2016年12月20日三角函数应用题
一．解答题（共30小题）
1．甲楼楼高50米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：
（1）如果两楼相距50米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？
（2）小明住在乙楼16m高（地板距地面的距离）的五层楼上，要是冬至中午12时阳光不被挡住，两楼至少距离多少米（结果精确到1m，参考数据：≈1.732）？
2．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB=30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m） （参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°=1.192）
3．如图，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα=． （1）求一个矩形卡通图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？
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4．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
5．某小区内因道路较窄，实行机动车单向行驶的措施，所以在车位设计上比较人性化．如图是两个车位的设计示意图，按照实际情况每个车位设计成长5m、宽2.4m的矩形，且满足EF、MN与两个车位所占的矩形ABCD场地的BC边形成的夹角为30°，求BC边的长．
6．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
7．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈
，tan22°≈）
8．已知：如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°．求： （1）△ABC的面积；
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（2）∠C的余弦值．
9．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20m．坝顶宽CD为45m．求大坝的横截面积．
10．我市新农村建设中，对乡村道路进行改造，车溪乡公路有一段斜坡长为20米，坡角∠CBM=45°，坡底路面AB与坡顶路面CD平行，如图①． （1）求坡高CM（结果保留根号）； （2）为方便通行，现准备把坡角降为30°，为节约成本，计划把原斜坡BC上的半部分挖去，填到原斜坡BC的下半部分，如图②，点O为原斜坡BC的中点，EF为新斜坡，求原坡顶需要挖掉的长度（即CF的长度，结果精确到0.1米）（参考数据：（，
；可以用科学记算器）
11．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，∠ACD=20°．
（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．
（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．
【参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36】
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12．某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=60°，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米？
13．如图，在一个坡角为40°的斜坡上有一棵树BC，树高4米．当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB，求树影AB的长．（结果保留一位小数） （参考数据：sin20°=0.34，tan20°=0.36，sin30°=0.50，tan30°=0.58，sin40°=0.64，tan40°=0.84，sin70°=0.94，tan70°=2.75）
14．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．
15．如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=20m，某人在点A处，测得塔底C的仰角为45°，塔顶D的仰角为60°，求山高BC（精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
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16．如图，河对岸有一高层建筑物AB，为测其高，在C处由点D用测量仪测得顶端A的仰角为30°，向高层建筑物前进50米，到达E处，由点F测得顶点A的仰角为45°，已知测量仪高CD=EF=1.2米，求高层建筑物AB的高．（结果精确到0.1米，，
）
17．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
18．如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，这栋楼高120米，那么热气球与高楼的水平距离为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：
）
19．如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80 ）
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20．如图，我校九年级某班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在佳山公路上测量“佳山”高AB．于是他们采用了下面的方法：在佳山公路上选择了两个观察点C、D（C、D、B在一条直线上），从C处测得山顶A的仰角为30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，已知测角仪的高CE与DF的高为1.5m，量得CD=450m．请你帮助他们计算出佳山高AB．（精确到1m，
，
）
21．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m． （1）求建筑物BC的高度； （2）求旗杆AB的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
22．如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）
23．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？
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（结果保留到0.1米）
24．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为多少？
25．天然气管道铺设工程从B向正东方向进行，如图所示，从B处测得A点位于B点北偏东60°，从B向东前进400m到达D点，在D点测得A点位于北偏东45°方向，以A点为中心，半径为500m的圆形区域为居民住宅区，请计算后回答：天然气管道铺设工程是否会穿过居民住宅区？（≈1.732）
26．如图，某公园有一小亭A，它周围100米内是文物保持区，某勘探队员在公园由西向东行走，在B处测得小亭A在北偏东60°的方向上，行走200米后到达C处，此时测得小亭A在北偏东30°的方向上，若该公园打算沿BC的方向修一条笔直的小路，则此小路是否会通过文物保护区？请通过计算说明．
27．马航飞机失联后，海空军部队第一时间赴相关海域开展搜寻工作，某舰船在O地修整时发现在它的北偏西60°，距离它40km的A地有一艘搜索船向正东方向航行，经过2小时后，发现此船已到达它东北方向的B处．问搜索船从A处到B处的航速是多少千米/小时（精确到1千米/小时）？（参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.236）
28．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D
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在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，求A，B之间的距离．（取结果精确到0.1海里）．
≈1.7，
29．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值）
30．如图，某乡村小学有A、B两栋教室，B栋教室在A栋教室正南方向36米处，在A栋教室西南方向300米的C处有一辆拖拉机以每秒8米的速度沿北偏东60°的方向CF行驶，若拖拉机的噪声污染半径为100米，试问A、B两栋教室是否受到拖拉机噪声的影响若有影响，影响的时间有多少秒？（计算过程中
取1.7，各步计算结果精确到整数）
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2016年12月20日三角函数应用题
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．甲楼楼高50米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：
（1）如果两楼相距50米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？
（2）小明住在乙楼16m高（地板距地面的距离）的五层楼上，要是冬至中午12时阳光不被挡住，两楼至少距离多少米（结果精确到1m，参考数据：≈1.732）？
【分析】（1）根据题意得出CD=50m，∠ACD=30°，再利用AD=CDtan30°求出即可； （2）根据题意得出BF=16m，∠ABC=30°，再利用BC=【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥AD于点D， 由题意可得出：CD=50m，∠ACD=30°， ∴AD=CDtan30°=50×
≈29（m），
求出即可．
∴甲楼的影子落在乙楼上有：50﹣29=21（m）；
（2）如图2，过点B作CB⊥AC于点C， 由题意可得出：BF=16m，∠ABC=30°， ∴AC=50﹣16=34（m）， ∴BC=
=
=34
≈59（m），
答：要是冬至中午12时阳光不被挡住，两楼至少距离59米．
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【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，三角函数值和边长的关系，根据题意画出图形是解题的关键．
2．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB=30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m） （参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°=1.192）
【分析】过E点作EF⊥OB于F，过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中，根据三角函数得到CF，在Rt△DEG中，根据三角函数得到DG=EG，设热气球的直径为x米，得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：如图，过E点作EF⊥OB于F，过D点作DG⊥EF于G． 在Rt△CEF中，CF=EF•tan50°=AB•tan50°=35.76m， 在Rt△DEG中，DG=EG•tan60°=EG， 设热气球的直径为x米，则 35.76+x=
（30﹣x），
解得x≈11.9．
故热气球的直径约为11.9米．
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【点评】考查了解直角三角形的应用，三角函数的知识，方程思想，关键是作出辅助线构造直角三角形． 3．（2016•路桥区一模）如图，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα=．
（1）求一个矩形卡通图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？
【分析】（1）如图，在Rt△BCE中，由sinα=
可以求出BC，在矩形ABCD中由∠BCD=90°
得到∠BCE+∠FCD=90°，又在Rt△BCE中，利用已知求出条件∠FCD=∠CBE，然后在Rt△FCD中，由cos∠FCD=
求出CD，因此求出了矩形图案的长和宽；求得面积；
，求出AH，在Rt
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=∠CBE．由cos∠DAH=△CGH中，由tan∠GCH=
求出GH，最后即可确定最多能摆放多少块矩形图案，即最多
能印几个完整的图案． 【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中， ∵sinα=∴BC=
， =
=1
∵矩形ABCD中， ∴∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠FCD=90°， 又∵在Rt△BCE中，
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∴∠EBC+∠BCE=90°， ∴∠FCD=∠CBE． 在Rt△FCD中， ∵cos∠FCD=∴CD=
，
=1.5
∴卡通图案的面积为1.5cm2．
（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=∠CBE． ∵cos∠DAH=
，
∴AH=
=1.25
在Rt△CGH中，∠GCH=∠CBE． ∵tan∠GCH=
，
∴GH=0.45 又∵10×1.25+0.45＞12，9×1.25+0.45＜12， ∴最多能印9个完整的图案．
【点评】此题主要考查矩形的性质、解直角三角形等知识，难度较大，是一个综合性很强的题目，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 4．（2015•鄂城区模拟）某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=6米，即可得出关于x的方程，解出即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
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设CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°， 则AD=CD=x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°， 则BD=CD=x，
由题意得x﹣x=6，
解得：x═3（+1）≈8.2．
答：生命所在点C的深度为8.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用． 5．（2014•江南区校级模拟）某小区内因道路较窄，实行机动车单向行驶的措施，所以在车位设计上比较人性化．如图是两个车位的设计示意图，按照实际情况每个车位设计成长5m、宽2.4m的矩形，且满足EF、MN与两个车位所占的矩形ABCD场地的BC边形成的夹角为30°，求BC边的长．
【分析】由题意可根据已知线段和三角函数分别得出BE、EM和CM的长度，将它们的长度相加即可得到BC边的长．
【解答】解：在Rt△AHG中，HG=2.4m， ∴AH=HG•tan30°=0.8m，
在Rt△ABE中，AE=（5+0.8）m， ∴BE=AE•sin30°=（2.5+0.4）m， 在Rt△EFM中，EF=2.4m， ∴EM=EF÷cos30°=0.8m， 在Rt△MNC中，MN=2.4m， ∴MC=MN•cos30°=1.2m，
∴BC=BE+EM+CM=（2.5+2.4）m． 答：BC边的长是（2.5+2.4）m．
【点评】考查了解直角三角形的应用，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
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6．（2013•呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5， AD=ACcos30°=5， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5，
则用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）． 答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形． 7．（2013•清河区校级模拟）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈
，tan22°≈）
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【分析】首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x（m）．
∵Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x，
∴BC=BF+FC=x+13；
∵在Rt△AEM中，∠AEM=22°， AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2， ∴tan22°=
=，
x=12．
即教学楼的高为12m．
，
，求出即可教学楼AB的高度．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=
是解题关键．
8．（2013•崇明县一模）已知：如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°．求： （1）△ABC的面积； （2）∠C的余弦值．
【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3，即可求出答案；
（2）利用Rt△ACH中，AH=3，CH=5，求出AC进而求出∠C的余弦值． 【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6， ∴BH=3，AH=3， ∴S△ABC=×8×3
=12
，
（2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5．
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在Rt△ACH中，∵AH=3∴AC=2． ∴cosC=
=
=
，CH=5，
．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键．
9．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20m．坝顶宽CD为45m．求大坝的横截面积．
【分析】利用三角函数求出AE、BF的长，又知道，DC=EF，求出EF的长，利用梯形面积公式即可解答． 【解答】解：∵∴
=，
=，DE=20，
∴AE=30， ∵∴
=，CF=20， =，
∴FB=15，
∴AB=AE+EF+FB=30+45+15=90（米）， ∴S=×（45+90）×20=1350（平方米）．
∴大坝的横截面积为1350平方米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉三角函数和梯形面积公式是解题的关键．
10．我市新农村建设中，对乡村道路进行改造，车溪乡公路有一段斜坡长为20米，坡角∠CBM=45°，坡底路面AB与坡顶路面CD平行，如图①． （1）求坡高CM（结果保留根号）； （2）为方便通行，现准备把坡角降为30°，为节约成本，计划把原斜坡BC上的半部分挖去，填到原斜坡BC的下半部分，如图②，点O为原斜坡BC的中点，EF为新斜坡，求原坡顶
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需要挖掉的长度（即CF的长度，结果精确到0.1米）（参考数据：（
；可以用科学记算器）
，
【分析】（1）根据勾股定理就可以直接求出CM即可；
（2）作FN⊥EM于点N，根据矩形的性质可以得出FN的值，由勾股定理就可以求出EN的值，从而求出EB的值，再由△EBO≌△FCO就可以求出结论． 【解答】解：（1）∵CM⊥BM， ∴∠CMB=90°． ∵∠CBM=45°， ∴∠BCM=45°， ∴∠BMC=∠BCM， ∴BM=CM．
在Rt△BMC中，由勾股定理，得 BC2=CM2+BM2， ∴400=2CM2， ∴CM=10． 答：CM=10；
（2）作FN⊥EM于点N， ∴∠FNB=90°． ∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FCO，∠BEO=∠CFO，∠FCM=∠BMC=90°， ∴四边形CMNF为矩形， ∴CM=FN=10， ∵∠FEN=30°，
∴EF=2FN=20．
在Rt△EFN中，由勾股定理，得 EN=10．
∴EB=10﹣10 ∵点O为BC的中点， ∴BO=CO．
在△EBO和△FCO中
，
∴△EBO≌△FCO（AAS）， ∴BE=CF，
∴CF=10×2.499﹣10×1.414≈10.9米． 答：原坡顶需要挖掉的长度CF为10.9米．
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【点评】本题考查了勾股定理的运用，等腰直角三角形的运用，直角三角形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用勾股定理求解是关键．
11．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，∠ACD=20°．
（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．
（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．
【参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36】
【分析】（1）先过点B作GB⊥AB，交AC于点G，根据∠ACD=20°，AB∥CD，得出∠BAG=20°，再根据正切定理求出BG的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据AD的长求出CD，再过点F作FM⊥CD，垂足为点M，过点E作EN⊥AD，垂足为点N，设FM=x，则AN=9﹣x，根据AE段和FC段的坡度i=1：2，求出CM和NE的长，最后根据EF=CD﹣（CM﹣NE），即可求出答案． 【解答】解：（1）过点B作GB⊥AB，交AC于点G， ∵∠ACD=20°，AB∥CD， ∴∠BAG=20°，
∴BG=tan20°×6=0.36×6=2.16＞1.9 ∴不会碰到头部；
（2）∵AD=9， ∴CD=
=25，
过点F作FM⊥CD，垂足为点M，过点E作EN⊥AD，垂足为点N， 设FM=x，则AN=9﹣x，
∵AE段和FC段的坡度i=1：2， ∴CM=2x，NE=2（9﹣x）=18﹣2x， ∴CM+NE=2x+18﹣2x=18，
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∴EF=CD﹣（CM﹣NE）≈25﹣18=7（米）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形． 12．（2014•泰兴市二模）某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=60°，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米？
【分析】（1）已知AB=22，∠BAD=60°利用sin60°可求出BE=AB•sin60°=11；
（2）作FG⊥AD，G为垂足，连接FA，则FG=BE利用tan45°求出AG的长11m，利用cos60°求出AE长，让AG减AE即可． 【解答】解：（1）作BE⊥AD，E为垂足，则BE=AB•sin60°=22sin60°=（m）．
（2）作FG⊥AD，G为垂足，连结FA， 则FG=BE． ∵AG=
=
（m），
AE=AB•cos60°=22cos60°=11（m）， ∴BF=AG﹣AE=
（m），即BF至少是（
）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，主要考查分析问题，综合利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．
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13．（2014•市北区二模）如图，在一个坡角为40°的斜坡上有一棵树BC，树高4米．当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB，求树影AB的长．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin20°=0.34，tan20°=0.36，sin30°=0.50，tan30°=0.58，sin40°=0.64，tan40°=0.84，sin70°=0.94，tan70°=2.75）
【分析】本题可通过构造直角三角形来解答，过B点作BD⊥AC，D为垂足，在直角三角形BCD中，已知BC的长，可求∠BCD的度数，那么可求出BD的长，在直角三角形ABD中，可求∠DAB=70°﹣40°=30°，前面又得到了BD的长，那么就可求出AB的长． 【解答】解：过B点作BD⊥AC，D为垂足，
在直角三角形BCD中，∠BCD=180°﹣70°﹣90°=20°， BD=BC•sin20°=4×0.34=1.36米，
在直角三角形ABD中，∠DAB=70°﹣40°=30°， AB=BD÷sin30°=1.36÷≈2.7米． 答：树影AB的长约为2.7米．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决． 14．（2014•日照一模）如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．
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【分析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性质求出AB即可． 【解答】解：作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．
在Rt△CFD中， i=1：1.875，
即CF：DF=1：1.875=8：15； 设CF=8x米，则DF=15x米， 由勾股定理可得，
（8x）2+（15x）2=CD2， ∴CD=17x=3.4， ∴x=0.2，
∴DF=15×0.2=3米，CF=8×0.2=1.6米． ∵FE：CF=NH：NM， ∴FE：1.6=336：168， ∴FE=3.2，
∴BE=BD+DF+FE=2+3+3.2=8.2米． ∴AB：BE=MN：NH， ∴AB：8.2=168：336， ∴AB=4.1米．
答：铁塔高度为4.1米．
【点评】本题考查了坡度与坡角及相似三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 15．（2009•遵义）如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=20m，某人在点A处，测得塔底C的仰角为45°，塔顶D的仰角为60°，求山高BC（精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
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【分析】易得BC=AB，那么利用60°的正切值即可求得山高BC．
【解答】解：由题意可知：BD⊥AB于B，∠CAB=45°，∠DAB=60°，CD=20m． 设CB为x．
在△CAB中，∵∠CBA=90°，∠CAB=45°， ∴CB=BA=x．
在Rt△BDA中，∠DBA=90°，∠DAB=60°， ∴tanDAB=∴AB=
， ．
∵CD=20，BD=CB+CD， ∴x=
．
解得：x≈27．
答：山高BC约为27米．
【点评】两个直角三角形共边，应设这边为未知数，利用相应的三角函数值求解． 16．（2000•杭州）如图，河对岸有一高层建筑物AB，为测其高，在C处由点D用测量仪测得顶端A的仰角为30°，向高层建筑物前进50米，到达E处，由点F测得顶点A的仰角为45°，已知测量仪高CD=EF=1.2米，求高层建筑物AB的高．（结果精确到0.1米，，
）
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形Rt△ADG、Rt△AFG，应利用其公共边AG，DF=DG﹣FG构造方程关系式，进而可解即可求出答案． 【解答】解：延长DF与AB交于G，设AG=x， 在Rt△ADG中，有AG=DG×tan30°=∴DG=x．
在Rt△AFG中，有FG=AG÷tan45°=x， ∵DF=DG﹣FG=50米，
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DG．
∴x=25（+1）≈68.3米． ∴AB=AG+GB=69.5米． 答：AB的高约为69.5米． 【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 17．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90， EF∥AB，CD⊥AB于点D．
∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°． 在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=∴AD=
=90×
=90
．
，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=∴DB=
=30
．
，
∴AB=AD+BD=90+30=120． 答：建筑物A、B间的距离为120米．
【点评】解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长． 18．（2013•香洲区校级一模）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，这栋楼高120米，那么热气球与高楼的水平距离为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：
）
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【分析】过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出AD，则可解出x的值，继而得出答案．
【解答】解：
过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x， 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，BD=x， 则AD=BD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CD=120﹣x， 则AD=CDcot∠CAD=（120﹣x）×则（120﹣x）×
=x，
，
解得：x≈43.9，即热气球与高楼的水平距离为距离为43.9米． 答：热气球与高楼的水平距离为距离约为43.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意掌握仰角、俯角的定义，难度一般． 19．（2012•锦州）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80 ）
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【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x，分别在Rt△BCD中和Rt△ACE中，用x表示出CD和CE=AE，利用CD﹣CE=DE得到有关x的方程求得x的值即可． 【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米
设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x（不设未知数x也可以） ∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=∴CD=BD tan 38.5°≈0.8x ∵在Rt△ACE中，tan∠CAE=
∴CE=AE tan 22°≈0.4x ∵CD﹣CE=DE
∴0.8x﹣0.4x=16 ∴x=40
即BD=40（米）
CD=0.8×40=32（米）
答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答． 20．（2012•花山区校级模拟）如图，我校九年级某班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在佳山公路上测量“佳山”高AB．于是他们采用了下面的方法：在佳山公路上选择了两个观察点C、D（C、D、B在一条直线上），从C处测得山顶A的仰角为30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，已知测角仪的高CE与DF的高为1.5m，量得CD=450m．请你帮助他们计算出佳山高AB．（精确到1m，，）
【分析】连接EF并延长交AB于H，则可得到△AEH、△AFH均为直角三角形，在Rt△AFH中，根据∠AFH=45°得到AH=FH，最后设AH=FH=x （m），则EH=450+x 利用在Rt△AEH中，利用30°的正切值列出有关x的方程即可求解． 【解答】解：连接EF并延长交AB于H，
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则△AEH、△AFH均为直角三角形， 在Rt△AFH中，∵∠AFH=45°， ∴∠FAH=45°，∴AH=FH， 设AH=FH=x （m），则EH=450+x （m）， 在Rt△AEH中，∵tan30°=∴
，
，
解得x=225+225
∴AB=225+225+1.5≈225×1.73+226.5≈616（m）． 答：佳山高约为616（m）． 【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21．（2011•大连）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．
（1）求建筑物BC的高度； （2）求旗杆AB的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出BC．（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD，则AB=AD﹣BD． 【解答】解：（1）过点E作ED⊥BC于D， 根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC， ∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°， ∴∠EBD=45°， ∴BD=ED=FC=12，
∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6， 答：建筑物BC的高度为13.6m．
（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，即∠AED=52°， ∴AD=ED•tan52° ≈12×1.28≈15.4，
∴AB=AD﹣BD=15.4﹣12=3.4． 答：旗杆AB的高度约为3.4m．
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【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解． 22．（2011•綦江县）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）
【分析】易得CE=BE，利用30°的正切值即可求得CE长，进而可求得DE长．CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离． 【解答】解：∵∠CBE=45°，CE⊥AE， ∴CE=BE． ∴CE=21，
∴AE=AB+BE=21+6=27．
在Rt△ADE中，∠DAE=30°， ∴DE=AE×tan30°=27×
=9
，
∴CD=CE﹣DE=21﹣9．
答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为（21﹣9）m．
【点评】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段． 23．（2006•兰州）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？ （结果保留到0.1米）
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【分析】由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设PA=h米，根据题意，列出关于h的方程可求解． 【解答】解：设AP=h米，（1分） ∵∠PFB=45°， ∴BF=PB=h+1，（2分） ∴EA=BF+CD=h+1+5=h+6，（3分） 在Rt△PEA中，PA=AE•tan30°， ∴h=（h+6）tan30°，（5分） 3h=（h+6）， h=
≈8.2，（6分）
∴气球的高度为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米．（8分）
【点评】对于此类问题常常转化成直角三角形，可利用三角函数的知识来解决． 24．（2014•平原县二模）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为多少？
【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案． 【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°， ∴
=tan30°
=
AB
∴BD=
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°， ∴BC=∵CD=20米， ∴CD=BD﹣BC=
AB﹣
AB=20
=
AB
解得：AB=10米．
故物体AB的高度为10米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25．天然气管道铺设工程从B向正东方向进行，如图所示，从B处测得A点位于B点北偏东60°，从B向东前进400m到达D点，在D点测得A点位于北偏东45°方向，以A点为中
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心，半径为500m的圆形区域为居民住宅区，请计算后回答：天然气管道铺设工程是否会穿过居民住宅区？（
≈1.732）
【分析】过点A作AC⊥BD于点C，先求出∠CBA=30°，AC=CD，设AC=CD=x，则BC=400+x，再根据tan30°=
=
，求出x的值，最后与500比较即可．
【解答】解：过点A作AC⊥BD于点C， ∵从B处测得A点位于B点北偏东60°， ∴∠CBA=30°，
∵在D点测得A点位于北偏东45°方向， ∴AC=CD， 设AC=CD=x， ∵BD=400， ∴BC=400+x， ∴tan30°=∴
=
=，
，
解得：x=200+200≈546.4＞500，
∴天然气管道铺设工程不会穿过居民住宅区．
【点评】此题主要考查了方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，关键是作出高线，构造直角三角形． 26．（2015秋•永新县期末）如图，某公园有一小亭A，它周围100米内是文物保持区，某勘探队员在公园由西向东行走，在B处测得小亭A在北偏东60°的方向上，行走200米后到达C处，此时测得小亭A在北偏东30°的方向上，若该公园打算沿BC的方向修一条笔直的小路，则此小路是否会通过文物保护区？请通过计算说明．
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【分析】根据题意，作辅助线AD⊥BC于点D，由题意可以得到AD的长然后与100进行比较，即可解答本题．
【解答】解：此小路不会通过文物保护区．
理由：过点A作AD⊥BC于点D，如右图所示， 则∠ABD=30°，∠ACD=60°， ∴∠CAB=∠ABD=30°， ∴BC=AC=200米， ∴AD=200×sin60°=200×
=100
＞100米，
∴此小路不会通过文物保护区．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 27．（2015•杭州模拟）马航飞机失联后，海空军部队第一时间赴相关海域开展搜寻工作，某舰船在O地修整时发现在它的北偏西60°，距离它40km的A地有一艘搜索船向正东方向航行，经过2小时后，发现此船已到达它东北方向的B处．问搜索船从A处到B处的航速是多少千米/小时（精确到1千米/小时）？（参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.236） 【分析】根据题意先画出图形，再分别解直角三角形AOQ与直角三角形OQB，求出AQ=20千米，BQ=20千米，然后根据AB=AQ+BQ求出AB的长，则问题可求． 【解答】解：设此船速度为x千米/时，2小时后此船在点B处，作OQ⊥AB于点Q． 由题意OA=40千米，AB=2x千米． 在直角三角形AOQ中，∠AOQ=60°， 所以OQ=20千米，AQ=20千米． 在直角三角形OQB中，∠BOQ=45°， 所以，BQ=PQ=20千米， 所以AB=AQ+BQ=20+20 所以速度=10+10≈27．
答：搜索船从A处到B处的航速约为27千米/时．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到锐角三角函数、实数的运算、解直角三角形，难度适中．体现了数学与生活的密切联系，同时也进行了实数运算方面的进一步考查，根据题意准确画出图形是解题的关键． 28．（2015•东营区校级模拟）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，求A，B之间的距离．（取≈1.7，结果精确到0.1海里）．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度． 【解答】解：∵∠DBA=∠DAB=45°， ∴△DAB是等腰直角三角形．
过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB． 设DE=x，则AB=2x．
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则CE=DE=在Rt△BDE中，∠DAE=45°，则DE=BE=x． ∵CB=CE﹣BE， ∴x﹣x=25， 解得：x=
，
x，
∴AB=25（+1）=67.5（海里）． 故A，B之间的距离约为67.5海里．
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【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般． 29．（2015秋•青龙县期末）某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值）
【分析】先作CE⊥AD，根据BD=20，AE=DE，可求AE的长，从而求得AD的长． 【解答】解：作CE⊥AD于点E，设AE=x，则CE=AE=x，BE=∵BD=20，AE=DE， ∴x=
x+20，
x，
∴x=30+10，AD=2x=60+20；
答：A、D两点间的距离为60+20海里．
【点评】本题考查了方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，关键是作出辅助线，构造直角三角形． 30．（2006•荆门）如图，某乡村小学有A、B两栋教室，B栋教室在A栋教室正南方向36米处，在A栋教室西南方向300米的C处有一辆拖拉机以每秒8米的速度沿北偏东60°的方向CF行驶，若拖拉机的噪声污染半径为100米，试问A、B两栋教室是否受到拖拉机
第32页（共33页）
噪声的影响若有影响，影响的时间有多少秒？（计算过程中整数）
取1.7，各步计算结果精确到
【分析】是否受影响决定于点A、B到拖拉机所行使的公路的距离，所以过点B作BH⊥CF，垂足为H，作AH′⊥CF，H′为垂足，分别求BH、AH′的长，与100进行比较得结论． 【解答】解：过点C作直线AB的垂线，垂足为D． 设拖拉机行驶路线CF与AD交于点E ∵AC=300米，∠ACD=45°， ∴CD=AD=300÷=300（米） DE=CD•tan30°=300×
=100
≈170（米），
∴BE=300﹣36﹣170=94（米）．
过点B作BH⊥CF，垂足为H，则∠EBH=30°． ∴BH=BE•cos30°=94×
≈80（米）．
∵80米＜100米，
∴B栋教室受到拖拉机噪声影响．
以点B为圆心，100为半径作弧，交CF于M、N两点， 则MN=2
=2×60=120（米）．
B栋教室受噪声影响的时间为：120÷8=15（秒）．
作AH′⊥CF，H′为垂足，则∠EAH′=30°． 又AE=36+94=130， ∴AH′=AE•cos30°=130×
=111（米）．
∵111米＞100米，
∴A栋教室不受拖拉机噪声影响．
【点评】此题涉及到两个点到直线的距离，所以计算较复杂，须认真仔细分析解答．
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