《两角差的余弦公式》教案

第三章 第1节《两角差的余弦公式》教案

作者：何源麟

一、教材分析

本小节教材以本章开头的电视塔为实际问题引出关于两角角和、差的三角函数值的计算，首先从差角余弦公式开始，引用第一章中借助单位圆探究三角函数的想法，在单位圆中建立两角差，并寻找它的余弦线，用数形结合的方式探究两角差的余弦公式，然后，又应用刚刚学习的向量知识探究任意角的两角差的余弦公式，让同学们体会向量的在数学其他领域上的作用，最后以两个例题的求解过程展现两角差的余弦公式的实际应用价值。

二、教学目标

1. 知识与技能

(1)

掌握运用单位圆上三角函数基本知识和向量知识推出

两角差的余弦公式的探索过程。

(2)

了解两角差的余弦公式的意义，并能应用与简单计算。

2. 过程与方法

(1)

通过参与运用向量知识和三角函数基本知识推出差角

余弦公式的过程，进一步理解函数与向量的内在联系。

(2)

通过运用两角差的余弦公式技巧性的计算常见角度的

余弦值，理解两角差的余弦公式在实际问题中的应用广度，为学习其余三角函数公式打下根基。

3. 情感态度与价值观

经过本节课的学习，对该公式有个全面透彻的了解，进一步感受三角函数与其他函数的区别，并通过实例，体会三角函数的应用价值。

三、教学重难点

1. 教学重点：差角余弦公式在实例运算中的应用。 2. 教学难点：差角余弦公式的推导过程与方法。

四、教学过程

（一）导入新课

问题1：我们已经学习了cos60°=，cos30°=

21

√3，cos45°2

=

√2,2

但没有学习其他角的余弦值，比如：cos15°，cos75°那么，我们能否用学过的60°，30°，45°的余弦、正弦去表示cos15°，cos75°呢？

通过学生自主探究，板书cos15°=cos(60°−45°)，cos75°=cos(120°−45°)。

大家很容易认为cos(60°−45°)=cos60°−cos45° 容易验证得cos60°−cos45°<0，cos(60°−45°)>0所以cos(60°−45°)≠cos60°−cos45°

那么，我们一起来学习两的差的余弦cos（𝛼−𝛽）等于什么？ （二）新课教学

问题2：在第一章的学习中，我们用直角坐标系上的单位圆探究了三角函数，那么对于这个𝛼−𝛽的余弦的问题，我们能否也可以用单位圆来探索呢？这个问题无非就是在单位圆中建立角𝛼−𝛽，那我们该如何建立？请小组讨论一下。

1

总结学生讨论结果写出建立过程：

如图，设角α，βϵ(0，90°),且𝛼>𝛽,令角a的终边与单位圆的交点为为p1， ∠POP1=β则∠𝓍OP= 𝛼−𝛽.

问题3：我们已经建立了角𝛼−𝛽，下一步如何在单位圆中表示出cos（𝛼−𝛽）呢？

学生经过一番思考之后板书演示：

过点P作PM 垂直于x轴，垂足为M，显然OM就是角𝛼−𝛽的余弦线.

问题4：我们的最终目的是用𝛼和𝛽的正弦和余弦表示

cos（𝛼−𝛽）现在我们已经用OM表示了角𝛼−𝛽的余弦线，那我们能否用角𝛼，𝛽的正弦线、余弦线来表示OM呢？

学生讨论之后经行讲解：

过点P作PA 垂直于OP1.垂足为A.过点A 作AB 垂直于x轴，垂足为B.过点P作PC垂直于AB 垂足为C.那么

OA 表示cos𝛽，AP 表示sin𝛽,并且∠PAC=∠P1O𝓍=α. 于是

OM=OB+ BM =OB+CP =OAcos𝛼+ APsin𝛼

2

=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽

回顾该公式推导过程，点明此时三个角都是锐角

思考：对于任意的角𝛼，𝛽，以上公式是否成立呢？下面我们用向量的知识经行探究：

如图，在平面直角坐标系𝓍𝒪𝓎内作单位圆O，以𝒪𝓍为始边作角𝛼，𝛽.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B。

则向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴=(cos𝛼，sin𝛼)，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵=(cos𝛽，sin𝛽)

由向量数量积的坐标表示，有

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos𝛼，sin𝛼)∙(cos𝛽，sin𝛽)𝑂𝐴∙𝑂𝐵

=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽

⃗⃗⃗⃗⃗ =|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |∙cos𝜃，由图可知α−β=θ±而又有⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴∙𝑂𝐵2kπ，k∈Z，则

cos（𝛼−𝛽）=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽

所以对于∀ 𝛼，𝛽，有

cos（𝛼−𝛽）=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽。 该公式称之为两角差的余弦公式。 （三）巩固提高 1.

例题讲解

3

例1：利用差角余弦公式求cos15°的值。 引导学生用两种解法求解.

例2：已知sin𝛼=，𝛼𝜖(，𝜋)，cos𝛽=

5

2

4

𝜋

513

，𝛽是第三象限的

角，求cos（𝛼−𝛽）.

思考：本题为何要给出𝛼𝜖(，𝜋)

2𝜋

2. 课堂练习

运用今天学过的两角差的余弦公式计算下列各三角函数的值。。

（1） cos70°cos10°+sin70°sin10°

（2） cos105°

（四）小节回顾

现在学习了两角差的余弦公式，对于该公式的推导过程大家要熟练掌握；在给出一个余弦值函数，要灵活处理计算他的余弦值。

五、作业布置

1、请同学们自主推导两角差的余弦公示

2、思考如何根据两角差的余弦公式得出两角和差的正弦、正切，两角和的余弦？

六、教学反思

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