2018年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。每个小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）（﹣2018）0的值是（ ） A．﹣2018 B．2018
C．0
D．1
2．（3分）四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元，将2075亿用科学记数法表示为（ ） A．0.2075×1012
B．2.075×1011 C．20.75×1010 D．2.075×1012
3．（3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14° B．15° C．16° D．17° 4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6 B．a3+a2=a5 C．（a2）4=a8
D．a3﹣a2=a
5．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
6．（3分）等式
B．
=
C． D．
成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）
8．（3分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加
1
酒会的人数为（ ） A．9人 B．10人
C．11人
D．12人
9．（3分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A．（30+5
）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm2
10．（3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据：
≈1.732，
≈1.414）
C．6.12海里
D．6.21海里
A．4.64海里 B．5.49海里
11．（3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=面积为（ ）
，AD=
，则两个三角形重叠部分的
A． B．3 C． D．3
12．（3分）将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5
7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 …
2
按照以上排列的规律，第25行第20个数是（ ） A．639 B．637 C．635 D．633
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上。
13．（3分）因式分解：x2y﹣4y3= ．
14．（3分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 ．
15．（3分）现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是 ．
16．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
17．（3分）已知a＞b＞0，且++=0，则= ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB= ．
3
三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（16分）（1）计算：（2）解分式方程：
+2=
﹣sin60°+|2﹣
|+
20．（11分）绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折
线
统
计
图
和
扇
形
统
计
图
：
设销售员的月销售额为x（单位：万元）．销售部规定：当x＜16时为“不称职”，当16≤x＜20时为“基本称职”，当20≤x＜25时为“称职”，当x≥25时为“优秀”．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全折线统计图和扇形统计图；
（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数；
（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果取整数）？并简述其理由．
21．（11分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
22．（11分）如图，一次函数y=﹣x+的图象与反比例函数y=（k＞0）的图
4
象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1． （1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E． （1）求证：BE=CE；
（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．
24．（12分）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN． （1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．
5
25．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式；
，﹣3）和点B（3，
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6
2018年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。每个小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）（﹣2018）0的值是（ ） A．﹣2018 B．2018
C．0
D．1
【解答】解：（﹣2018）0=1． 故选：D．
2．（3分）四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元，将2075亿用科学记数法表示为（ ） A．0.2075×1012
B．2.075×1011 C．20.75×1010 D．2.075×1012
【解答】解：将2075亿用科学记数法表示为：2.075×1011． 故选：B．
3．（3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14° B．15° C．16° D．17°
【解答】解：如图，∵∠ABC=60°，∠2=44°， ∴∠EBC=16°， ∵BE∥CD， ∴∠1=∠EBC=16°， 故选：C．
7
4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6 B．a3+a2=a5 C．（a2）4=a8
D．a3﹣a2=a
【解答】解：A、a2•a3=a5，故原题计算错误；
B、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误； C、（a2）4=a8，故原题计算正确；
D、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误； 故选：C．
5．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D．
6．（3分）等式
=
成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）A． B． C．
D．
【解答】解：由题意可知：
解得：x≥3
8
故选：B．
7．（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣4，3）．
故选：B．
8．（3分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A．9人 B．10人
C．11人
D．12人
【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）=55， 整理，得：x2﹣x﹣110=0，
解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故选：C．
9．（3分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
9
A．（30+5
）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm2
【解答】解：设底面圆的半径为R， 则πR2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长=
=
，
=5
π；
所以圆锥的侧面积=•2π•5•圆柱的侧面积=2π•5•3=30π， 所以需要毛毡的面积=（30π+5故选：A．
π）m2．
10．（3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据：
≈1.732，
≈1.414）
C．6.12海里
D．6.21海里
A．4.64海里 B．5.49海里
【解答】解：如图所示，
由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，
作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE，
10
设BD=x，
则AB=BE=CE=2x，AD=DE=∴AC=AD+DE+CE=2∵AC=30， ∴2
x+2x=30，
≈5.49， x+2x，
x，
解得：x=故选：B．
11．（3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=面积为（ ）
，AD=
，则两个三角形重叠部分的
A． B．3 C． D．3
【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．
∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ECA=∠DCB， ∵CE=CD，CA=CB， ∴△ECA≌△DCB， ∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=∵∠EDC=45°，
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°， 在Rt△ADB中，AB=∴AC=BC=2，
11
，
=2，
∴S△ABC=×2×2=2，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N， ∴OM=ON，
∵====，
∴S△AOC=2×故选：D．
=3﹣，
12．（3分）将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5
7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 …
按照以上排列的规律，第25行第20个数是（ ） A．639 B．637 C．635 D．633
【解答】解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个， 则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=则第n行（n≥3）从左向右的第m数为为第即：1+2[
+m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1
个， +m奇数，
n=25，m=20，这个数为639， 故选：A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上。
13．（3分）因式分解：x2y﹣4y3= y（x﹣2y）（x+2y） ．
12
【解答】解：原式=y（x2﹣4y2）=y（x﹣2y）（x+2y）． 故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
14．（3分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【解答】解：“卒”的坐标为（﹣2，﹣2）， 故答案为：（﹣2，﹣2）．
15．（3分）现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是
．
【解答】解：从1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果： 3、4、5；2、4、5；2、3、5；2、3、4；1、4、5；1、3、5；1、3、4；1、2、5；1、2、4；1、2、3；
其中能构成三角形的有3、4、5；2、4、5；2、3、4这三种结果， 所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是故答案为：
16．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 （4
，
．
﹣4） m．
13
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且
通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出： ﹣2=﹣0.5x2+2， 解得：x=±2﹣4）米， 故答案为：4
17．（3分）已知a＞b＞0，且++
=0，则= ．
﹣4．
，所以水面宽度增加到4
米，比原先的宽度当然是增加了（4
【解答】解：由题意得：2b（b﹣a）+a（b﹣a）+3ab=0， 整理得：2（）2+解得=∵a＞b＞0，
，
﹣1=0，
14
∴=故答案为
，
．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB= ．
【解答】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线， ∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心， ∴AO=2OD，OB=2OE， ∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=， ∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=， ∴BO2+AO2=∴BO2+AO2=5， ∴AB=故答案为
三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（16分）（1）计算：（2）解分式方程：
+2=
﹣sin60°+|2﹣
，
=．
．
|+
【解答】解：（1）原式=×3=
+2﹣
﹣×+2﹣+
15
=2；
（2）去分母得，x﹣1+2（x﹣2）=﹣3， 3x﹣5=﹣3， 解得x=，
检验：把x=代入x﹣2≠0，所以x=是原方程的解．
20．（11分）绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折
线
统
计
图
和
扇
形
统
计
图
：
设销售员的月销售额为x（单位：万元）．销售部规定：当x＜16时为“不称职”，当16≤x＜20时为“基本称职”，当20≤x＜25时为“称职”，当x≥25时为“优秀”．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全折线统计图和扇形统计图；
（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数；
（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果取整数）？并简述其理由．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为∴不称职的百分比为
=40人，
×
×100%=10%，基本称职的百分比为
100%=25%，优秀的百分比为1﹣（10%+25%+50%）=15%， 则优秀的人数为15%×40=6，
∴得26分的人数为6﹣（2+1+1）=2，
16
补全图形如下：
（2）由折线图知称职的20万4人、21万5人、22万4人、23万3人、24万4人，优秀的25万2人、26万2人、27万1人、28万1人， 则称职的销售员月销售额的中位数为22万、众数为21万， 优秀的销售员月销售额的中位数为26万、众数为25万和26万；
（3）月销售额奖励标准应定为22万元．
∵称职和优秀的销售员月销售额的中位数为22万元，
∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元．
21．（11分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
【解答】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：
，
解得：
，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
17
（2）设货运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车（10﹣m）辆， 根据题意可得：4m+1.5（10﹣m）≥33， 解得：m≥7.2，令m=8，
大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小 则安排方案有：大货车8辆，小货车2辆，
22．（11分）如图，一次函数y=﹣x+的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1． （1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1， ∴|k|=1， ∵k＞0， ∴k=2，
故反比例函数的解析式为：y=；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由，解得，或，
∴A（1，2），B（4，）， ∴A′（﹣1，2），最小值A′B=设直线A′B的解析式为y=mx+n，
18
=．
则，解得，
∴直线A′B的解析式为y=﹣∴x=0时，y=
，
）．
x+，
∴P点坐标为（0，
23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E． （1）求证：BE=CE；
（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵EB、ED为⊙O的切线， ∴EB=ED，OD⊥DE，AB⊥CB，
∴∠ADO+∠CDE=90°，∠A+∠ACB=90°， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠CDE=∠ACB， ∴EC=ED，
19
∴BE=CE；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r， ∵DE∥AB，
∴∠DOB=∠DEB=90°， ∴四边形OBED为矩形， 而OB=OD，
∴四边形OBED为正方形， ∴DE=CE=r，
易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形， ∴OH=DH=
r，CD=
r，
=
r，
在Rt△OCB中，OC=
在Rt△OCH中，sin∠OCH=即sin∠ACO的值为
．
==，
24．（12分）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN． （1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
20
（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．
【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，则有解得
，
，
∴直线BC的解析式为y=x+4．
（2）如图1中，连接AD交MN于点O′．
由题意：四边形AMDN是菱形，M（3﹣t，0），N（3﹣t，t）， ∴O′（3﹣t，t），D（3﹣t，t）， ∵点D在BC上， ∴t=×（3﹣t）+4， 解得t=
．
）．
∴t=3s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D（﹣，
（3）如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN，S=•t•t=t2．
21
如图3中，当5＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．
S=×6×4﹣×（6﹣t）•[4﹣（t﹣5）]=﹣t2+
t﹣12．
25．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式；
，﹣3）和点B（3，
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（解得：a=，b=﹣
，﹣3）和点B（3，
，0）代入抛物线得：，
22
则抛物线解析式为y=x2﹣（2）设P坐标为（x，x2﹣当△OCA∽△ADP时，整理得：3x2﹣9解得：x=此时P（
=
x；
x），则有AD=x﹣，即
=
，PD=x2﹣，
x+3，
x+18=2
x﹣6，即3x2﹣11
或x=
x+24=0，
，即x=
，﹣）；
=
（舍去）
当△OCA∽△PDA时，
x2﹣9x+6
，即
，即x2﹣5或
=，
整理得：解得：x=此时P（4
=6x﹣6x+12=0，
，即x=4
，6）．
（舍去），
综上，P的坐标为（，﹣）或（4
，
，6）；
（3）在Rt△AOC中，OC=3，AC=根据勾股定理得：OA=2∵OC•AC=OA•h， ∴h=， ∵S△AOC=S△AOQ=
，
，
∴△AOQ边OA上的高为，
过O作OM⊥OA，截取OM=，过M作MN∥OA，交y轴于点N，如图所示：
23
在Rt△OMN中，ON=2OM=9，即N（0，9）， 过M作MH⊥x轴，
在Rt△OMH中，MH=OM=，OH=设直线MN解析式为y=kx+9， 把M坐标代入得：=联立得：解得：
或
k+9，即k=﹣，
，即Q（3
，0）或（﹣2
，15），
，0）或（﹣
，即y=﹣
x+9，
OM=
，即M（
，），
则抛物线上存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ，此时点Q的坐标为（32
，15）．
24
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