13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
一．选择题〔共8小题〕
1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，那么图中∠α+∠β的度数是〔 〕
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300° 2．以下说法正确的选项是〔 〕
A． 等腰三角形的两条高相等 C． 有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B． 等腰三角形一定是锐角三角形 D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 3．在△ABC中，①假设AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形；②假设∠A=∠B=∠C，那么△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有〔 〕 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，那么∠A等于〔 〕
A． 25° B． 30° C． 45° D． 60°
5．如图，D、E、F分别是等边 △ABC的边AB、BC、AC上的点， 且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，那么以下结论不成立的是〔 〕 A． △DEF是等边三角形 B． △ADF≌△BED≌△CFE C． DE=AB D． S△ABC=3S△DEF 6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，那么∠BAC的度数是〔 〕 A． 30° B． 45° C． 120° D． 15°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，那么MN的长为〔 〕 A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm
第 1 题 第4题 第5题 第7题 8．∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，那么P1，O，P2三点所构成的三角形是〔 〕
A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形 二．填空题〔共10小题〕
9．等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，那么∠A= _________ 度．
10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，那么BC= _________ cm． 11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，那么△ABC是 _________ 三角形．
12．如图，将两个完全一样的含有30°角的三角板拼接在一起，那么拼接后的△ABD的形状是 _________ ．
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13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．那么∠BAN= _________ ．
第 13题 第14题 第15题
14．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，假设再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，那么∠AOC等于 _________ ． 15．如图，将边长为6cm的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE、AC相交于点G，假设线段CF=4cm，那么△GEC的周长是 _________ cm． 16．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，那么∠BCD+∠CBE= _________ 度．
第 16 题 第17题 第18题
17．三个等边三角形的位置如下图，假设∠3=50°，那么∠1+∠2= _______°．
18．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．以下结论中，正确的选项是 _________ ．
①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO． 三．解答题〔共5小题〕
19．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
〔1〕求证：△ABE≌△CAD； 〔2〕求∠BFD的度数．
20．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
21．，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：
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〔1〕△AEF≌△CDE；
〔2〕△ABC为等边三角形．
22．：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．
23．：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． 〔1〕求证：AN=BM；
〔2〕求证：△CEF为等边三角形；
〔3〕将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第〔1〕、〔2〕两小题的结论是否仍然成立〔不要求证明〕．
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一、CDDBDCCD
二、9、60；10、10；11、等边；12、等边三角形；13、90度；14、60度；15、6； 16、60；17、130；18、①② 三、19、〔1〕证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD〔SAS〕．
〔2〕解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
20、解答： 解：△BDC≌△AEC．理由如下： ∵△ABC、△EDC均为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°． 从而∠BCD=∠ACE． 在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC〔SAS〕． 21、 解答： 证明：〔1〕∵BF=AC，AB=AE〔〕 ∴FA=EC〔等量加等量和相等〕．〔1分〕 ∵△DEF是等边三角形〔〕， ∴EF=DE〔等边三角形的性质〕．〔2分〕 又∵AE=CD〔〕，
∴△AEF≌△CDE〔SSS〕．〔4分〕
〔2〕由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC〔对应角相等〕， ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF〔等量代换〕， △DEF是等边三角形〔〕，
∴∠DEF=60°〔等边三角形的性质〕， ∴∠BCA=60°〔等量代换〕，
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC， ∵∠DEC+∠FEC=60°， ∴∠EFA+∠FEC=60°， 又∠BAC是△AEF的外角， ∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°， ∴△ABC中，AB=BC〔等角对等边〕．〔6分〕 ∴△ABC是等边三角形〔等边三角形的判定〕．〔7分〕 22、解答： 解：△CEB是等边三角形．〔1分〕 证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC， ∴∠CBE=∠ABE=60°．〔3分〕 又DE=DB，BE⊥AC，
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∴CB=CE．〔5分〕
∴△CEB是等边三角形．〔7分〕 23、〔1〕证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形， ∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°， ∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN， 即：∠ACN=∠MCB， 在△ACN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC， ∴△ACN≌△MCB〔SAS〕． ∴AN=BM．
〔2〕证明：∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAN=∠CMB．
又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠MCF=∠ACE． 在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF， ∴△CAE≌△CMF〔ASA〕． ∴CE=CF．
∴△CEF为等腰三角形． 又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形． 〔3〕解：如右图，
∵△CMA和△NCB都为等边三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN， ∴△CMB≌△CAN， ∴AN=MB，
结论1成立，结论2不成立．
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