东至县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ A．

B．

C．

D．

）

）

2． 经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线是（ A．xy20 C．x1或y1 A．5x0或x5

B．xy10D．xy20或xy0）

C．5x5

D．x5或0x53． 设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（

B．x5或x5

4． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　　)

A5B4C3D2

5． 已知函数f(x)esinx，其中xR，e2.71828为自然对数的底数．当x[0,的图象不在直线ykx的下方，则实数k的取值范围（

2x2函数yf(x)]时，

）

2A．(,1)　　　　B．(,1]　　　　C．(,e)　　　　D．(,e]【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．6． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）

A．y=|x|（x∈R）B．y=（x≠0）C．y=x（x∈R）D．y=﹣x3（x∈R）

7． 若当xR时，函数f(x)a（a0且a1）始终满足f(x)1，则函数y（

）

|x|loga|x|的图象大致是3x第 1 页，共 16 页

【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．8． 命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ A．0　

）B．1

C．2

D．3

的零点个数为（ D．3

））

9． 函数f（x）=2x﹣A．0

B．1

C．2

10．直角梯形OABC中,ABAOC,AB1,OCBC2,直线l:xt截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数Sft的图像大致为（

11．复数z=

（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（

D．﹣ +i

）

D．

）

A．﹣iB．﹣﹣iC． +i

12．已知是虚数单位，若复数3i(ai)（aR）的实部与虚部相等，则a（ A．1

B．2

C．

二、填空题

13．已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=

x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准

线上，则双曲线的方程是　　．

14．已知（1+x+x2）（x

）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=　　　　　　．第 2 页，共 16 页

15．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各

服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的

，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞Sn恒成立，则实数x的取值范围为　　．　

117．已知两个单位向量a,b满足：ab，向量2ab与的夹角为，则cos 218．设函数f（x）=　

则函数y=f（x）与y=的交点个数是　　．.

三、解答题

19．现有5名男生和3名女生．

（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？　

20．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且（I）求C的值；（Ⅱ）若c=2a，b=2

，求△ABC的面积．

csinA=acosC．

21．（本小题满分10分）

第 3 页，共 16 页

已知集合Ax2a1x3a1，集合Bx1x4．（1）若AB，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得AB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22．已知函数fxxbxalnx.

2（1）当函数fx在点1,f1处的切线方程为y5x50，求函数fx的解析式；（2）在（1）的条件下，若x0是函数fx的零点，且x0n,n1,nN，求的值；

*（3）当a1时，函数fx有两个零点x1,x2x1x2，且x0x1x2，求证：fx00．223．（本小题满分12分）已知函数f(x)13sinxcosxcos2x.

2（1）求函数yf(x)在[0,2（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足c2，a3，f(B)0，求sinA的值.1111]

]上的最大值和最小值；

第 4 页，共 16 页

24．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4（1）求椭圆E的标准方程；

x的焦点，离心率是．

（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得关，试求点M的坐标．

与k的取值无

第 5 页，共 16 页

东至县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，这三个事件是相互独立的，第一次不被抽到的概率为，第二次不被抽到的概率为，第三次被抽到的概率是，

∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是故选B．　

2． 【答案】D【解析】

=，

考

点：直线的方程.3． 【答案】B

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.14． 【答案】C

【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个

第 6 页，共 16 页

数为3.5． 【答案】B

【解析】由题意设g(x)f(x)kxesinxkx，且g(x)0在x[0,]时恒成立，而

x2g'(x)ex(sinxcosx)k．令h(x)ex(sinxcosx)，则h'(x)2excosx0，所以h(x)在[0,]上递

2增，所以1h(x)e2．当k1时，g'(x)0，g(x)在[0,22]上递增，g(x)g(0)0，符合题意；当

ke时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递减，g(x)g(0)0，与题意不合；当1ke2时，g(x)为一

2个递增函数，而g'(0)1k0，g'()e2k0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得

2g'(x0)0，当x[0,x0)时，g'(x)0，从而g(x)在x[0,x0)上单调递减，从而g(x)g(0)0，与题

意不合，综上所述：k的取值范围为(,1]，故选B．

6． 【答案】D

【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，

y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，故选：D　

7． 【答案】C【解析】由f(x)a始终满足f(x)1可知a1．由函数y|x|loga|x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，3xloga|x|0，此时y8． 【答案】C

loga|x|0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C．x3【解析】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；故其逆否命题也为真命题；

其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题故其否命题也为假命题

故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个故选C

第 7 页，共 16 页

【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．　

9． 【答案】C

【解析】解：易知函数的定义域为{x|x≠1}，∵

＞0，

∴函数在（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数，又

＜0，f（0）=1﹣（﹣2）=3＞0，

故函数在区间（﹣4，0）上有一零点；又f（2）=4﹣4=0，

∴函数在（1，+∞）上有一零点0，综上可得函数有两个零点．故选：C．

【点评】本题考查函数零点的判断．解题关键是掌握函数零点的判断方法．利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性．属于中档题．　

10．【答案】C【解析】

试题分析：由题意得，当0t1时，ft1t2tt2，当1t2时，2t2,0t11ft12(t1)22t1，所以ft，结合不同段上函数的性质，可知选项C符

22t1,1t2合，故选C.

考点：分段函数的解析式与图象.11．【答案】C【解析】解：∵z=∴=故选：C．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

12．【答案】A

．

=

，

第 8 页，共 16 页

考

点：复数运算．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=144，

又双曲线的一条渐近线方程是y=所以=

，

x，

解得a2=36，b2=108，所以双曲线的方程为故答案为：

．

．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．　

14．【答案】　5　．　

【解析】二项式定理．【专题】计算题．

【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（xx

）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．

）n（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r，2≤n≤8，

）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利用（

【解答】解：设（x

当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x

）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；

第 9 页，共 16 页

当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；

）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合

当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x题意；

当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．

）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；

【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．15．【答案】

, 无．

毫克，

=350．

，

是一个等比数列，

【解析】【知识点】等比数列

【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为所以由所以所以

所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。故答案为： , 无．

16．【答案】　（﹣∞，

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an，∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，

]∪[

，+∞）　．）=300，

Sn==2﹣（）n﹣1，

对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞Sn恒成立，∴x2+tx+1≥2，x2+tx﹣1≥0，令f（t）=tx+x2﹣1，

第 10 页，共 16 页

∴解得：x≥

或x≤

，

，

]∪[

，+∞）．

∴实数x的取值范围（﹣∞，　

17．【答案】【解析】

27．7考点：向量的夹角．

【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）

abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义．

求平面向量的数量积有三种方法：一是定义ababcos；二是坐标运算公式

（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简18．【答案】　4　．

【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=示，

由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4．故答案为：4．

的图象与函数y=的图象，如下图所

第 11 页，共 16 页

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A33A66=4320种．（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C32C53A55=3600种

【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．　

20．【答案】

【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且∴∴

sinCsinA=sinAcosC，∴sinC=cosC，∴tanC=

sinCsinA﹣sinAcosC=0，=；，

，

csinA=acosC，

由三角形内角的范围可得C=（Ⅱ）∵c=2a，b=2

，C=

∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4a2=a2+12﹣4

a•

，解得a=﹣1+

，或a=﹣1﹣

（舍去）

=

∴△ABC的面积S=absinC=

1；（2）不存在实数，使AB．21．【答案】（1）a(，2]0，【解析】

试题分析：（1）对集合A可以分为A或A两种情况来讨论；（2）先假设存在实数，使AB，则必

2a11a0有，无解．

3a14a1第 12 页，共 16 页

考

点：集合基本运算.

22．【答案】（1）fxxx6lnx；（2）n3；（3）证明见解析.

2【解析】

试

题解析： （1）f'(x)2xbf'(1)2ba5b1a，所以，xf(1)1b0a62∴函数f(x)的解析式为f(x)xx6lnx(x0)；

62x2x6（2）f(x)xx6lnxf'(x)2x1，

xx因为函数f(x)的定义域为x0，

(2x3)(x2)30x或x2，令f'(x)x2当x(0,2)时，f'(x)0，f(x)单调递减，

2当x(2,)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增，

第 13 页，共 16 页

且函数f(x)的定义域为x0，

（3）当a1时，函数f(x)xbxlnx，

22f(x1)x12bx1lnx10，f(x2)x2bx2lnx20，

lnx1lnx222(x1x2)．两式相减可得x1x2b(x1x2)lnx1lnx20，bx1x2xx11f'(x)2xb，f'(x0)2x0b，因为x012，

x0x2xx2lnx1lnx22(x1x2)所以f'(x0)212x1x2x1x2x221lnx2lnx12(x2x1)211x2x1lnxlnxln12x2x2x1x1x2x2x1x1x2x2x1x11x1x2(t1)设2t1，h(t)lnt，x1t114(t1)24t(t1)20，∴h'(t)222t(t1)t(t1)t(t1)所以h(t)在(1,)上为增函数，且h(1)0，

第 14 页，共 16 页

∴h(t)0，又

10，所以f'(x0)0．

x2x1考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.23．【答案】（1）最大值为，最小值为【解析】

试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简f(x)sin(2x再利用f(x)Asin(x)b(0,||3213；（2）.1426)1)的性质可求在[0,]上的最值；（2）利用f(B)0,可得B,

22再由余弦定理可得AC,再据正弦定理可得sinA.1

试题解析：

（2）因为f(B)0，即sin(2B)1611)，∴2B，∴B∵B(0,)，∴2B(,666623又在ABC中，由余弦定理得，

1b2c2a22cacos492237，所以AC7.

32321ba73由正弦定理得：，即，所以sinA.

sinA14sinBsinAsin3第 15 页，共 16 页

考点：1.辅助角公式；2.f(x)Asin(x)b(0,||2)性质；3.正余弦定理.

【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.24．【答案】

【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=c=e•a=故b=

×

==

，

=

，…4分

，即x2+3y2=5…6分

，…1分

所以，椭圆E的方程为

（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=﹣∴∴

，x1x2=

；…8分

=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；

=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），

，

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2

=m2+2m﹣﹣

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．　

第 16 页，共 16 页