北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（ ） A．{﹣2，﹣1，0，1}
B．{﹣1，0，1}
C．{0，1}
D．{﹣1，0}
2．已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 3．定积分
A．10﹣ln3 B．8﹣ln3
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
=（ ） C．
D．
4．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且果A．
（m，n为实数），那么m+n的值为（ ） B．0 C． D．1
，，如
5．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条
件是（ ）
A．k≤3？ B．k＜3？ C．k≤4？ D．k＞4？
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
1 / 24
A． B． C． D．
7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ） A．60 B．72 C．84 D．96
8．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ）
A．a B．b C．c D．d
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．抛物线y2=2x的准线方程是 ．
10．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a2=2，S9=9，则a8= ． 11．在△ABC中，若b2=ac，12．若x，y满足
，则∠A= ．
，则的取值范围是 ．
（θ为的最大值
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线
参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则为 ．
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14．已知函数f（x）=ex﹣e﹣x，下列命题正确的有 ．（写出所有正确命题的编号）
①f（x）是奇函数；
②f（x）在R上是单调递增函数；
③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若
，求g（x）在
上的单调递减区间．
16．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求
的值；若
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不存在，请说明理由．
17．某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）： A B C
4 4.5 5
4 5 5
4.5 6 5.5
5 6.5 6
5.5 6.5 6
6 7 7
6 7 7
7.5 7.5
8 8
（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；
（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）． 18．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）对任意19．已知椭圆C：1）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点
，
的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，求证：λ+μ为定值．
，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．
的离心率为
，右焦点为F，点B（0，
．
4 / 24
20．对于∀n∈N*，若数列{xn}满足xn+1﹣xn＞1，则称这个数列为“K数列”． （Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足
若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理
由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列列”，若
，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．
不是“K数
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北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（ ） A．{﹣2，﹣1，0，1} 【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}={﹣2，﹣1，0}， B={﹣1，0，1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选：D．
2．已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 B．{﹣1，0，1}
C．{0，1}
D．{﹣1，0}
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】a，b∈R，复数a+bi是纯虚数⇔【解答】解：a，b∈R，复数a+bi是纯虚数⇔
，即可判断出结论．
，
∴“b≠0”是“复数a+bii是纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B． 3．定积分
A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 【考点】定积分．
【分析】求出原函数，即可求出定积分．
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=（ ） C．
D．
【解答】解：故选B．
4．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且果A．
（m，n为实数），那么m+n的值为（ ） B．0 C． D．1
，
，如
=
=8﹣ln3，
【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】如图所示，
=
=﹣
．即可求得m，n即可．
【解答】解：如图所示，=﹣
∴m=﹣，n=，∴故选：C
，
=．
5．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条
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件是（ ）
A．k≤3？ B．k＜3？ C．k≤4？ D．k＞4？
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=4时，退出循环，输出S的值为64，故判断框图可填入的条件是k≤3． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得： S=1，k=0
满足条件，S=1，k=1， 满足条件，S=2，k=2， 满足条件，S=8，k=3， 满足条件，S=64，k=4，
由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为64． 结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k≤3． 故选：A．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
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A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得答案．
【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体， 其底面面积S=×1×1=， 柱体的高为：2，锥体的高为1， 故组合体的体积V=×2﹣××1=故选：A．
7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ） A．60 B．72 C．84 D．96 【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
，
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①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，
将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，
当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法， 此时有2×2×12=48种不同坐法；
②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时， 将父母及小明看成一个整体，
小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，
将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况， 此时有2×2×6=24种不同坐法；
③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况， 此时，共有2×6=12种不同坐法； 则一共有48+24+12=84种不同坐法； 故选：C．
8．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ）
A．a B．b C．c D．d 【考点】进行简单的合情推理．
【分析】根据题意，条件“四人都只说对了一半”，若甲同学猜对了1﹣b，依次判断3﹣d，2﹣c，4﹣a，再假设若甲同学猜对了3﹣c得出矛盾．
【解答】解：根据题意：若甲同学猜对了1﹣b，则乙同学猜对了，3﹣d，丙同
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学猜对了，2﹣c，丁同学猜对了，4﹣a，
根据题意：若甲同学猜对了3﹣c，则丁同学猜对了，4﹣a，丙同学猜对了，2﹣c，这与3﹣c相矛盾， 综上所述号门里是a， 故选：A．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．抛物线y2=2x的准线方程是 【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案． 【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1， ∴准线方程是x=﹣ 故答案为：﹣
10．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a2=2，S9=9，则a8= 16 ． 【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．
【解答】解：{an}为等差数列，Sn为其前n项和． a2=2，S9=9， ∴
，
．
解得
∴a8=a1+7d=16． 故答案为：16．
11．在△ABC中，若b2=ac，，则∠A= 11 / 24
．
【考点】余弦定理．
【分析】根据余弦定理求解出a，c的关系，即可判断角A的大小． 【解答】解：由b2=ac，根据余弦定理cosB=
， ，
可得a2+c2=2ac，即（a﹣c）2=0， ∴a=c，
由b2=ac，可得a=b=c． △ABC是等边三角形． ∴A=
故答案为：
．
12．若x，y满足【考点】简单线性规划．
，则的取值范围是 [，6] ．
【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解． 【解答】解：满足约束条件如下图所示：
又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率 当x=，y=时，有最小值； 当x=1，y=6时，有最大值6 故答案为：[，6]
的可行域，
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13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则
．
【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】求出曲线
（θ为参数）的普通方程，设直线方程为kx
的最大值．
（θ为参数），普通方程为（x﹣1）
（θ为的最大值为
﹣y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出【解答】解：曲线
2
+y2=1．
，∴
设直线方程为kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=
|OB|=2=，
kx﹣y=0与x+y=4联立，可得A（∴
=
，
=．
，），∴|OA|=，
设k+1=t（t＞0），则∴
的最大值为
≤=．
13 / 24
故答案为
14．已知函数f（x）=ex﹣e﹣x，下列命题正确的有 ①②④ ．（写出所有正确命题的编号） ①f（x）是奇函数；
②f（x）在R上是单调递增函数；
③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2． 【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．
【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数f（x）=ex﹣e﹣x求导，分析可得f′（x）＞0，分析可得②正确；对于③、g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，分析可得g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，进而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之间，即方程f（x）=x2+2x至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①、f（x）=ex﹣e﹣x，定义域是R，且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x），f（x）是奇函数；故①正确；
对于②、若f（x）=ex﹣e﹣x，则f′（x）=ex+e﹣x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；
对于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x， 令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0， g（3）=e3﹣
﹣13＜0，g（4）=e4﹣
﹣20＞0，
．
则方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之间， 故③错误；
对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，
令h（x）=ex﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，
若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=ex+e﹣x﹣k＞0恒成立，
14 / 24
若ex+e﹣x﹣k＞0，即k＜ex+e﹣x=ex+而ex+
≥2，若有k＜2，
恒成立，
故④正确；
综合可得：①②④正确； 故答案为：①②④．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若
，求g（x）在
上的单调递减区间．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）由图象求得A及周期，再由周期公式求得ω，则f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）把f（x）代入g（x）在
上的单调递减区间．
，整理后由复合函数的单调性求得
【解答】解：（Ⅰ）由图象可知A=2， 设函数f（x）的周期为T，则求得T=π，从而ω=2， ∴f（x）=2sin2x； （Ⅱ）
，
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=∴即令k=0，得∴g（x）在
16．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求
的值；若
=
，
，k∈Z． ，
上的单调递减区间为
． =
，
不存在，请说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥DE，从而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO，推导出EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小．
（Ⅲ）设BE的中点为G，连接CG，FG，推导出四边形CDFG是平行四边形，从而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时
．
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【解答】（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）由已知得AB⊥AD，AB⊥DE． 因为AD∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．
又AB⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD..… 解：（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO．
因为△ADE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD． 因为 平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD=AD，EO⊂平面ADE， 所以EO⊥平面ABCD．
以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O 垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示． 由已知，得E（0，0，所以
=（1，﹣1，
），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）． ），
=（2，1，0）．
设平面BCE的法向量=（x，y，z）． 则
，
）．
令x=1，则=（1，﹣2，﹣
又平面ADE的一个法向量=（0，1，0）， 所以cos＜
＞=
=﹣
．
．…
．
所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为
（Ⅲ）在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时理由如下：
设BE的中点为G，连接CG，FG， 则FG∥AB，FG=因为AB∥CD，且
．
，所以FG∥CD，且FG=CD，
所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．
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因为CG⊂平面BCE，且DF⊄平面BCE， 所以DF∥平面BCE..…
17．某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）： A B C
4 4.5 5
4 5 5
4.5 6 5.5
5 6.5 6
5.5 6.5 6
6 7 7
6 7 7
7.5 7.5
8 8
（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；
（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）． 【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（I）利用该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，建立方程，即可求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；
（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出A品牌待机时长高于B品牌的概率；
（Ⅲ）根据平均数的定义，写出a+b+c的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台，
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则购买的C品牌电动智能送风口罩为由题意得
，所以x=800．
台，
答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台..… （Ⅱ）设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P， 则
．
答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为..… （Ⅲ）18．…
18．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）对任意
，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．
．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为m≥f（x）max，通过讨论k的范围，求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．
【解答】解：由已知得，f（x）的定义域为（0，+∞）． （Ⅰ）
，．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）， （Ⅱ）由xln（kx）﹣kx+1≤mx， 得
由（Ⅰ）知，
（1）当k≥2时，f（x）在m≥0；．
上单调递减，所以
，所以
，即m≥f（x）max．
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（2）当0＜k≤1时，f（x）在
，
所以
；
上单调递减，在．
，
， ，即，
所以②若m≥0
综上所述，当k≥2ln2时，m≥0； 当0＜k＜2ln2时，
19．已知椭圆C：1）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点
，
的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，求证：λ+μ为定值．
的离心率为
，右焦点为F，点B（0，
．
．
，即
，所以2ln2≤k＜2，此时f（x）max=0，所以
，所以
1＜k＜2ln2，此时
上单调递增，
上单调递增，所以
（3）当1＜k＜2时，f（x）在所以又①若
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题意b=1，利用椭圆的离心率即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明λ+μ=0为定值．
20 / 24
【解答】解：（Ⅰ）由点B（0，1）在椭圆C：b=1．
又椭圆C的离心率为由a2=b2+c2，得∴椭圆C的方程为
．
… ，则
，
上，则，即
（Ⅱ）证明：由已知得F（1，0），直线MN的斜率存在．
设直线MN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则P（2，k）． 由
，
，得
，
∴，．
联立
得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．
∴，．
∴
∴λ+μ=0为定值…
==0，
20．对于∀n∈N*，若数列{xn}满足xn+1﹣xn＞1，则称这个数列为“K数列”． （Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足
若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理
由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列
不是“K数
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列”，若
，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．
【考点】数列的应用．
【分析】（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得
对n∈N*均成立，化为（n﹣1）d＜n．对n分类讨论解出
即可得出．
（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则
，由题意可得：{an}的每一项均为
正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1，可得在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在
中，“
”为最小项．再利用“K数列”，可得
a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，② 解①得 m＞1；
解②得 m＜﹣1或m＞2．
所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．
（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1， 由 a1=﹣1，得由题意，得即（n﹣1）d＜n． ①当n=1时，d∈R； ②当n＞1时，因为
， ，
，．
对n∈N*均成立，
所以d≤1，与d＞1矛盾， 故这样的等差数列{an}不存在． （Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则
，
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因为{an}的每一项均为正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0， 所以a1＞0，且q＞1．
因为an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1， 所以在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项． 同理，在
中，“
”为最小项．
由{an}为“K数列”，只需a2﹣a1＞1，即 a1（q﹣1）＞1， 又因为
不是“K数列”，且“
”为最小项，所以
，即
a1（q﹣1）≤2，
由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=2， 所以a1=1，q=3或a1=2，q=2． ①当a1=1，q=3时，令又
，则
=
，则
，
， ，
所以{cn}为递增数列，即 cn＞cn﹣1＞cn﹣2＞…＞c1， 所以bn+1﹣bn＞bn﹣bn﹣1＞bn﹣1﹣bn﹣2＞…＞b2﹣b1． 因为
，
所以对任意的n∈N*，都有bn+1﹣bn＞1， 即数列{cn}为“K数列”． ②当a1=2，q=2时，
，则
．因为
，
所以数列{bn}不是“K数列”． 综上：当当
时，数列{bn}为“K数列”，
时，数列{bn}不是“K数列”．
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4月25日
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