ，　分析　对于一ａ（ｘ２一　１）＜ｆ（ｘ２）一ｆ（ｘ１）　＜ａ（ｘ２一　Ｉ），　即有一　＜　兰　二　＜。，令　２一　ｌ　二　：：：　，有－－Ｏｌ＜ｋ＜。，不妨设　．Ｔ２一　ｌ　厂（　）Ｅ　，ｇ（ｚ）Ｅ　ｍｏ。，即有　一ａｌ＜ｋ　ｒ＜口ｌ，一ａ２＜ｋ　＜ａ２，因此有　一ａｌ—ａ２＜　，＋足　＜ｄｌ＋ｔ２２，因此有　厂（　）＋ｇ（１ｚ）Ｅ　Ｍｏ１十。。．　点评　本题以高等数学中《近世代数》的　“域”为背景，考查了学生对所给出的概念的理解　和简单的应用能力．解题关键就是对“域”的理　解．近年来，以高等数学为背景的知识和思想方　法的考题已渗透到高考命题中．　１．２　拉格朗日中值定理——亮剑出击　设函数ｙ一厂（ｚ）满足如下条件：（１）在闭区　间［ｎ，６］上连续；（２）在开区间（口，６）内可导，则　在（口，６）内至少存在一点　，使得厂（６）一厂（ａ）＝＝＝　ｆ　（∈）（６一ｎ），我们称上式为拉格朗日公式．　拉格朗日中值定理是高考试题中设置高等　数学背景的热点素材，犹如一把亮剑．比如２００６　年全国高考卷理第２１题、２００６年四川高考卷第　２２题、２００６年北京理科卷第６题等，都含有拉格　朗日中值定理的背景，在编制以拉格朗日中值定　理为背景的试题时，通常以不等式恒成立问题为　基本切入点，这类题目具有一定的深度，遵循“在　知识交汇处设计试题”的命题原则，整合数学各　个知识点之间的内在联系，既符合高考命题以　“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点．　下面就２００６年北京理科卷第６题加以讨论．　例２（２００６年北京卷）在下列四个函数中，　满足性质：“对于区间（１，２）上的任意　、　（　３２　中学数学教学　２０１０年第３期　≠ｚｚ）．Ｉ　ｆ（ｘ　）一ｆ（ｘ　）Ｉ＜Ｉ．３２　一　ｊ恒成立”　的只有　Ａ．，（　）一一１　．ｇ（丢）一一　１，当且仅当　—ｌ—ｚ即　一　１时　．　Ｂ．厂（ｚ）一ｊ　Ｄ．－厂（　）＝＝＝３２。　等号成立，故－厂（　）一ｘｌｏｇ２　＋（１一ｘ）ｌｏｇ２（１一　３２　ｚ）　（Ｏ＜　＜１）的最小值为一　１（ＩＩ）由（工）知ｇ（　）一Ｍｏｇ。　在（Ｏ，１）上为　凹函数，故有　ｇ（Ｐ１）十ｇ（Ｐ２）＋…＋ｇ（Ｐ２一）　２”　Ｃ．ｆ（ｘ）一２　分析　不妨设ｚ　＜　，利用拉格朗日定理可　得ｆ（ｘ２）一厂（ｚ１）一厂（　）（ｚ２一　１）且　∈（１，２）时，　四个选项的导数／　（　）一一吉Ｅ（一１，一÷），　、　１，　厂２（９—１，厂３（　）一２　ｌｎ２∈（１ｎ４，ｌｎ１６），ｆ　４（　）一　≥ｇ（　）一ｇ（　）一一参，　２　Ｅ（２，４），故选Ａ．　１．３　函数的凸凹性——底蕴厚重　设函数厂（－ｚ）定义在区间（ｎ，６）上，若对于任　意的两点　、　：Ｅ（ｎ，６）及任意的０＜　＜１都　有厂（　１＋（１一　）　２］≤Ａ　（　１）＋（１一　）ｆ（ｘ２），　则称厂（ｚ）是（ａ，６）上的凹函数．特别地，当Ａ一　１　时，上式为，（旦弓　）≤　．　类似地，可以给出凸函数的定义，函数的凹　凸性是高等数学中较为重要的概念，作为函数的　重要性质，底蕴厚重，在高考、数学竞赛等命题中　深受命题者的青睐，以函数的凹凸性为背景的试　题屡见不鲜，比如１９９４年全国高考卷第２１题、　２００２年北京高考卷理第１２题、２００５年湖北高考　卷第２２题、２００５年全国高考卷工理第２２题、　２００６年四川高考卷第２２题、２００８年北京高考卷　第１３题等，这些试题多数直接以凹、凸函数定义　的基本形式编制而成，既丰富了试题的内涵，又　给考生展现了一个公平而新颖的背景，提供给学　生富有拓展的空间，在选拔学生上有良好的区分　度．２００５年全国高考卷理第２２题就是以凸函数　背景的试题．　例３（２００５年全国卷）（工）设函数厂（ｚ）一　Ｍｏｇ２ｏＺ．＋（１－－ｘ）ｌｏｇ２（１－－ｘ）（Ｏ＜３２＜１），求＿厂（１ｚ）　的最小值；　（ＩＩ）设正数Ｐ　，Ｐ：，Ｐ。，…，Ｐｚ　满足Ｐ　＋Ｐｚ　＋Ｐ。＋…＋Ｐ２一一１，证明：　Ｐ１ｌｏｇ２Ｐ１＋Ｐ２ｌｏｇ２Ｐｚ＋Ｐ３ｌｏｇ２Ｐ３＋…＋　Ｐ２　ｌｏｇ２Ｐ２　≥一　．　分析　（Ｉ）由题意，设ｇ（ｃｃ）一ｘｌｏｇ　ｚ，则当　０＜ｚ＜１时，ｇ　（ｚ）一ｌｏｇ２ｚ＋ｌｏｇ２ｅ，　（　）一　ｌｏｇ２ｅ＞０，所以当０＜　＜１时ｇ（ｚ）＝Ｍｏｇ２　为凹函数．　・・．・————．　——　————一　≥ｇｆｇＩ　　９　、）＝　Ｊ—　。．・Ｐｌ　ｌｏｇ２Ｐ１＋Ｐ２ｌｏｇ２Ｐ２＋Ｐ３ｌｏｇ２Ｐ３＋…＋　Ｐ２　ｌｏｇ２Ｐ２ｎ≥一　．　１．４　函数的不动点——永恒的热点　设函数厂（ｚ）的定义域为　，若存在　。Ｅ　Ｉ，　使厂（　。）一ｚ。成立，则称ｚ。为函数厂（　）的一个　不动点．　函数的不动点是高等数学里的一个极其重　要的知识点，高考永恒的热点，主要是研究一个　函数的值与自变量的值相等的点，此类问题一般　采用求导法．如２００５年重庆高考卷第２２题、２００６　年上海高考卷第２２题、２００６年广东高考卷第１８　题、２００７年全国高考卷第２１题、２００７年江西高考　卷第２２题、２００８年陕西高考卷第２２题、２００８广东　高考第２１题、２００９年全国数学联赛一试解答第２　题等．下面以２００８广东高考第２１题加以讨论．　例４（２００８年广东卷）设Ｐ、ｑ为实数，口、口是　方程　一　＋ｑ一０的两个实根，数列｛ｚ　）满足　ｌｚｌ—Ｐ，Ｘ２一Ｐ　一ｑ，　一　，ｒｌ一　２（ｎ＝＝＝３，　４，…）．　（１）证明：ａ＋卢一Ｐ，　一ｑ；　（２）求数列｛ｚ　）的通项公式；　（３）略　解　（１）不妨设ａ＜口，由求根公式，得　ａ一ｐ－４ｑ，　４ｑ——￣　—一，　一ｐ—＋——／￣　—一，　‘・・ａ＋ｐ—Ｐ，ｑ８一ｑ，　（２）设ｚ　一趼　１一ｔ（ｘ　一ｌ一盯　２），贝０　ｚ　一　（ｓ＋￡）　，ｒｌ一对ｚ　一２，由　：＝＝　ｌ一　２，得　｛　十　一Ｐ，消去ｆ，得　Ｉ　ｓｔ—ｑ　Ｓ　一ｐｓ＋ｑ一０，故５是方程　一　＋ｑ一０　的根，由题意可知，Ｓ　一ａ，Ｓ：一　①当。≠ｐ时，此时方程组｛　＋　Ｓｔ＝＝＝ｑ　的解记　为　ｓｚ，２　２０１０年第３期　中学数学教学　３３　‘．．１ｚ　～　１一ｐ（ｘ　一１一　一２），ｚ　一Ｊ８ｒ　一１一　ａ（ｘ　一１一压ｚ　２），　即｛　一ｔ　一　）、｛　一ｔ　ｚ　）分别是公比为　５　一ａ、ｓ　一　的等比数列，　由等比数列性质可得ｚ　一盯一　一（　ｚ一　时１）　，　一　，ｒｌ一（ｚ２～　１）ａ一　，　两式相减，得　（』９一ａ）ｘ．－ｌ一（ｘ２一　１）　～一（ｘ２　一触１）ａ　．　。‘．ｚ２一Ｐ　一ｑ，　ｌ—Ｐ，　。．．　２一ａ。＋　＋　，　ｌ—ａ＋　，　‘．．（ｚ。一　－）　一　・　。一　，　（．ｚ２一｜８　ｌ＿）口　ｒ　一ａ　・口　ｒ　一ａ”，　‘．．（　—ａ）ｘ　一１一　一ａ　，即　一口”　计　．　一ａ一再珏——ａ　”　一—　珏——ａ　’　②当ａ一口时，即方程ｚ。一　＋ｑ一０有重　根，故户。～４ｑ一０，　即（ｓ＋ｆ）　一４ｓｔ＝０，得　（ｓ—ｆ）　一０，故Ｓ—ｔ，不妨设ｓ—ｔ—ａ，由①　可知　一　一（　２一　１）　．　’’．口＝口，．。．　一　１＝（ｚ２一舛１）ａ　。＝口”　即　一　＋ａ　，等式两边同时除以ａ”，得　一　Ｘｎ－－１＋１，即　一鲁一１Ｉ　，　・．．数列｛　｝是以１为公差的等差数列，　・．．冬一　＋（　一１）×１一　＋　～１　＝　＋１，　。．．ｚ　＝ｎＯ：”＋口ｎ．　综上所述，有　ｚ　一　【撒ｎ＋Ｃｔｎ，（　一ｐ）　１．５　李普希茨函数——清澈见底　对于函数　一厂（　），如果存在一个正常数　ｎ，使得定义域Ｄ内的任意两个不等的值　、ｚ　，　都有Ｉ　ｆ（ｘ　）一ｆ（ｘ　）Ｉ≤。ｌ　ｚ　一　Ｉ成立，则称　函数　一，（ｚ）为Ｄ上的李普希茨函数．　李普希茨函数的形式犹如一杯清水，清澈见　底．现以２００３年北京高考第２２题为例．　例５　设Ｙ一，（ｚ）是定义在区间［一１，１］上　的函数，且满足条件：　（ｉ）厂（一１）＝－厂（１）一０；　（ｉｉ）对任意的“、　∈［～１，１］，都有ｌ＿厂（“）一　／　（　）１＜ｌ　Ｕ一７３　１．　（工）证明对任意的２Ｃ∈［一１，１］，都有ＪＴ一１　≤－厂（ｚ）≤１一ｚ；　（Ⅱ）证明对任意的“、　∈［一１，１Ｊ，都　有ｌ，（“）一厂（　）ｌ≤１；　（Ⅲ）在区间［一１，１］上是否存在满足题设条　件的奇函数ｙ一厂（　）使得当“、　∈ｆ　０，÷｝且　Ｕ≠７３，Ｉ厂（“）一厂（　）１＜ｌ　Ｕ一　ｌ；Ｕ、７．２∈　ｆ寺，１　ｆ且“≠　，ｆ厂（“）一厂（口）ｆ＝＝＝ｆ“一　ｆ．　分析　（Ｉ）由题设条件可知，当　∈［一１，　１］时，有Ｊ－厂（ｚ）Ｊ：＝＝Ｉ－厂（　）一，（１）ｌ≤Ｉ　ｚ一１　５—　１一ｚ，即ｚ一１≤－厂（ｚ）≤１一　．　（１１）对任意的Ｕ、　∈［一１，１］，当　①｝　一７３　Ｉ≤ｌ时，有Ｊ＿厂（“）一厂（　）Ｊ＜　　ｌＵ一　ｌ≤１．　②当１＜ｌ“一　１≤２时，Ｕ・　＜０，不妨设　Ｍ∈［一ｌ，Ｏ），７３∈（Ｏ，１］，则７２一“＞１，　从而ｌ　（“）一厂（　）ｌ＜Ｉ，（“）一，（一１）１　＋ｌ＿厂（　）～　（１）ｌ≤ｌ“＋１　１＋ｌ　７３＋１　ｌ一２一　（７３一“）＜１．　综上可知，对任意的Ｕ、７３∈［一１，１］，都有　ｌ－厂（“）一＿厂（　）ｌ＜ｌ　Ｕ—　１．　（Ⅲ）满足所述条件的函数不存在．理由如　下：假设存在函数，（　）满足条件，则由１，（“）一　厂（　）ｆ—ｆ“一　ｆ，　“、　∈｝　１，１　ｆ得　Ｉ　（丢）一ｆ（１　ｌ—Ｉ　１一　ｌ一号．　又－厂ｃ　一。，所以Ｉ　（丢）ｌ一丢　又因为　厂（　）为奇函数，所以－厂（０）一０．由条件　厂（“）一　ｆ（ｖ）ｌ＜Ｉ　Ｕ－７２　Ｉ　∈［ｏ，专　厂　１、１Ｊ　　Ｉ一　ｆ厂（÷）一厂ｃ。，ｆ＜　１，即｛／（丢）ｆ＜　１　此为矛盾，因此假设不成立，即这样的函数　不存在．　点评　由试题中函数／（．ｚ）满足的条件（ｉｉ）　可联想到高等数学中的李普希茨函数．　２　破解方法　与高等数学有密切联系的问题，这样的问题　不是高等数学问题的简单“下嫁”，而是问题的背　景源于高等数学，命题者通过初等化的处理与巧　妙设计，潜移默化地渗透高等数学中的一些观点　与方法．一般而言，有以下三种方式：一是引进高　３４　中学数学教学　２０１０年第３期　试题因变式而精彩　课堂因反思而高效　江苏省通州高级中学　张　建　（邮编：２２６３００）　“教”与“学”如同教学质量的两只翅膀，只有　师与生双翅有力，教与学两翼互动，才能使教学质　量飞扬．在解题教学中教学反思必须“教”与“学”　的粗细忽略不计）．　分析　这是江苏省南京市２００９年高三期末　调研测试题中的一道考题，是一道三角函数模型　并重，“教”与“学”有机结合．反思教学，既要强化　的应用题，第（１）问需过建模关，第（２）问需过阅　教师“教”的反思，又要关注学生“学”的反思．这样　读分析关和运算关．应用题教学是高三数学复习　既能磨砺教师的教学本领，又能锤炼学生的学习　课的难点之一，我们要度过解应用题的这三关．　能力．下面就一道试题的变式教学，谈谈教与学的　解　（１）由题意得：　双重反思，希望能带给读者一点点启示．　一１　呈现典例　南＋　，０＜０＜号・　例　走廊的示意图如　（２）解法一　通分得：ｚ（　）一　＋　一　图所示，其两边走廊的宽　度均为２ｍ．　２×　Ｓ１ｎＵｃｏｓ　，换元￡一ｓｉｎ０＋ｃｏｓ０，因０＜０＜　（１）过点Ｐ的一条直　线与走廊的外侧两边交于　罢，则ｆ∈（１，侗，则ｓｉｎ０ｃｏｓ　一　，　Ａ、Ｂ两点，且与走廊的一　得ｚ（　）一２　ｘ　一４×＿＿丁１　，再对　—　ｆ　一ｌ　ｌ　边的夹角为ｏ（ｏ＜０＜号）．将线段ＡＢ的长度ｚ　丁　一了　表示为０的函数；　￡一÷，ｆ∈（１，伺，运用求导或直观观察等手段，　（２）一根长度为５ｍ的铁棒能否水平（铁棒与　地面平行）通过该直角走廊？并请说明理由（铁棒　根据单调性来求最值，得　等数学中的有关概念和运算，这些概念和运算有　等知识交叉点的研究性学习，优化知识结构，提　的是初等数学内容的延伸和拓展，有的则是以初　高高等数学素养，认真研究高考试题，善于用高　等数学内容为载体在更高以及更广泛的领域内　等数学的知识、观点和方法，以一种居高临下的　进行抽象和概括；二是初等化处理高等数学中的　态势驾驭初等数学的内容，使初等数学的教学达　一些性质、定理及公式，处理的方式是特殊化处　到理想境界，进而不断提高数学教学的质量　理、变式处理；三是将高等数学的一些思想和方　参考文献　法引入初等数学，巧妙地达到解题的目的．　１　蔡飞庆．欲穷千里目更上一层楼一——例谈用高等数　作为学生可以不用知道高等数学背景就可　学观点指导高中数学教学［Ｊ］．中学数学研究，　完成解答，但作为一名优秀的中学教师必须掌握　２００８，（９）．　高等数学知识，能运用高等数学知识指导教学和　２　董裕华．高等数学背景下的高考数学命题探析ＥＪ］．中　研究工作，张奠宙先生曾指出“在日常的中学数　学数学杂志，２００７，（４）．　学教学中，能够用高等数学的思想、观点、方法去　３　任念兵．高等数学背景下的高考不等式问题［Ｊ］．数学　解释和理解中学数学问题的例子很多，重要的　教学研究，２００６，（３）．　是，作为一名数学教师应该具有这样的思维意　（收稿日期：２Ｏ１０—０３—２９）　识”因此建议教师在教学中要加大初等知识和高