高三数学立体几何复习
一、填空题
1. 分别在两个平行平面内的两条直线间的地址关系不可以能为
．．．． ①平行 【答案】②
【剖析】两平行平面没有公共点，因此两直线没有公共点，因此两直线不可以能订交 2.
已知圆锥的母线长为 8，底面周长为 6π，则它的体积为
②订交
③异面
④垂直
【答案】 3 55
【剖析】设底面半径为 积 V
r, 2 r 6 , r 3 , 设圆锥的高为 h ，那么 h
82
32
55 ，那么圆锥的体
1 r 2 h 1 3 3
已知平面
，
9
55 3 55 ，故填： 3 55 .
3.
/ / 平面 ， P
且 P ，试过点 P 的直线 m 与 ， 分别交于 A ， C ，过点 P 的
直线 n 与 【答案】
分别交于 B， D 且 PA
6 ， AC
9， PD 8 ，则 BD 的长为 ___________.
24 或 24 5
【剖析】 第一种情况画出图形以以下列图所示，
订交，那么它们的交线相互平行 比率，有
P
B
由于“若是两个平行平面同时和第三个平面
6 8x
. ”因此 AB / /CD ，设 BD x ，依照平行线分线段成
, x
9 x
24 5
第二种情况画出图形以以下列图所示，
么它们的交线相互平行
A
C
D
C
B A
由于“若是两个平行平面同时和第三个平面订交， 那
. ”因此 AB / /CD ，设 BD
x ，依照平行线分线段成比率，有
6X
8
, x 24 .
P
3
4.
8
半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的
D
表面积之比是 ____________． 【答案】 1： 2
【剖析】 R
2
r 2h2 ，圆柱的侧面积
2 rh 4
r
h
2
h2
4 r
4
2 R ，当且仅当 r
2
h 2
时取等号，
4
2 2
此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为 5.
2 R2 : 4 R2 1: 2
以下列图， G、N、M 、 H 分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的极点或所在棱的中点，
则表示直线 GH 、MN 是异面直线的图形有 ____________（填上所有 正确答案的序号） ．【答案】②④
【剖析】由题意得，可知（ 1）中，直线 GH // MN ；图（ 2）中，G , H , N 三点共面，但
M 面 GHN ，因此直线 GH 与 MN 异面；图（ 3）中，连接 MG , GM // HN ，因此 GH 与
面 GHN ，因此直线 GH 与 MN
MNG ，因此直线 GH 与 MN 共面；图（ 4）中， G , M , N 共面，但 H
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异面．
6.
已 知 m, n 为 直 线 ，
, 为 空 间 的 两 个 平 面 ， 给 出 下 列 命 题 ： ①
m m n
, n // ； ②
m n
, m // n ；③
m
m
,
// ；④
m
n
, m // n ．其中的正确命题为
．
//
【答案】③④
【剖析】关于① , 也会有 n 简单考据关于③④都是正确的
的结论 , 因此不正确；关于② , 故应填答案③④ .
, 也会有 m, n 异面的可能的结论 , 因此不正确；
7.
设 a,b 是两条不同样的直线 , , 是两个不同样的平面 , 则以下四个命题
①若
a b, a ,b
，则
则
，②若 a b, a
.
则 b / /
，③
若 a ,
，则 a / /
④若
a / / , a
【答案】①④ 【剖析】① a
其中正确的命题序号是
b ，不如设 a, b 订交（如异面平移到订交地址） ，确定一个平面
，得 b
，设平面 与平面 的交
线为 c ，则由 b
c ，从而 a // c ，于是有 c
,
，因此 ，①正确；②若
a b, a
，
b 可能在
在 8.
内，②错； ③若 a
， a 可能在
，则 b
，从而
内， ③错； ④若 a / / ，则由线面平行的性质定理，
，④正确．故答案为①④．
内有直线 b 与 a 平行，又 a
已知三棱锥 P ABC 的所有极点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，
PC 为球 O 的
直径，该三棱锥的体积为
2 ，则球 O 的表面积为 __________ ． 6
【答案】
4
【剖析】设 ABC 的中心为 O1 ，由题意得 S ABC
3 2
; 4 6
1 3
2OO1
S ABC
OO1
2 3
, 因此球 O 的
半径 R 满足 R2
OO12
( 3) 2
3
2 3
1 1，球 O 的表面积为 4 R2 3
4 .
9. 以下列图 ,
在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中 , AB BC CC1
1,AB BC, E 为
CC1 的中点 , 则 三棱锥 C1 ABE 的体积是
【答案】
．
1
12
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【剖析】由于
E 是 CC1 中点，因此 VC ABE
VC ABC 1
1 ( 1 1) 1 1 ．
1
21
3
2
2
12 10. 以下列图， 在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， ACB
90 , AA1
2, AC
BC 1 ,
则异面直线 A1 B 与 AC 所成角的余弦值是
.
【答案】
6
6
【剖析】由于 AC / / A1C1 ，因此 BA1C1 （或其补角）就是所求异面直线所成的角，
在 BA1C1 中 ,
A1 B6 , A1 C1
1, BC1
5 , cos BAC1 1
6 1 5
6 .
2 6 1
6
11. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1 D1 中， M , N 分别是 BB1, BC 的中点，则图中阴影部分在
平面 ADA1
D1 上的投影的面积为
．
【答案】1
8
【剖析】图中点 M 在平面的投影是 AA1 的中点，点 N 在平面的投影是 AD 的中点，点 D 的投影还是点 D ,
连接三点的三角形的面积是
1 1 1 1 ，故填： 1 .
2
2 2
8 8
12. 如图 , 正方体 ABCD A1 B1C1D1 中 , AB 2 , 点 E 为 AD 的中点 , 点 F 在
D F
EC
CD 上 , 若 EF // 平面 AB
1C , 则 EF A
________.
B
【答案】 EF
2
1
D 1
C
【剖析】依照题意， 由于 EF // 平面 AB1C ，因此 EF // AC . 又由于点 E 是 AD 中 A1
B1
点，因此点 F 是 CD 中点 . 由于在 Rt DEF 中， DE DF 1，故 EF2.
13. 在棱长为
1 的正方体 ABCD A B C D 中， E 为 AB 的中点，在面 ABCD
1 1 1 1 1
D 1
C1
中取一点 F ，使 EF
FC1 最小，则最小值为 __________ ．
A 1
B 1
【答案】
14
2
D
E
C
【剖析】如图，将正方体
ABCD A1B1C1D1 关于面 ABCD 对称，则 EC1
就是所A
B
D1
C1
A1 N B1
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2
求的最小值， EC1
EN 2 NC12
3 2
1 1 4
14 ． 2
D1
C1
14.
点 M 是棱长为 3
2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的内切球 O 球面上的动
A 1
N
D
B1
点，点 N 为 B1C1 上一点， 2NB1 NC1, DM 为 __________ ．
BN ，则动点 M 的轨迹的长度
M
C
【答案】
3
10 5
A
B
【剖析】由于
DM
BN ，因此 M 在过 D 且垂直于 BN 的平面上，以以下列图（ 1 ），取 BS
1
SB1 ， 2
AT
1
2
TA1 ，则 BN
平面 DTSC ，因此 M 在一个圆周上，如图以下列图（ 2），正方体的
中心
O 到该平面的
距 离 即 为 O1F
， 在 直 角 三 角 形 O1FC
中 ， O1F
O1C sin O1CF 3sin
O1CF ， 而
1
tan O CF
tan
4
BCS
2
2
1 1
3 1 1
3
12
，故 sin O1CF
5 ，O1 F 3 5 ， M 所在的圆周的半径 5 5
为
3 2
2
D 1
3 5 5
3 30
10
，故其轨迹的长度为
3 10
5
C 1
N
B1 C1
N
A 1
B 1
O
O1
D
T
S
M
S
C
F
C
图（ 2）
A B
B
图（ 1）
二、解答题
15. 如图，四棱锥
P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB
60o ， AB 2 AD ， PD 底面
ABCD .
（ 1）证明： PA BD ； （ 2）设 PD AD 2 ，求点 D 到面 PBC 的距离 .
解 析 ：（ 1 ） 证 明 ： 因 为
DAB
60o ， AB
2AD ， 由 余 弦 定 理 得 AD ，又由 PD 底面
BD
3AD . 从而 BD
2
AD
2
AB ，∴ BD
2
E
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ABCD ， BD
由（ 1 ）知 BD
面 ABCD ，可得 BD
PD . ∴ BD 面 PAD ， PA
面 PAD ，∴ PA
BD .
（ 2）法 1：在平面 PDB 内作 DE
PB ，垂足为 E . ∵ PD 底面 ABCD ，BC 面 ABCD ，∴ PD BC ，
AD ，又 BC / / AD ，∴ BC BD ，又 AD I BD D ， . ∴ BC 平面 PBD ，又
AD I BD D ∴ BC DE . 则 DE 平面 PBC . 由题设知， PD 2 ，则 BD
3 ，即点 D 到面 PBC 的距离为
3 .
2 3 ， PB 4
，依照
DE gPB PD gBD ，得 DE
法
2 ： 设 点 D
到
平 面 PBC 的 距 离 为 d ， 由 （ 1 ） 得 BD AD ， ∴ AB
1 S 3
PBC
4 ，
VP BCD
1
VP
2
底 面
ABCD
1
2
1
3
SY ABCD PD
1 2 4
6
3 2 2
4 3 ， 又 V P BCD 3
d ， 由
PD PC
ABCD ， BD 面 ABCD ， DC
面 ABCD ，
PBD , PCD 为 Rt
， ∴
PD2 CD 2
1 2
2 4
2 5 ， PB
PD2
CD 2 4 ， 又 BC
AD
2 ， ∴
PBC 为 Rt
且
S
PBC
4 ，∴ d
3 .
16. 已知直角梯形 将
ABCD 中， AB / /CD ， AB AD ， CD
2 所示 .
2， AD
2 ， AB 1 ，如图 1
所示，
ABD 沿 BD 折起到 PBD 的地址，如图
（ 1）当平面 PBD
平面 PBC 时，求三棱锥 P BCD 的体积；
（ 2）在图 2 中， E 为 PC 的中点，若线段
BQ / /CD ，且 EQ / / 平面 PBD ，求线段 BQ 的长；
平面 PBC 时，由于 平面
剖析 ：（ 1）当平面
且平面 PBD I 平面 PBC
PBD PB PD ，
PB ， PD
PBD ，因此 PD
平面 PBC ，由于 PC 平面 PBC ，因此 PD PC . 由于在直角梯形
3 ， DP
ABCD 中，
AB / /CD ， AB AD ， CD CP
CD 2 PD 2
2 ， AD 2 ， AB 1 ， 所 以 BD BC
1 ， 所 以 BP 2
2 . 所 以 CP . 所 以
2 . 又 因 为 BP
CP2 BC 2 ， 所 以 BP
S PBC
1
PB PC
V
D PBC
2
1
PBC
.因此三棱锥
P
BCD的体积等于
2
S gPD
1
2
3
3
2
. 又由于 E 为 PC 的中点，因此
2
1
3
.
2
（2）取 PD 的中点 F ，连接 EF ， BF ，如上图所示 EF / /CD ，且
EF
1
CD . 又由于 BQ / /CD ，因此 EF / / BQ . 因此 B ， F ， E ， Q 共面 .
平 面 BFEQ ， 且 平 面 BFEQ I 平 面
2
因 为 EQ / / 平 面 PBD ， EQ
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PBD BQ
BF ， 所 以 EQ / / FB . 又 因 为 EF / / BQ ， 所 以 四 边 形 BFEQ 是 平 行 四 边 形 . 所 以 EF
1 2
CD 1 .
ACDF 所在平面与梯形
BD AD ， M 为 AB 的中点 .
（ 1）证明： EM / / 平面 ACDF ； （ 2）证明： BD 平面 ACDF .
17. 如图几何体中，矩形
BCDE 所在平面垂直，且
BC 2DE ， DE / / BC ，
剖析 ：（ 1）法 1：延长 BE 交 CD 与 G ，连接 AG ，∵ E, M 为中点，∴
EM // AG ， EM 平面 AFDC ， AG 平面 AFDC ，∴ EM / / 面 ACDF ．
法 2：如图，取 BC 的中点 N ，连接 MN 、 EN .
在 ABC 中， M 为 AB 的中点， N 为 BC 的中点，∴ MN / / AC ，又
由于 DE / / BC ，且 DE
G
1 2
BC
CN ，∴四边形 CDEN 为平行四边形，
∴ EN / / DC ，又∵ MN I EN N ， AC I CD C . ∴平面 EMN / / 平面 ACDF ，又∵ EM
面
EMN ，∴ EM / / 面 ACDF .
法 3：如图，取 AC 的中点 P ，连接 PM ， PD . 在 ABC 中， P 为 AC 的中点， M 为 AB 的中点，∴
PM / / BC ，且 PM
1 2
BC ，又∵ DE / /BC ， DE
1 2
BC , ∴ PM / / DE ，故四边形 DEMP 为平行四
边形，∴ ME / / DP ，又∵ DP （ 2）∵平面 ACDF
平面 ACDF ， EM
平面 ACDF ，∴ EM / / 面 ACDF ． 平面 BCDE
平面 BCDE ，平面 ACDF I
BCDE ，∴ AC BD ，又 BD AD ， BD I AD
DC ，又 AC DC ，∴ AC
A ，∴ BD 平面 ACDF ．
平面
18. 如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形， AB⊥ BP， M 为 AC 的中点， N 为 PD 上一点 .
（ 1）若 MN ∥平面 ABP，求证： N 为 PD 的中点；
（ 2）若平面 ABP⊥平面 APC，求证： PC⊥平面 ABP.
【剖析】（ 1）连接 BD ，由四边形 ABCD 为矩形得： M 为 AC 和 BD 的中点，∵ MN ∥平面 ABP， MN 平面 BPD ，平面 BPD I 平面 ABP＝ BP，∴
MN ∥ BP，∵ M 为 AC 的中点，∴ N 为 PD 的中点 .
（ 2）在△ ABP 中，过点 B 作 BE⊥ AP 于 E，∵平面 ABP⊥平面 APC，平面 ABP∩平面 APC＝AP ，BE 平
面 ABP， BE⊥ AP
∴ BE⊥平面 APC，又 PC 平面 APC，∴ BE⊥ PC.∵ ABCD 为矩形，∴ AB⊥ BC，又 AB⊥ BP， BC∩BP
＝ B，BC，BP 平面 BPC，∴ AB⊥平面 BPC， ∴AB⊥PC ，又 BE⊥ PC， AB 平面 ABP，BE 平面 ABP，
AB∩BE＝B， ∴ PC⊥平面 ABP
19. 如图 ,
在四棱锥
P ABCD
中，
∥
AB DC , AD DC
1 2
AB, M
是线段
PA
的中点 .
（ 1）求证： DM∥ 平面 PCB ；
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（ 2）若 AD AB , 平面 PAC 平面 PBC , 求证： PA BC .
【剖析】（1）如图，取 PB 中点 N , 连接 CN , MN . 由于 M 是线段 PA 的中点 , 因此 MN∥ AB, MN
1
AB ,
2
因 为 DC∥ AB, CD
1 2
AB , 所 以 MN∥DC , MN
CD , 所 以 四 边 形 CDFM 为 平 行 四 边 形 , 所 以
P
CN∥DM , 由于 CN
平面 PCB , DM 平面 PCB , 因此 DM∥ 平面 PCB .
（ 2）连接 AC , 在四边形 ABCD 中，由于 AD
AB,CD∥AB , 因此 AD
CD , 设
M
N
AD a , 因 为 AD
DC 1 AB , 所 以 CD
2
a, AB 2a , 在
ADC 中 ，
A
D
B
ADC 90 , AD DC
AC BC
2a, CAB
45
,
所 以
DCA
中
,
DAC
AB
45
, 从
而
C
, 在
ACB
2a, AC 2a, CAB 45 ,
所 以
AC 2 AB2 2 AB AC cos CAB 2a , 所 以 AC 2 BC 2 AB2 , 即 AC
BC . 在 平 面
PAC 中 , 过点 A 作 AE PC , 垂足为 E , 由于平面 PAC 平面 PBC , 因此 AE 平面 PBC , 又由于
平面 PAC . 因 BC 平面 PBC , 因此 AE BC , 由于 AE 平面 PAC , AC 平面 PAC , 因此 BC
为 PA 平面 PAC , 因此 PA BC .
20. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC
A B C 中 , ACB 900 ，
1 1 1
E, F ,G
分 别 是 AA , AC , BB 的 中 点 ， 且
1 1
CG C1G .
（ 1）求证： CG // 平面 BEF ；
（ 2）求证：平面 BEF
平面 AC1 1G .
【剖析】证 :( Ⅰ ) 连接 AG 交 BE 于 D , 连接 DF , EG . ∵ E,G 分别是 AA1 , BB1 的中点， ∴ AE ∥ BG 且 AE = BG , ∴四边形
AEGB 是矩形 . ∴ D 是 AG 的中点，又∵ F 是
AC 的中点 , ∴ DF ∥ CG ，则由 DF
( Ⅱ ) ∵在直三棱柱 ABC
面 BEF , CG 面 BEF , 得 CG ∥ 面 BEF
A1 B1C1 中， C1C ⊥底面 A1B1C1 , ∴ C1C ⊥ A1C1 . 又∵ A1C1B1ACB
900 ,
即 C1B1 ⊥ A1C1 ，∴ A1C1 ⊥面 B1C1CB , 而 CG ∥
面 B1C1CB ，∴ A1C1 ⊥ CG ，又 CG
C1G , 由 ( Ⅰ ) DF
，
AC
DF , DF C G
1
DF
AC G ， Q DF
1 1
BEF
平面
BEF
CG
AC G .
1 1
1
1 ，∴
平面
，∴平面 平面
三、提高练习
21. 在三棱锥 P ABC 中， AB BC ， AB 6 ， BC 2 3 ， O 为 AC 的中点，过 C 作 BO 的垂
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线，交 BO 、 AB 分别于 R 、 D ，若
DPR CPR ，则三棱锥 P ABC 体积的最大值为 __________．
【答案】 3 3
【剖析】在 因此 DR
Rt ABC 中， ACB 60
，
OCB 为等边三角形，
1，在 PDC 中， DPR
CPR ，因此
2
PD
DR
PC RC
DCB 30 ，因此 CD 4 ， CR 3 ， ，以以下列图（ 2），设 P x, y ， D 1 0,0 ，
3
2
则 C 4,0 ，从而有 9 x
2
y
2
x
4
y ，整理获取 x
2
的最大值为
3
2
1 2
y
2
9
，故 PCD 的边 CD 上的高
4
3 3
，从而 P
ABC 体积的最大值为 1 3
P
3 2
1 2 3 2
6
b
A
O
D
R
C
P
D R C x
B
图 (1)
图（ 2）
22. 如图，直三棱柱 ABC
A1B1C1 中， D 、E 分别是棱 BC 、AB
的中点，点
F 在棱 CC1 上，已知
2 ．
AB AC ， AA1 3 ，
BC CF
（ 1）求证： C1E // 平面 ADF ；
（ 2）设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时， 平面 CAM 面 ADF ？
【剖析】（ 1）连接 CE 交 AD 于 O ，连接 OF ．由于 CE , AD 为
平
ABC 中线，因此 O 为 ABC 的重心，
CF
CC1
CO CE
2 ．从而
3
OF // C1E ． OF 面 ADF ， C1E
平面 ADF ，因此 C1 E // 平
面 ADF ．
（ 2）当 BM 1 时，平面 CAM 平面 ADF ．在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中，由于 B1 B 平面 ABC ， B1B 于 AB
平面 B1BCC1 ，因此平面 B1BCC1 平面 ABC ．由
AC ， D 是 BC 中点，因此 AD BC ．又平面 B1BCC1 ∩平面 ABC BC ， 因此 AD 平面
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B1BCC1 ．而 CM 平面 B1BCC1 ，于是
AD CM ． 由于 BM
DF , AD 订交，因此 CM
CD 1,BC CF 2 ，因此
平面
Rt CBM Rt FCD ，因此 CM DF
平面 ADF ，
CM
CAM ，因此平面 CAM
平面 ADF ．
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