小学奥数—数论之同余问题

余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，

即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

三、弃九法原理：

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

1.中国古代趣题：

中国数学名着《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5735，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。 最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

270321245k[3,5,7]233k[3,5,7]，其中k是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。 例题精讲：

【模块一：带余除法的定义和性质】

【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r． 【解析】 因为1992是a的46倍还多r,得到19924643......14，得192464314，所以a43， r14．

【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数． 【解析】 (法1)因为 甲乙1132，所以 甲乙乙1132乙乙12321088；

则乙(108832)1288 ，甲1088乙1000．

(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)倍，所以得到乙数10561288，甲数1088881000．

【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”

转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.

【例 1】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、

除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少

【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除

数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求

这2个自然数各是多少

【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到

x40y16x856,解方程组得，即这两个自然数分别是856，21. xy4016933y21【例 2】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以

19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】 设所得的商为a，除数为b．(19ab)(23ab)(31ab)2001，73a3b2001，由b19，

可求得a27，b10．所以，这三个数分别是19ab523，23ab631，31ab847。

【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等

的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．

【解析】 设这个自然数除以11余a(0a11)，除以9余b(0b9)，则有11aa93bb，即3a7b，

只有a7，b3，所以这个自然数为12784。

【例 3】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5

人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?

【解析】 由48412，4859.6知，一组是10或11人．同理可知48316，48412知，二组是

13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．

【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．

【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678，并且小于13(61)91；

又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583．

【模块二：三大余数定理的应用】

【例 4】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据

同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，594514，(56,14)14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】 (法1) 39336，1473144，(36,144)12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小

于除数，这个数是4,6,12；

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12．

【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同， 而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于

它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少

【解析】 设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n，则

． s17am19bn根据题意可知ambn，所以samsbn，即16a18b，得8a9b．所以a是9

81的倍数，b是8的倍数．此时，由ambn知nmabaaa．

99由于s为三位数，最小为100，最大为999，所以10017am999，而1m16， 所以17a117am999，10017am17a16，得到5a58，而a是9的倍数，所以a最小为9，最大为54．

1当a54时，nma6，而n18，所以m12，故此时s最大为175412930；

91当a9时，nma1，由于m1，所以此时s最小为1791154．

9所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．

【例 5】 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．

abba能被7整除，【解析】 即(10ab)能被7整除．所以只能有ab7，那么ab（10ba)9（ab）可能为92和81，验算可得当ab92时，ba29 满足题目要求，abba92292668

【巩固】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，

那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班

【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751和673334

的公约数，所求答案为17．

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数

是_________．

【解析】 因为1390313511392, 1458913903686，

由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)98，所以所求的最大整数是98．

【例 6】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________． 【解析】 找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2

的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2

的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003236672，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是415．

【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数

的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．

因为252507，25360253679， 所以这样的数组共有下面4个：2000,2003，1998,2000,2003 ，

2000,2003,2001,1995 ，1998,2000,2003,2001,1995．

【例 7】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数

之和是50，那么这个整数是______．

【解析】 (70110160)50290，50316......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能

是29和58，110581......52，5250，所以除数不是58．

70292......12，110293......23，160295......15，12231550，所以除数是29

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为

25，那么n=________

【解析】 n能整除639112925258．因为2538...1，所以n是258大于8的约数．显然，n

不

能大于63．符合条件的只有43．

【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码

的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，

2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。

【例 8】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、

26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．

【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以

他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332 (元) ．

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，

两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．

【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．

(151618192031)(12)119339...2，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能

是20 千克．

【例 9】 求2461135604711的余数．

【解析】 因为246111223...8，1351112...3，604711549...8，根据同余定理(三)，

2461135604711的余数等于83811的余数，而838192， 1921117...5，所以2461135604711的余数为5．

【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351除以17的余数．

【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除

以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1．

【巩固】 求31997的最后两位数．

【解析】 即考虑31997除以100的余数．由于100425，由于3327除以25余2，所以39除以25余8，

310除以25余24，那么320除以25余1；又因为32除以4余1，则320除以4余1；即3201能

被4 和25整除，而4与25互质，所以3201能被100整除，即320除以100余1，由于

1997209917，所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36729除以100

余29，35243除以100余43，317(36)235，所以317除以100的余数等于292943除以100的余数，而29294336163除以100余63，所以31997除以100余63，即31997的最后两位数为63．

【巩固】 2222除以13所得余数是_____. 2000个\"2\"【解析】 我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

【巩固】 求14389除以7的余数． 【解析】 法一：

由于1433mod7 (143被7除余3)，

所以14389389mod7 (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)

而36729，7291mod7（729除以7的余数为1）， 所以389363614个3635355mod7．

故14389除以7的余数为5.

法二：

计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

于是余数以6为周期变化．所以389355mod7．

【巩固】 （2007年实验中学考题）122232【解析】 由于122232200122002除以7的余数是多少

2001220022200220034005100120031335，而1001是7的倍

62001220022除以7的余数是0；

数，所以这个乘积也是7的倍数，故122232【巩固】 31303031被13除所得的余数是多少 【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，

5，12，8，1

时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，

以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，

则3130除以13的余数为12；

30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，9，10，1，4，3，12，9，10，

时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，

以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被

13除所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4； 所以31303031被13除所得的余数是124133．

【巩固】 (2008年奥数网杯)已知a200820082008个20082008，问：a除以13所得的余数是多少

【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008；

20082008200820082008100002008； 2008200820082008200820082008100002008；

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：

而2008除以3余1，所以a200820082008个20082008除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.

【巩固】 77777除以41的余数是多少

1996个7【解析】 找规律：741□7，7741□36，77741□39，777741□28，

7777741□0，……，所以77777是41的倍数，而199653991，所以77777可以

1996个7分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．

【巩固】 1122334420052005除以10所得的余数为多少

【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，

而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的． 首先计算112233442020的个位数字，

为1476563690163656749094的个位数字，为4， 由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是

1476523的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．

【例 10】 求所有的质数P，使得4p21与6p21也是质数．

【解析】 如果p5，则4p21101，6p21151都是质数，所以5符合题意．如果P不等于5，那么P

除以5的余数为1、2、3或者4，p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果p2除以5的余数为1，那么4p21除以5的余数等于4115除以5的余数，为0，即此时4p21被5整除，而4p21大于5，所以此时4p21不是质数；如果p2除以5的余数为4，同理可知6p21不是质数，所以P不等于5，4p21与6p21至少有一个不是质数，所以只有p5满足条件．

因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上89～98这

因数 十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．

【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的89～98

可以改换为1～10，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果： 进而得到本题的答案是：

因数 因数 因数 因数 【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式abcbcacab234235286 (其中abc)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少

【解析】 由于2342352862342352868(mod9)，abcbcacab(abc)3(mod9)，

于是(abc)38(mod9)，从而(用abc0,1,2,...,8(mod9)代入上式检验) abc2,5,8(mod9)…(1)，对a进行讨论：

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 如果a9，那么bc2,5,8(mod9)…(2)，又ca所以bc的个位数字为4，b的个位数字是6，

bc可能为41、72、83、64，其中只有(b,c)(4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有983839398 符合题意． 32824532如果a8，那么bc3,6,0(mod9)…(3)，又bc的个位数字为2或7，则bc可能为21、43、

62、76、71，其中只有(b,c)(2,1)符合(3)，经检验，abc821不合题意．

如果a7，那么bc4,7,1(mod9)…(4)，则bc可能为42、63，其中没有符合(4)的(b,c)． 如果a6，那么b5，c4，abcbcacab700600500210000000222334586，因此这时abc不可能符合题意．综上所述，abc983是本题唯一的解．

【例 11】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，a2，a5，则这个自然数是多少 【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．

既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是29023357的约数，又是23319538的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．

【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余

数，则这个自然数是多少

【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254后所得的余

数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．

【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少

【解析】 根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：

由于r12r2，r22r3，要消去余数r1, r2, r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 于是我们可以得到下面的式子：603AK1r1 9392A2K22r2

3934A2K34r3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A整除．

93926031275，3934603969，1275,96951317．

51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．

【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、2a、a，求这个自然数和a的值. 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：42952848，791、50021000，这样

这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.

将这三个数相减，得到84879157、1000848152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而57,15219，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a6时成立,所

以这个自然数是19，a6.

【模块三：余数综合应用】

【例 13】 着名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以

3所得的余数为多少

【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数

定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.

【巩固】 （2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是

前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数

【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．

所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

【例 14】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现

知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．

【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815，

既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18，设该数为a，则a18m1，即a18(m1)17（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．

【巩固】 (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人

的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是3k1BA型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．

【例 15】 (华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发

沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?

【解析】 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号

为2，3，4，…，B孔的编号就是圆圈上的孔数．

我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说，

小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍

数加1．

同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．

如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为a，则a15m1（m为非零自然数）而且a能被7整除．注意15被7除余1，所以156被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而157105已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是156191．

【巩固】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一

个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．

【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．

1～9共有9个数字，10～99共有90个两位数，共有数字：902180 (个), 100～999共900

个三位数，共有数字：90032700 (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702

个数能分成的组数是：702978 (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 ．

【例 16】 设2n1是质数，证明：12，22，…，n2被2n1除所得的余数各不相同．

【解析】 假设有两个数a、b，(1ban)，它们的平方a2，b2被2n1除余数相同．那么，由

同余定理得a2b20(mod(2n1))，即(ab)(ab)0(mod(2，由于2n1是质数，所以n1))由于ab，可知，ab0(mod(2n1))或ab0(mod(2n1))，ab均小于2n1且大于0，ab与2n1互质，ab也与2n1互质，即ab，ab都不能被2n1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．

【巩固】 试求不大于100，且使3n7n4能被11整除的所有自然数n的和． 【解析】 通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，

依次为：31为3，32为9，33为5，34为4，35为1，…，

因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地， 可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……； 于是3n7n4被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……； 这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意， 即n3,4,6,13,14,16,......,93,94,96时3n7n4能被11整除，所以， 所有满足条件的自然数n的和为：

346131416...9394961343...2831480．

【巩固】 若a为自然数，证明10(a2005a1949)．

【解析】 1025，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2(a2005a1949)．

a2005a1949a1949(a561)，如果a能被5整除，那么5a1949(a561)；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a56(a4)14，即14个a4相乘，所以a56除以5均余1，则a561能被5整除，有5a1949(a561)．所以5(a2005a1949)．

由于2与5互质，所以10(a2005a1949)．

【例 17】 设n为正整数，k2004n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值． 【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n被7除余数为2，被11除余数为3．

由于212被7除余2，而238被7除余1，所以n除以3的余数为1； 由于28256被11除余3，2101024被11除余1，所以n除以10的余数为8． 可见n2是3和10的公倍数，最小为3,1030，所以n的最小值为28．

【巩固】 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写

出一组这样的三个连续自然数．

【解析】 设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n1，n2．

依题意可知：15|n，17|n1，19|n2，根据整除的性质对这三个算式进行变换： 从上面可以发现2n15应为15、17、19的公倍数．

由于[15,17,19]4845，所以2n1548452k1 (因为2n15是奇数)，可得n4845k2415． 当k1时n2430，n12431，n22432，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．

【例 18】 (2008年西城实验考题)从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差

为13，则n的最大值为多少

【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两

个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余x序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取x个数，

2使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．

nn基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或1，两个长度差为1的序列，

1313要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为8895109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．

【巩固】 从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为

多少

【解析】 取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，

且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在12007中，除以15的余数为0的有151，152，…，15133，共有133个；除以15的余数为5的有1505，

1515，…，151335，共有134个；除以15的余数为10的有15010，15110，…，1513310，共有134个．所以N最大为134．

【例 19】 将自然数1，2，3，4……依次写下去，若最终写到2000，成为12319992000，那么这个自然

数除以99余几

【解析】 由于99911，可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以99的余数．实际上求

得这个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除以99的余数为3． 下面介绍另一种解法．

由于100a99aa，所以100a除以99的余数等于a除以99的余数．同样，10000a，1000000a……等数除以99的余数等于a除以99的余数．可知，一个自然数a，如果在它后面加上偶数个0，那么这个数除以99的余数等于a除以99的余数．

根据这一点，可以把12319992000分成若干个后面带有偶数个0的数之和．

由于12319992000的位数是奇数，那么对于组成12319992000的一位数1，2，3，……，9，可以分成10000，230000，450000，670000，890000；

00，110000，1200……，00，

对于其中的两位数10，11，12，……，98，99，可以分成1000980000，990000；

对于其中的三位数100，101，102，103，……，998，999，两两一组，可以分成1001010000，

1021030000，1041050000，……，9989990000；

00，10010000，

对于其中的四位数1000，1001，……，1999，2000，可以分成10000010020000，……，19990000，2000．

那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为12319992000，那么12319992000除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和．

由于这些数除以99的余数分别为1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中100101，102103，104105，……，998999是公差为2002的等差数列，共450项，可知所有这些余数的和为：

248804130，

248804130201除以99的余数，为3．

所以12319992000除以99的余数为3．

【巩固】 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：

试求这个多位数除以9的余数．

【解析】 以这个八位数为例，它被9除的余数等于19992000被9除的余数，但是由于1999

与1999被9除的余数相同，2000与2000被9除的余数相同，所以就与

19992000被9除的余数相同．

由此可得，从1开始的自然数

被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．

根据等差数列求和公式，这个和为：

12008200822017036，它被9除的余数为1．

另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成，……，，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同． 因此，此数被9除的余数为1．

【例 20】 (2008年清华附中考题)已知n是正整数，规定n!12令m1!12!23!3n，

2007!2007，则整数m除以2008的余数为多少 2007!2007

m1!12!23!3【解析】

2008能够整除2008!，所以2008!1的余数是2007．

【巩固】 1351991的末三位数是多少

【解析】 首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于135的末三位．

991的平方再乘以993995997999而993995997999993999995997

99300099399500099539930009939950002985，

其末三位为715105；

然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为5k (k为奇数)，

2由于5k25k22525k21，而奇数的平方除以8余1，所以k21是8的倍数，则25k212是200的倍数，设25k21200m，则5k2525k2125200m，所以它与105的乘积5k10525200m10521000m2625，

22所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625．

【例 21】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，

第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。

【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字

之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积， 即31031311001143217

所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360

【例 22】 设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位

数字之和为D，那么D

【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A、B、C、D

除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而2664除以9的余数为1，所以2200926334526即为5．

另一方面，由于20092009100002009108036，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324，即A72324；那么A的各位数字之和B9545，B的各

33425除以9的余数为25除以9的余数，

位数字之和C9218，C小于18且除以9的余数为5，那么C为5或14，C的各位数字之和为5，即D5．

课后练习：

练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和

等

于415，则被除数是_______． 【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为

（415488）（41）79，所以，被除数为7948324。

练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个

【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即

1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，19982337，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。

练习3. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个

数，

甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛) 【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡

片上的数之和应是3的倍数．

计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．

练习4. 求644319的余数

【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2，

求原式的余数只要求219的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，2226464，

64÷19余数为7，那么求219的余数就转化为求646419的余数，即49÷19的余数。 49÷19余数为11，所以原式644319的余数为11.

练习5. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a1，a2，a31，求该自然数的值．

1212126612312【解析】 根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．

由于a2aa，所以自然数6123721与154同余；由于a3aa2，所以611549394与201同余， 所以除数是3721154

和93942019193的公约数，运用辗转相除法可得到3567(3567,9193)29，该除数为29．经检验成立．

练习6. (香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多

10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人． 【解析】 三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数

是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是548021963284，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看2215，1224，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是7427421484 (人) ．

月考备选

【备选1】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．

【解析】 1013121001，100171113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小

于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。

【备选2】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少

【解析】 由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所

求的数为(543345)336．

【备选3】 (2001年全国小学数学奥林匹克试题)若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数

相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．

【解析】 设除数为A．因为2836，4582,5164，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A

整除．又因为余数是两位数，所以A至少是两位数．51644582582，652251641358，因为(582,1358)194，所以A是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果A194，238619414120，余数不是两位数，与题意不符．如果A97，经检验，余数都是23，除数余数9723120．

【备选4】2200820082除以7的余数是多少

【解析】 所以2200823669＋1(23)6692，其除以7的余数为：238除以7的余数为1，200836691，

166922；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1；所以2200820082除以7的余数为：213．

【备选5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数． 【解析】 这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而7,8,9504，

所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是570111573，而

504950485047787989191，5731913，

所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是504361506．