高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A（下册）期末考试试题

大题 小题 得分 一 1 2 二 3 4 5 三 四 五 六 七 一、填空题:（本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a、b满足ab0，a2，b2,则ab ．

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3z2、设zxln(xy)，则 ． 

xy23、曲面xyz9在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设f(x)是周期为2的周期函数,它在[,)上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数 在x3处收敛于 ，在x处收敛于 ． 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则

22(xy)ds

L ．

※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

2x23y2z291、求曲线2在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程． 22z3xy2、求由曲面z2x2y及z6xy所围成的立体体积．

22223、判定级数

(1)nlnn1n1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ nxz2z4、设zf(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,yxxy5、计算曲面积分

dS,其中是球面x2y2z2a2被平面zh(0ha)截出的顶部． z三、（本题满分9分） 抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离

的最大值与最小值．

(本题满分10分）

计算曲线积分

L(exsinym)dx(excosymx)dy，

22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周xyax(a0)．

四、(本题满分10分）

xn求幂级数n的收敛域及和函数．

3nn1 技术资料 专业分享

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五、(本题满分10分）

计算曲面积分I3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy， 22其中为曲面z1xy(z0)的上侧．

六、（本题满分6分)

设f(x)为连续函数,f(0)a，F(t)[zf(xt2其中t是由曲面zx2y2与y2z2)]dv，

zt2x2y2所围成的闭区域，求 limt0F(t)． t3

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备注:①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4； 2、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1；3、2x4yz14； 4、3,0； 5、2。 2ydzdy3yz2xdy5xdz7xdxdx1、解：方程两边对x求导，得， 从而，…………..【4】 dx4zdydzdx4yyz3xdxdx 技术资料 专业分享

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该曲线在

1,1,2处的切向量为T(1,4,8)8(8,10,7).…………..【5】

x1y1z2………………。。【6】 8107571故所求的切线方程为

法平面方程为 8x110y17z20 即 8x10y7z12……..【7】

z2x22y22222xy2２、解：，该立体在面上的投影区域为xOyD:xy2．….。xy22z6xy【2】

故所求的体积为Vdvd2020d6222dz220(632)d6……..【7】

11n３、解:由limnunlimnln(1)limln(1)10，知级数un发散…………………【3】

nnnnnn1又|un111|ln(1)ln(1)|un1|，lim|un|limln(1)0.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

nnnn1n４、解：

z11(f1yf2)0yf1f2， …………………………………【3】 xyy1x2zx11x2f23f22.【7】xf12(2)]2f2[f21xf22(2)]f1xyf11 f1y[f11xyyyyyyy５、解:的方程为z又a2x2y2，在xOy面上的投影区域为Dxy{(x,y)|x2y2a2h2}．

a2x2y2，…。.………【３】

2221zxzya2adSadxdyad故22200zaxyDxyh2d1222aln(a)a2220a2h2a 2aln。.【7】

h三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d令L(x,y,z)xyz(zxy)(xyz1)，

22222x2y2z2……【1】

Lx2x2x0L2y2y0y13则由,z2Lz2z0，解得xy222zxyxyz1 技术资料 专业分享

3．于是得到两个可能极值点

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M1(13131313,,23),M2(,,23).…………………【7】 2222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得． 故dmax|OM2|953,dmin|OM1|953. ……【9】

四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得

I2而I1LOA(exsinym)dx(excosymx)dymdD8ma2．………………【5】

(esinym)dx(ecosymx)dymdxma…………【8】

OA0xxa(exsinym)dx(excosymx)dyI2I1maL8ma2. ………………………【10】

an1n3n1limR3,收敛区间为 (3,3)…………【2】 五、【10分】解：limnann13n13n1，收敛．……【4】 1又当x3时，级数成为，发散；当x3时,级数成为nn1n1nn故该幂级数的收敛域为

3,3………【5】

xn令sxn(3x3),则

n1n3xn11xn1111， （|x|3） ……【8】 s(x)n()3n1331x/33xn13于是s(x)x0s(x)dxxdxln3x0ln3ln3x,（3x3）………………….【10】

03xx

22六、【10分】解:取1为z0(xy1)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式,有

I212x3dydz2y3dzdx3z21dxdy6x2y2zdv…………。… 【5】

 620dd011202zdz2…………………….…【7】

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而I12x3dydz2y3dzdx3z21dxdy3z21dxdy311x2y21dxdy3….… 【9】

II2I123.…………………….… 【10】

七、【6分】解：Ft202r2dr….… 【2】 dsindrcosfr040ttt324sincosdrdr4sindfr2r2dr

0000t4228…。… 【4】 0rfrdrt22t322t2f(t2)Ft222limf(t2)22a. 【6】

lim故limt0t0t0t33t233

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