角平分线练习题

角平分线练习题

一．选择题（共22小题）

1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）

A．30° B．35° C．45° D．60°

3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）

A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD

C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE

4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（ ）

.

.

A．2 B．2 C．2 D．3

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（ ）

A．30 B．24 C．15 D．10

7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（ ）

.

.

A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF

9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（ ）

A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm

10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是

（ ）

A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点

11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）

A．6 B．12 C．18 D．24

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论： ①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；

.

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其中正确的是（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）

A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点

D．三边垂直平分线的交点

15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（ ）

A．SAS B．AAA C．SSS D．HL

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是（ ）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）

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A．1 B．2 C．3 D．4

18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论： ①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD， 四个结论中成立的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③

19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点

D．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个

21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则

.

.

△DAB的面积为（ ）

A．12 B．18 C．20 D．24

22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）

A．9

B．8 C．7 D．6

评卷人 得 分 二．填空题（共13小题）

23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE的长为 ．

24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 ．

25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于

.

.

D，且OD=6，△ABC的面积是 ．

26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是 ．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为 ．

28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB边的距离是 ．

29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE的长为 ．

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30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处．

31．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= ．

32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD的面积为 ．

33．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= ．

34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果 ，那么 ．

35．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为 ．

评卷人 得 分 .

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三．解答题（共5小题）

36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC；

（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

37．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OE是CD的垂直平分线．

38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．

39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．

（1）说明OF与CF的大小关系；

（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．

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40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：AC=AE；

（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

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2018年09月23日tcq372的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共22小题）

1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF=6， 故选：D．

2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）

A．30° B．35° C．45° D．60° 【解答】解：作MN⊥AD于N， ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD，

∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，

∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，

.

.

∴MN=MC，

∵M是BC的中点， ∴MC=MB，

∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB=∠DAB=35°， 故选：B．

3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）

A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD

C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE

【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线． A、OE是∠AOB的平分线，A正确； B、OC=OD，B正确；

C、点C、D到OE的距离相等，C不正确； D、∠AOE=∠BOE，D正确． 故选：C．

4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（ ）

.

.

A．2 B．2 C．2 D．3

【解答】 解：如图，过B点作BE⊥OA于E，

∵OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，BD=2， ∴BE=BD=2，

在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠A=45°， ∴AB=

BE=2

．

故选：C．

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵AB=8，CD=2，

∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°， ∴DE=CD=2，

.

.

∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8． 故选：B．

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（ ）

A．30 B．24 C．15 D．10

【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，∠C=90°， ∴DE=DC=3， ∵AB=10，

∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15． 故选：C．

7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

.

.

∴DE=CD，

∴S△ABD=AB•DE=×10•DE=15， 解得DE=3． 故选：A．

8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（ ）

A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF

【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE=DF，B正确，不符合题意； 在Rt△DBE和Rt△DBF中，

，

∴Rt△DBE≌Rt△DBF，

∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意， 2DF不一定等于DB，C错误，符合题意， 故选：C．

9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（ ）

A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm

.

.

【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB， ∴OM=ON=8cm， 故选：C．

10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是

（ ）

A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点

【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．

所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．

11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处

【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．

故选：D．

.

.

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）

A．6 B．12 C．18 D．24

【解答】解： 过D作DE⊥AB于E， ∵点D到边AB的距离为6， ∴DE=6，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD=DE=6， ∵CD=DB， ∴DB=12， ∴BC=6+12=18， 故选：C．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论： ①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE； 其中正确的是（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，

.

.

∴CD=DE，故①正确； 在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE，∠ADC=∠ADE， ∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确； AD平分∠CDE，故④正确； ∵∠B+∠BAC=90°， ∠B+∠BDE=90°，

∴∠BDE=∠BAC，故③正确；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：D．

14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）

A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点

D．三边垂直平分线的交点

【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，

根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C．

15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（ ）

.

.

A．SAS B．AAA C．SSS D．HL 【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠ADP=∠AEP=90°， 在Rt△ADP和△AEP中∴Rt△ADP≌△AEP（HL）， 故选：D．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是（ ）

，

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

【解答】解：过D作DE⊥AB于E，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D， ∴DE=DC=3cm， 故选：B．

17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是

.

.

（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，

∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD，又PD=2， ∴PE=PD=2． 故选：B．

18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论： ①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD， 四个结论中成立的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图， ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB

∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB； 而点E是BC的中点，

.

.

∴EC=EF=BE，所以③错误； ∴Rt△EFD≌Rt△ECD，

∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确； ∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；

∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确． 故选：A．

19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点

D．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点

【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）

.

.

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【解答】解：∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAE ∵∠C=90°，DE⊥AB ∴∠C=∠E=90° ∵AD=AD ∴△DAC≌△DAE ∴∠CDA=∠EDA

∴①AD平分∠CDE正确； 无法证明∠BDE=60°， ∴③DE平分∠ADB错误； ∵BE+AE=AB，AE=AC ∴BE+AC=AB

∴④BE+AC=AB正确；

∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B ∴∠BDE=∠BAC

∴②∠BAC=∠BDE正确． 故选：B．

21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则 △DAB的面积为（ ）

A．12 B．18 C．20 D．24 【解答】解：过D作DE⊥AB，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，

.

.

∴DE=DC=3， ∴△DAB的面积=故选：B．

22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）

，

A．9 B．8 C．7 D．6

【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2，

∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4， ∵△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积为10﹣4=6， ∴AC×DF=6， ∴AC×2=6， ∴AC=6 故选：D．

二．填空题（共13小题）

23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE的长为

．

.

.

【解答】解：作DF⊥AB于F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE=DF，

∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC，即×5×DE+×6×DE=9， 解得，DE=故答案为：

， ．

24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 3 ．

【解答】解：过C作CF⊥AO， ∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB， ∴CM=CF， ∵OC=5，OM=4， ∴CM=3， ∴CF=3，

.

.

故答案为：3．

25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是 96 ．

【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OM=ON=OD=6，

∴△ABC的面积为：×AB×OM+DO=

32×6=96．

BC×DO+

NO=（AB+BC+AC）×

故答案为：96．

26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是 42 ．

.

.

【解答】解：

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE=OD，OD=OF， 即OE=OF=OD=4，

∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC =×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD =×4×（AB+AC+BC） =×4×21=42， 故答案为：42．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为 4cm ．

【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2， ∴DC=4cm，

∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，

∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．

.

.

故答案为4cm．

28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB边的距离是 16 ．

【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离． ∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB， ∴DC=DE=16（角平分线性质）， 故答案为：16．

29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE的长为 3 ．

【解答】解：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠BAC=30°．

在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠DAE=30°， ∴DE=AD=3． 故答案为：3．

30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条

.

.

公路的距离相等，则可供选择的地址有 4 处．

【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE=PF，PF=PD， ∴PE=PF=PD，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个． 故答案为：4．

31．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= 120° ．

【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴点O是三个角的平分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=（180°﹣60°）=60°，

.

.

在△BCO中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣60°=120°． 故答案为：120°．

32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD的面积为 8 ．

【解答】解：作DH⊥AC于H，

∵CD是∠ACD的平分线，∠B=90°，DH⊥AC， ∴DH=DB=2，

∴△ACD的面积=×AC×DH=×8×2=8， 故答案为：8．

33．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= 150° ．

【解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC， ∴AD是∠BAC的平分线， ∵∠BAC=40°，

∴∠CAD=∠BAC=20°，

∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．

.

.

故答案为：150°

34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果 一个点在角的平分线上 ，那么 它到这个角两边的距离相等 ． 【解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．

35．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为 14 ． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BC=32，BD：CD=9：7， ∴CD=32×

=14，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=14，

即D到AB的距离为14． 故答案为：14．

三．解答题（共5小题）

36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC；

（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

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∴∠E=∠DFC=90°，

∴△BDE与△CDE均为直角三角形， ∵

∴△BDE≌△CDF，

∴DE=DF，即AD平分∠BAC；

（2）AB+AC=2AE．

证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠CAD， ∵∠E=∠AFD=90°， ∴∠ADE=∠ADF， 在△AED与△AFD中， ∵

，

∴△AED≌△AFD， ∴AE=AF，

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．

37．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OE是CD的垂直平分线．

【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴EC=DE，

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∴∠ECD=∠EDC；

（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL）， ∴OC=OD，

又∵OE是∠AOB的平分线， ∴OE是CD的垂直平分线．

，

38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．

【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H， ∵AC为∠BAD的角平分线， ∴CG=CH， ∵AB=AD，

∴△ABC面积=△ACD面积， 又∵AE=DF，

∴△AEC面积=△CDF面积，

∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积， △BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积， ∴△BCE面积=△ACF面积，

∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积， 四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积， ∴四边形AECF面积=△ABC面积，

又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积， 又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，

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∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．

39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．

（1）说明OF与CF的大小关系；

（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．

【解答】解：（1）OF=CF． 理由：∵BE=EO， ∴∠EBO=∠EOB，

∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴∠EBO=∠OBC， ∴∠EOB=∠OBC， ∴EF∥BC，

∴∠FOC=∠OCB=∠OCF， ∴OF=CF；

（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，

∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm， ∴ON=OM=4cm，

∴S△OBC=BC•OM=×12×4=24（cm2）．

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40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：AC=AE；

（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD， 在△ACD和△AED中

∴△ACD≌△AED， ∴AC=AE；

（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点， ∴AD=BD，

∴∠B=∠DAB=∠CAD， ∵∠C=90°， ∴3∠B=90°， ∴∠B=30°，

∵CD=DE=4，∠DEB=90°， ∴BD=2DE=8，

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由勾股定理得：BE=

=4．

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