安徽省黄山市屯溪第一中学2016-2017学年高二上学期摸底考试数学试题Word版含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

33,cos)在角的终边上，且0,2，则的值为（ ） 4435A. B. C.

4447D.

41.已知点P(sin【答案】D 【解析】 试题分析：∵sin232322，由角的定义可知：,cos,，故P点坐标为4242227， 4

故选项为D. 考点：角的概念.

2.若集合M(x,y)|xy1， N(x,y)|xy0，那么MN的子集的个数

22是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D

考点：子集的个数.

3.下列命题中，正确的是（ ）

A．若ab，cd，则acbd； B．若 acbc，则ab；

22C．若ab，cd，则acbd； D．若acbc， 则ab.

【答案】D

【解析】

试题分析：对于A,当a2，b3，c1，d2时，acbd不成立；对于B，当c0时，若 acbc，则ab不成立；对于C，当a2，b3，c1，d2时，不成立；对于D，不等式两边同时除以一个正数，不等号不变；故选项为D. 考点：不等式的性质.

4.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：

9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7

去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）

A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，

0.016

【答案】D 【解析】

试题分析：由平均值及方差的定义可知x2229.49.49.69.49.79.5，

5239.49.59.69.59.79.5S0.016，故选项为D.

5考点：平均值和方差的计算.

a25.已知数列an满足a115，

（ ）

43，且2an1anan2．若akak10，则正整数k3A.21 B.22 C.23 D.24 【答案】C

考点：数列的递推式.

【方法点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．由已知数列递推式可知，an1anan2an1，满足等差数列的定义，故数列an是以15为首项，以2472为公差的等差数列，求得等差数列的通项公式ann，得到数333列前23项大于0，自第24项起小于0，则答案可求． 6.若执行下面的程序框图，则输出的a值是（ ）

A.2 B.D. 2 【答案】C

13 C. 32

考点：程序框图. 7.若把函数ysin(x象

重合，则的值可能是（ ）

A. 2 B.

6)的图象向左平移

个单位，所得到的图象与函数ycosx的图332 C. 23D.

1 2【答案】A 【解析】

试题分析：把函数ysin(x6)的图象向左平移

个单位，得到ysinx 336sinx的图象，再根据所得到的图象与函数ycosx的图象重合，可得

36sinxcosx，故 2k，kZ，即6k2，则的一

36362个可能取值是2，故选：A． 考点：三角函数图象变换.

【方法点睛】本题主要考查诱导公式的应用，利用了yAsinx的图象变换规律，属于基础题．根据yAsinx的图象变换规律即“左加右减上加下减”的原则，可得

ysinx，在其变换过程中需注意提取，即x，化简可得

363sinxcosx，再利用诱导公式求得的一个可能取值．

368.下列各式中运算正确的是（ ）

m774A. ()mn7(m0,n0) B．12(3)33

nC．4x3y3(xy)(x0,y0) 【答案】D

341 D．

3933

考点：函数的性质及应用.

9.已知a1，b6，a(ba)2，则向量a与向量b的夹角是（ ）

A.D．

 B． C． 643 2【答案】C 【解析】

试题分析：由a(ba)2，得abaa2，即ab3，故cosababab1，则2其夹角为

，故选项为C. 3考点：平面向量的数量积运算. 10.下列判断：

（1）从个体编号为1，2，…，1000的总体中抽取一个容量为50的样本，若采用系统抽样方法进行抽取， 则分段间隔应为20；

（2）已知某种彩票的中奖概率为票有足够的张 数）；

（3）从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，恰有1个黒球与恰有2个黒球是互斥但不对立的两 个事件；

（4）设具有线性相关关系的变量的一组数据是（1，3），（2，5），（3，6），（6，8），则它们

的回归直线一定过点（3，其中正确的序号是（ ）

A．（1）、（2）、 （3） B．（1）、（3）、（4） C．（3）、（4） D．（1）、（3） 【答案】B

1，那么买1000张这种彩票就一定会中奖（假设该彩100011 ）. 2

考点：（1）系统抽样；（2）概率的定义；（3）对立事件与互斥事件；（4）线性回归方程. 11.已知关于x的不等式ax2bxc＞0的解集为x1＜x＜2，那么不等式

a(x21)b(x1)c＞2ax的解集为（ ）

A．x0＜x＜3 B．xx＜0，或x＞3 C．x2＜x＜1 D．xx＜2，或x＞1 【答案】A 【解析】

试题分析：不等式axbxc0的解集为x1x2，可得2abc0并且a0，

4a2bc0ba，c2a代入不等式ax21bx1c2ax，化为x23x0，可得

x0x3，故选C．

考点：一元二次不等式的解法.

12.在集合D上都有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意xD，都有f(x)g(x)≤

1，

则称f(x)与g(x)在集合D上是缘分函数，集合D称为缘分区域．若f(x)x3x2与

2g(x)2x3

在区间a,b上是缘分函数，则缘分区域D是（ ）

A．2,11,2 B．2,10,1 C．2,01,2 D．1,01,2 【答案】B

考点：函数的概念及其构成要素.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和大于【答案】

5的概率是______________. 647 72【解析】

试题分析：设随机取出的两个数分别为x，y，则满足两数之和小于

0x1，对应区域的面积为1，则

0y155，对应不等式xy，对应的区域为AOB，对应的面积6615525525475，则两数之和大于的概率是. S，则两数之和小于的概率P26672672726

考点：几何概型.

14.已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在区间0,上单调递增.若实数a满足

f(log4a)f(log1a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是 . 4【答案】,4

41

考点：（1）函数奇偶性的性质；（2）函数单调性的性质.

【方法点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力，属于中档题．根据偶函数的定义以及对数式的运算将所给的式子化为：flog4af1，再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式1log4a1求解得结果. 15.已知函数f(x)x212a3，下列五个结论： ①当a③当

33时，函数f(x)没有零点； ②当a时，函数f(x)有两个零点； 223a2时，函数f(x)有四个零点； ④当a2时，函数f(x)有三个零点； 2⑤当a2时，函数f(x)有两个零点．

其中正确的结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号） 【答案】①②③④⑤ 【解析】

22试题分析：∵f(x)x12a3，∴由fx0，得x12a3，①当a223时，2∵2a30，x10，∴x12a3无解，∴当a①正确；②当a3时，函数fx没有零点，故23222时，2a30，x10，∴由x12a3，得x10，解233得x1，∴当a时，函数fx有两个零点，故②正确；③当a2时，02a31，

2232则x12a3，解得x2a2，或x42a，∴当a2时，函数fx有

2四个零点，故③正确；④当a2时，由x12a3，得x11，解得x0，2a31，或x2．∴当a2时，函数fx有三个零点，故④正确；⑤当a2时，2a31，

22则x212a3，解得x2a2．∴当a2时，函数fx有两个零点，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．

考点：（1）函数的零点；（2）命题真假的判断及应用.

【方法点晴】本题考查函数的零点个数的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想、等价转化思想和绝对值性质的合理运用．f(x)x212a3，由

fx0，得x212a3，由此利用绝对值的性质对a的取值进行分类讨论，去绝对值，

转化为关于x的一元二次方程，能够求出结果，判断各项的正误.

16.用an表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则a99；10的

因数有1,2,5,10，则a105，记数列an的前n项和为Sn，则S220161______.

420161【答案】

3

考点：（1）数列的函数特性；（2）数列求和.

【方法点晴】本题考查新定义的性质及应用，等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，较难理解，难度较大，据题中对an的定义，判断出ana2n，且若nn为奇数则ann，利用等差数列的前n项和公式及Sn1Sn4的形式，利用逐差累加的方

法及等比数列的前n项和公式求出Sn，令n2016求出结果．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）口袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1、2、3、4、5，甲、乙两

人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸出一个球，记下编号，如果两个编号的和为

偶数算甲赢，否则算乙赢.

（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】（1）

1；（2）不公平. 5

试题解析：(1)设“甲赢且编号的和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为(1,5)，(2,4)，

(3,3)，(4,2)，(5,1),共5个.

又甲、乙两人取出的数字共有25个等可能的结果. ∴P(A)故甲赢且编号的和为6的事件发生的概率为

51, 255

1. 5(2)设“甲胜”为事件B， “乙胜”为事件C,则甲胜包含的基本事件数为13个，即 (1,1)，(1,3)，(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5)，(4,2),(4,4) ,(5,1),(5,3),(5,5) ,

∴P(B)131312,P(C)1P(B)1 252525∵P(B)≠P(C) ∴这种游戏规则不公平. 考点：等可能事件的概率.

18.（12分）如图，正三角形ABC的边长为2，D,E,F分别在三边AB,BC,CA上，且D

0为AB的中点．EDF90，BDE(090)．

00（Ⅰ）当tanDEF3时，求角的大小； 2（Ⅱ）求DEF的面积S的最小值以及使得S取最小值时的值．

【答案】（Ⅰ）60；（Ⅱ）

0633，45. 2

试题解析：（Ⅰ）在BDE中，由正弦定理得

BDsin6003， DE00sin(120)2sin(60)在ADF中，由正弦定理得

ADsin6003． DFsin(300)2sin(300)DF3sin(600)3由tanDEF得， 0DE22sin(30)整理得tan（Ⅱ）S3，所以600．

31DEDF

8sin(600)sin(300)232(3cossin)(cos3sin)034sin223．

∴当45时，S取得最小值为

3423633． 2考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.

【方法点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．在BDE中和ADF中，当涉及两边及其两边的对角时利用正弦定理，两次正弦定理结合得结果；在（Ⅱ）中把三角形的面积表示成关于的函数，利用两角和的正余弦公式及降幂公式化简，然后求三角函数的最小值.

19.（12分）已知定义域为R的偶函数f(x)满足:对于任意实数x，都有f(1x)f(1x)，且

当0≤x≤1时，f(x)3x1．

（1）求证：函数f(x)是周期函数； （2）当x1,3时，求f(x)的解析式.

33x,x1,2【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)x1.

x2,33,

（2）当x2,3时，x20,1，则f(x)f(x2)3x213x1，

33x.

当x1,2时，2x0,1，则f(x)f(x)f(2x)32x133x,x1,2故当x1,3时，有f(x)x1.

3,x2,3考点：（1）抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法.

20.(12分)有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大

桥上的车距d(m)与车速v（km/h）和车身长l(m)的关系满足：dkvl的常数），假

定大桥上的车的车身长都为4m，当车速为60km/h时，车距为2.66个车身长. （1）写出车距d关于车速v的函数关系式；

（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

【答案】（1）d0.0024v22；（2）当v50(km/h)时，大桥每小时通过的车辆最多.

21l（k为正2

12.66ll20.0006， 试题解析： （1）当v60时，d2.66l，故k602l从而d0.0024v22.

(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q1000v，即 d4Q10001000v， 260.0024v60.0024vv66≥20.0024v0.24，

vv

∵0.0024v∴Q≤

1000125006，当且仅当0.0024v， 0.243v12500即v50时，Q取得最大值.

3答：当v50(km/h)时，大桥每小时通过的车辆最多. 考点：（1）函数模型的选择及应用；（2）基本不等式.

x221.（12分）设f(x)，g(x)ax52a（a0）．

x1（1）求f(x)在区间0,1上的值域；

（2）若对于任意x10,1，总存在x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)0,；（2）,.

222159

2(xx2)(x1x2x1x2)x12x210，f(x1)f(x2)(x11)(x21)x11x21f(x1)f(x2)，函数f(x)在0,1上单调增. (f(x))minf(0)0,(f(x))maxf(1)1, 21又f(x)在0,1上连续，则f(x)在0,1上的值域为0,.

2(2)在0,1上，记函数f(x)，g(x)的值域分别是A,B，由(1)知A0,，

2又g(x)在0,1上单调增， 则Bg(0),g(1)52a,5a，

105952a1由题意知，AB，则，解得a，

5a222故实数a的取值范围是, 22考点：函数的值域.

【一题多解】（1）①若x0，fx0；

59②若x0，则fx1112xx21111x242；由于0x1，∴

11；∴x111111110,. fx；∴的值域为12；∴022x2424211x2422.（12分）已知二次函数f(x)xaxa(xR)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且

只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列

22an的前n项

和Snf(n). （1）求f(x)的表达式； （2）求数列an的通项公式； （3）设bn(3)意nN，

an526bnbn1bn，cn，cn的前n项和为Tn，若Tn＞2nt对任

bnbn1n≥2恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）f(x)x4x4；（2）an21,n1；（3）t16.

2n5,n2

2试题解析：（1）由不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素得a4a0，

解得a0或a4 ， 当a0时，f(x)x在(0,)上单调递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式

2f(x1)＞f(x2)成立；

当a4时，f(x)x4x4在(0,2)上单调递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式

2f(x1)＞f(x2)成立.

综上，f(x)x4x4

2（2）由（2）知Snn4n4，当n1时，a1S11，

2

当n≥2时，anSnSn1(n4n4)(n1)4(n1)42n5 ∴an221,n1,

2n5,n2.an5

（3）∵bn(3)27,n1,2，∴b127,b29，c118， n273,n2.

632n3n13n1n1∴当n2时，cn22()，

3n3n13∴当n2时，

11(1()n1)2113Tn182(n1)22716 2n()n1，

1272731311Tn＞2nt对nN，n≥2恒成立等价于t＜16()n1对nN，n≥2恒成立，

27311而16()n1是关于n的增函数，所以当n2时，(Tn)min16，

273∴实数t的取值范围是t＜16.

考点：（1）二次函数的性质；（2）数列的通项公式；（3）恒成立问题.

【方法点睛】本题考查二次函数的性质，将fx0有且只有一个解，转化为0，代入验证满足条件②的a的值，在求数列的通项公式利用anSnSn1时，需注意分为n1和n2两种情况，且验证n1时；数列与函数的综合，本题解题的关键是根据所给的条件构造新数列，求新数列的和，这里利用数列的求和的基本方法即分组，注意本题中对于特殊项的验证．